5. (2024辽宁)方程$\frac{5}{x + 2} = 1$的解为.

$3$（或 具体答案按题目要求的形式填入，此题为填空题直接给出解，若为选择则根据选项填写）

首先将方程 $\frac{5}{x + 2} = 1$ 两边同时乘以 $x + 2$（前提是 $x + 2 \neq 0$），得到：
$5 = x + 2$，
移项，得到：
$x = 5 - 2$，
解得：
$x = 3$。
检验：将 $x = 3$ 代入原方程的分母，得 $x + 2 = 5 \neq 0$，所以 $x = 3$ 是原方程的解。

6. (2025昆明期末)解分式方程:
(1)$\frac{2x}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}$;
(2)$\frac{5x - 2}{x^2 - 4} + \frac{2}{2 - x} = \frac{1}{x^2 - 4}$.

(1)
方程$\frac{2x}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}$两边同乘$(x - 3)$得：
$2x=x - 3 + 5$
移项得：
$2x-x=-3 + 5$
合并同类项得：
$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x - 3=2 - 3=-1\neq0$
所以$x = 2$是原分式方程的解。
(2)
方程$\frac{5x - 2}{x^2 - 4}+\frac{2}{2 - x}=\frac{1}{x^2 - 4}$，
因为$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$，$2-x=-(x - 2)$，
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：
$5x - 2-2(x + 2)=1$
去括号得：
$5x - 2-2x - 4 = 1$
移项得：
$5x-2x=1 + 2+4$
合并同类项得：
$3x=7$
系数化为$1$得：
$x=\frac{7}{3}$
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(x + 2)(x - 2)=(\frac{7}{3}+2)(\frac{7}{3}-2)=\frac{13}{3}×\frac{1}{3}\neq0$
所以$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解。

7. 已知$x = 5$是分式方程$\frac{4}{x + 2} = 1 - \frac{k}{2 + x}$的解,则k的值为().

A.5
B.4
C.3
D.2

C

将$x = 5$代入方程$\frac{4}{x + 2} = 1 - \frac{k}{2 + x}$，得$\frac{4}{5 + 2} = 1 - \frac{k}{2 + 5}$，即$\frac{4}{7} = 1 - \frac{k}{7}$。两边同乘7，得$4 = 7 - k$，解得$k = 3$。

8. (易错题)已知关于x的方程$\frac{3x}{x - 2} + 1 = \frac{m}{2 - x}$的解是非负数,则m的取值范围是.

$m \leq 2$且$m \neq -6$

方程两边同乘$x - 2$得：$3x + (x - 2) = -m$，化简得$4x - 2 = -m$，解得$x = \frac{2 - m}{4}$。
∵方程的解是非负数，∴$\frac{2 - m}{4} \geq 0$，解得$m \leq 2$。
∵分母$x - 2 \neq 0$，即$x \neq 2$，∴$\frac{2 - m}{4} \neq 2$，解得$m \neq -6$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 2$且$m \neq -6$。

9. 下列说法:①$\frac{5x + 1}{3x} = \frac{2}{x}$是分式方程;②$x = 1$或$x = -1$是分式方程$\frac{x + 1}{x^2 - 1} = 0$的解;③分式方程$\frac{3}{x + 4} = \frac{2}{x}$转化成整式方程时,方程两边需要乘$x(x + 4)$;④解分式方程时一定有解. 其中正确的有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

①分母含未知数，是分式方程，正确；②方程分母为$x^2 - 1=(x-1)(x+1)$，$x=1$或$x=-1$使分母为0，且分子$x+1=0$时$x=-1$为增根，方程无解，错误；③最简公分母为$x(x + 4)$，两边乘此式可化为整式方程，正确；④分式方程可能无解（如产生增根），错误。正确的有①③，共2个。

10. (2025楚雄期末)若关于x的分式方程$\frac{x + a}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} = 3$无解,则a的值为.

【解析】方程两边同乘$x - 1$得：$x + a + x = 3(x - 1)$，化简得$2x + a = 3x - 3$，解得$x = a + 3$。因为分式方程无解，所以增根为$x = 1$，则$a + 3 = 1$，解得$a = -2$。
【答案】-2

11. 若关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}4x - 1 ＞ 3(x + 2),\\a - 2x \leq 5\end{cases}$的解集为$x ＞ 7$,且关于y的分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$的解是非负整数,则所有满足条件的整数a的值之和是 ______ .

94

解不等式组
1. 解$4x - 1 ＞ 3(x + 2)$：
$4x - 1 ＞ 3x + 6$
$x ＞ 7$
2. 解$a - 2x \leq 5$：
$-2x \leq 5 - a$
$x \geq \frac{a - 5}{2}$
3. 不等式组解集为$x ＞ 7$，则$\frac{a - 5}{2} \leq 7$，解得$a \leq 19$。
解分式方程
1. 原方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$可化为：
$\frac{y + 2a}{y - 1} - \frac{3y - 8}{y - 1} = 2$
2. 合并分式：$\frac{-2y + 2a + 8}{y - 1} = 2$
去分母得：$-2y + 2a + 8 = 2(y - 1)$
解得$y = \frac{a + 5}{2}$
3. 分式方程解需满足：
$y \neq 1$，即$\frac{a + 5}{2} \neq 1 \Rightarrow a \neq -3$
$y$为非负整数，即$\frac{a + 5}{2} \geq 0$且为整数，设$y = k$（$k$为非负整数，$k \neq 1$），则$a = 2k - 5$
确定$a$的取值
$a = 2k - 5$（$k$为非负整数，$k \neq 1$），且$a \leq 19$
$k$可取$0,2,3,\dots,12$，对应$a$：$-5,-1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19$
求和
$-5 + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 94$

12. (运算能力、应用意识)数学的美无处不在. 数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,如,三根弦长度之比是$15:12:10$,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do,mi,so,研究15,12,10这三个数的倒数发现:$\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$,我们称15,12,10这三个数为一组调和数. 现有一组调和数:4,6,x,若要能组成调和数,则x的值为.

12

由调和数定义，对于4，6，x，有$\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{x} - \frac{1}{6}$。
左边：$\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$。
右边：$\frac{1}{x} - \frac{1}{6}$。
则$-\frac{1}{12} = \frac{1}{x} - \frac{1}{6}$，移项得$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$，解得$x = 12$。