18.(本小题满分 8 分)
如图,在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D是BC$的中点,$DE \perp AB于点E$,$\tan B = \frac{1}{2}$,且$AE = 6$。求$DE$的长。

DE=2

解：设 $ DE = x $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle BDE $ 中，$ \tan B = \frac{DE}{BE} = \frac{1}{2} $，则 $ BE = 2x $，$ BD = \sqrt{BE^2 + DE^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5}x $。
∵ $ D $ 是 $ BC $ 中点，
∴ $ BC = 2BD = 2\sqrt{5}x $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} $，则 $ AC = \frac{1}{2}BC = \sqrt{5}x $，$ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5}x)^2 + (\sqrt{5}x)^2} = 5x $。
∵ $ AB = AE + BE $，$ AE = 6 $，
∴ $ 5x = 6 + 2x $，解得 $ x = 2 $。
即 $ DE = 2 $。
答案：$ 2 $

19.(本小题满分 10 分)
如图,在一条东西走向的观光大道$l$上有A,B两个景点,点A,B相距2km,在点A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向上,在点B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向上。求景点C到观光大道$l$的距离。(结果精确到0.1km)

景点C到观光大道l的距离约为2.7 km.

解：过点$C$作$CD \perp l$于点$D$，设$CD = x\ km$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}$，$\therefore AD=\frac{CD}{\tan30^{\circ}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BD}$，$\therefore BD=\frac{CD}{\tan45^{\circ}}=\frac{x}{1}=x$。
$\because AD - BD = AB$，$AB = 2\ km$，$\therefore \sqrt{3}x - x = 2$，$x(\sqrt{3}-1)=2$，$x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\sqrt{3}+1\approx1.732 + 1=2.732\approx2.7$。
答：景点$C$到观光大道$l$的距离约为$2.7\ km$。