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8. 计算:
(1)$102^2 - 97×103$;
(2)$(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$.
(1)$102^2 - 97×103$;
(2)$(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$.
答案
(1)
$102^2 - 97×103$
$=(100 + 2)^2-(100 - 3)×(100 + 3)$
$=100^2+2×100×2 + 2^2-(100^2-3^2)$
$=10000 + 400+4-(10000 - 9)$
$=10000+400 + 4 - 10000+9$
$=413$
(2)
$(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$
$=(y + x)(y - x)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4-2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2-y^4$
$102^2 - 97×103$
$=(100 + 2)^2-(100 - 3)×(100 + 3)$
$=100^2+2×100×2 + 2^2-(100^2-3^2)$
$=10000 + 400+4-(10000 - 9)$
$=10000+400 + 4 - 10000+9$
$=413$
(2)
$(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$
$=(y + x)(y - x)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4-2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2-y^4$
9. 先化简,再求值:
$(x - 1)^2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x - 5)$,其中$x = -2$.
$(x - 1)^2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x - 5)$,其中$x = -2$.
答案
18
解析
化简过程：
1. 展开$(x - 1)^2$：
$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 计算$(x - 3)(x + 3)$：
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$（平方差公式）
3. 展开$-2(x - 5)$：
$-2(x - 5) = -2x + 10$
4. 合并同类项：
$\begin{aligned} &(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 9) + (-2x + 10) \\ =&x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10 \\ =&(x^2 + x^2) + (-2x - 2x) + (1 - 9 + 10) \\ =&2x^2 - 4x + 2 \end{aligned}$
代入求值：
当$x = -2$时，
$2x^2 - 4x + 2 = 2(-2)^2 - 4(-2) + 2 = 2×4 + 8 + 2 = 8 + 8 + 2 = 18$
1. 展开$(x - 1)^2$：
$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 计算$(x - 3)(x + 3)$：
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$（平方差公式）
3. 展开$-2(x - 5)$：
$-2(x - 5) = -2x + 10$
4. 合并同类项：
$\begin{aligned} &(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 9) + (-2x + 10) \\ =&x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10 \\ =&(x^2 + x^2) + (-2x - 2x) + (1 - 9 + 10) \\ =&2x^2 - 4x + 2 \end{aligned}$
代入求值：
当$x = -2$时，
$2x^2 - 4x + 2 = 2(-2)^2 - 4(-2) + 2 = 2×4 + 8 + 2 = 8 + 8 + 2 = 18$
10. 张老师在黑板上布置了一道题:
求$2(x + 1)^2 - (4x - 5)$的值.
小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁的说法正确? 请说明理由.
求$2(x + 1)^2 - (4x - 5)$的值.
小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁的说法正确? 请说明理由.
答案
小亮的说法正确。
理由：
$\begin{aligned}&2(x + 1)^2 - (4x - 5)\\=&2(x^2 + 2x + 1) - 4x + 5\\=&2x^2 + 4x + 2 - 4x + 5\\=&2x^2 + 7\end{aligned}$
当$x = a$时，原式$=2a^2 + 7$；当$x = -a$时，原式$=2(-a)^2 + 7 = 2a^2 + 7$。
故当$x = a$和$x = -a$时，式子的值始终相等。
理由：
$\begin{aligned}&2(x + 1)^2 - (4x - 5)\\=&2(x^2 + 2x + 1) - 4x + 5\\=&2x^2 + 4x + 2 - 4x + 5\\=&2x^2 + 7\end{aligned}$
当$x = a$时，原式$=2a^2 + 7$；当$x = -a$时，原式$=2(-a)^2 + 7 = 2a^2 + 7$。
故当$x = a$和$x = -a$时，式子的值始终相等。
11. (运算能力)阅读理解.
已知$(a - 12)^2 + (14 - a)^2 = 6$,求$(a - 13)^2$的值.
解:由$(a - 12)^2 + (14 - a)^2 = 6$,得$[(a - 13) + 1]^2 + [(a - 13) - 1]^2 = 6$.
整理,得$(a - 13)^2 + 2(a - 13) + 1 + (a - 13)^2 - 2(a - 13) + 1 = 6$.
$2(a - 13)^2 + 2 = 6$,
得$(a - 13)^2 = 2$.
请仿照上述方法,完成下列问题:
(1)已知$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$,求$(a - 97)^2$的值;
(2)已知$(a - 2024)^2 = 8$,求$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$的值.
已知$(a - 12)^2 + (14 - a)^2 = 6$,求$(a - 13)^2$的值.
解:由$(a - 12)^2 + (14 - a)^2 = 6$,得$[(a - 13) + 1]^2 + [(a - 13) - 1]^2 = 6$.
整理,得$(a - 13)^2 + 2(a - 13) + 1 + (a - 13)^2 - 2(a - 13) + 1 = 6$.
$2(a - 13)^2 + 2 = 6$,
得$(a - 13)^2 = 2$.
请仿照上述方法,完成下列问题:
(1)已知$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$,求$(a - 97)^2$的值;
(2)已知$(a - 2024)^2 = 8$,求$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$的值.
答案
(1)
已知$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，
则$[(a - 97)-1]^2+[(a - 97) + 1]^2=10$，
展开得$(a - 97)^2-2(a - 97)+1+(a - 97)^2+2(a - 97)+1 = 10$，
$2(a - 97)^2+2 = 10$，
$2(a - 97)^2=8$，
解得$(a - 97)^2 = 4$。
(2)
设$a - 2024 = m$，则$a - 2025=m - 1$，$2023 - a=-m - 1$。
因为$(a - 2024)^2 = 8$，即$m^2 = 8$。
则$(a - 2025)^2+(2023 - a)^2=(m - 1)^2+(-m - 1)^2$
$=m^2-2m + 1+m^2+2m + 1$
$=2m^2+2$
把$m^2 = 8$代入$2m^2+2$得：
$2×8+2$
$=16 + 2$
$=18$
综上，(1)中$(a - 97)^2$的值为4；(2)中$(a - 2025)^2+(2023 - a)^2$的值为18。
已知$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，
则$[(a - 97)-1]^2+[(a - 97) + 1]^2=10$，
展开得$(a - 97)^2-2(a - 97)+1+(a - 97)^2+2(a - 97)+1 = 10$，
$2(a - 97)^2+2 = 10$，
$2(a - 97)^2=8$，
解得$(a - 97)^2 = 4$。
(2)
设$a - 2024 = m$，则$a - 2025=m - 1$，$2023 - a=-m - 1$。
因为$(a - 2024)^2 = 8$，即$m^2 = 8$。
则$(a - 2025)^2+(2023 - a)^2=(m - 1)^2+(-m - 1)^2$
$=m^2-2m + 1+m^2+2m + 1$
$=2m^2+2$
把$m^2 = 8$代入$2m^2+2$得：
$2×8+2$
$=16 + 2$
$=18$
综上，(1)中$(a - 97)^2$的值为4；(2)中$(a - 2025)^2+(2023 - a)^2$的值为18。
