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13. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$都是锐角,且满足$\left|\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B\right)^2 = 0$,则$\angle C = $
105
度。答案
105
解析
因为$\left|\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B\right)^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$，$\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B = 0$。
由$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle A$是锐角，得$\angle A = 45°$。
由$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle B$是锐角，得$\angle B = 30°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 45° - 30° = 105°$。
105
由$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle A$是锐角，得$\angle A = 45°$。
由$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle B$是锐角，得$\angle B = 30°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 45° - 30° = 105°$。
105
14. 如图,一水库迎水坡$AB的坡度i = 1:\sqrt{3}$,则该坡的坡角$a = $
30
度。答案
30
解析
解：因为坡度$i = 1:\sqrt{3}$，即$\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\alpha = 30°$。
30
30
15. 将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起,则$\frac{BE}{EC}$的值是______。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
解：设 $ AB = AC = x $。
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90° $，$ \angle ABC = 45° $，
$\therefore BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x $。
在 $ Rt\triangle ACD $ 中，$ \angle ACD = 90° $，$ \angle ADC = 30° $，
$\tan 30° = \frac{AC}{CD} = \frac{x}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，$\therefore CD = \sqrt{3}x $。
$\because \angle AEB = \angle CED $，$ \angle BAE = \angle DCE = 90° $，
$\therefore \triangle AEB \sim \triangle CED $。
$\therefore \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{CD} = \frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90° $，$ \angle ABC = 45° $，
$\therefore BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x $。
在 $ Rt\triangle ACD $ 中，$ \angle ACD = 90° $，$ \angle ADC = 30° $，
$\tan 30° = \frac{AC}{CD} = \frac{x}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，$\therefore CD = \sqrt{3}x $。
$\because \angle AEB = \angle CED $，$ \angle BAE = \angle DCE = 90° $，
$\therefore \triangle AEB \sim \triangle CED $。
$\therefore \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{CD} = \frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
16. 如图,正方形$ABCD的边长为2\sqrt{2}$,过点$A作AE \perp AC$,$AE = 1$,连接$BE$,则$\tan E = $
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
解：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F。
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{2}$，
∴∠CAB=45°，AC=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$。
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，∠EAF=180°-∠EAC-∠CAB=45°。
在Rt△AEF中，AE=1，∠EAF=45°，
∴EF=AF=AE·sin45°=$1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵AB=$2\sqrt{2}$，
∴BF=AB+AF=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△EFB中，tanE=$\frac{BF}{EF}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5$。
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∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{2}$，
∴∠CAB=45°，AC=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$。
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，∠EAF=180°-∠EAC-∠CAB=45°。
在Rt△AEF中，AE=1，∠EAF=45°，
∴EF=AF=AE·sin45°=$1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵AB=$2\sqrt{2}$，
∴BF=AB+AF=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△EFB中，tanE=$\frac{BF}{EF}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5$。
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17.(本小题满分 8 分)
根据下列条件解直角三角形：
(1)在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$b = 4$,$c = 8$。
(2)在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,$S_{\triangle ABC} = 12\sqrt{3}$。
(1)$\angle A=60°$,$\angle B=30°$,$a=4\sqrt{3}$
(2)$\angle B=30°$,$a=6\sqrt{2}$,$b=2\sqrt{6}$,$c=4\sqrt{6}$
根据下列条件解直角三角形：
(1)在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$b = 4$,$c = 8$。
(2)在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,$S_{\triangle ABC} = 12\sqrt{3}$。
(1)$\angle A=60°$,$\angle B=30°$,$a=4\sqrt{3}$
(2)$\angle B=30°$,$a=6\sqrt{2}$,$b=2\sqrt{6}$,$c=4\sqrt{6}$
答案
(1)$\angle A=60°$,$\angle B=30°$,$a=4\sqrt{3}$
(2)$\angle B=30°$,$a=6\sqrt{2}$,$b=2\sqrt{6}$,$c=4\sqrt{6}$
