1. 如图，在平面直角坐标系中，直线$OA$过点$(2, 1)$，则$\tan \alpha$
的值是().

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.2

1.C

解：过点$(2,1)$作$x$轴的垂线，垂足为点$B$，则$OB=2$，$AB=1$。
在$Rt\triangle OAB$中，$\tan\alpha=\frac{AB}{OB}=\frac{1}{2}$。
答案：C

2. 如图，将$\angle AOB$放置在$5 × 5$的正方形网格中，则$\tan \angle AOB$的值是().


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2 \sqrt{13}}{13}$
D.$\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

2.B

过点$A$作$AC \perp OB$于点$C$，由网格图可知，$OC = 2$，$AC = 3$。
在$ Rt\triangle AOC$中，$\tan \angle AOB=\frac{AC}{OC}=\frac{3}{2}$。
B

3. 在$\triangle ABC$中，若$\cos A - \frac{1}{2} + (1 - \tan B)^2 = 0$，则$\angle C$的度数是().

A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$

3.C

解：
∵$\cos A - \frac{1}{2} + (1 - \tan B)^2 = 0$，
又
∵$\cos A - \frac{1}{2} \geq 0$，$(1 - \tan B)^2 \geq 0$，
∴$\cos A - \frac{1}{2} = 0$，$1 - \tan B = 0$，
∴$\cos A = \frac{1}{2}$，$\tan B = 1$，
∴$\angle A = 60°$，$\angle B = 45°$，
∵在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，
∴$\angle C = 180° - 60° - 45° = 75°$。
C

4. 聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩
天轮相结合的城市地标.如图，点$O$是摩天轮的圆心，$AB$是垂直于地面的直径，
其长为110 m.小莹在地面$C$点处利用测角仪测得摩天轮的最高点$A$的仰角为
$33°$，测得圆心$O$的仰角为$21°$($\tan 33° \approx 0.65$，$\tan 21° \approx 0.38$)，则小莹所在$C$点到
直径$AB$所在直线的距离约为().


A.169 m
B.204 m
C.240 m
D.407 m

4.B

解：设小莹所在$C$点到直径$AB$所在直线的距离为$x$米，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，则$CD = x$。
因为$AB$是直径，长为$110$米，所以$OA=OB=55$米，$OD$为点$O$到地面的距离，$AD = AO + OD = 55 + OD$。
在$Rt\triangle OCD$中，$\tan 21^{\circ}=\frac{OD}{CD}=\frac{OD}{x}$，则$OD = x\tan 21^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan 33^{\circ}=\frac{AD}{CD}=\frac{55 + OD}{x}$，即$55 + OD = x\tan 33^{\circ}$。
将$OD = x\tan 21^{\circ}$代入上式得：$55 + x\tan 21^{\circ}=x\tan 33^{\circ}$。
$55 = x(\tan 33^{\circ}-\tan 21^{\circ})$，$x=\frac{55}{\tan 33^{\circ}-\tan 21^{\circ}}\approx\frac{55}{0.65 - 0.38}=\frac{55}{0.27}\approx204$。
答案：B