1. (2023，四川自贡)如图，△ABC内接于$\odot O$，CD是$\odot O$的直径，连接BD，∠DCA=41°，则∠ABC的度数是().
A.41°
B.45°
C.49°
D.59°

1. 首先，连接$AD$：
因为$CD$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以$\angle DAC = 90^{\circ}$。
2. 然后，在$Rt\triangle ADC$中：
已知$\angle DCA = 41^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle D=180^{\circ}-\angle DAC - \angle DCA$。
把$\angle DAC = 90^{\circ}$，$\angle DCA = 41^{\circ}$代入上式，即$\angle D=180^{\circ}-90^{\circ}-41^{\circ}=49^{\circ}$。
3. 最后，根据同弧所对的圆周角相等：
因为$\angle ABC$和$\angle D$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理$\angle ABC=\angle D$。
所以$\angle ABC = 49^{\circ}$，答案是C。

2. (2023，四川眉山)如图，AB切$\odot O$于点B，连接OA交$\odot O$于点C，BD//OA交$\odot O$于点D，连接CD.若∠OCD=25°，则∠A的度数为().
A.25°
B.35°
C.40°
D.45°

1. 首先，根据圆的性质：
因为$OC = OD$（同圆半径相等），所以$\angle OCD=\angle ODC = 25^{\circ}$。
根据三角形内角和定理$\angle COD+\angle OCD+\angle ODC = 180^{\circ}$，则$\angle COD=180^{\circ}-\angle OCD - \angle ODC$。
把$\angle OCD=\angle ODC = 25^{\circ}$代入可得：$\angle COD=180^{\circ}-25^{\circ}-25^{\circ}=130^{\circ}$。
2. 然后，利用平行线的性质：
因为$BD// OA$，所以$\angle ODB=\angle AOD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$OB = OD$（同圆半径相等），所以$\angle OBD=\angle ODB$。
设$\angle AOD = x$，则$\angle OBD=\angle ODB=x$。
那么$\angle BOD = 180^{\circ}-2x$。
又因为$\angle COD=\angle AOC+\angle BOD$，且$\angle AOC=\angle AOD=x$（对顶角相等），所以$130^{\circ}=x+(180 - 2x)$。
解方程$130^{\circ}=x + 180^{\circ}-2x$：
移项可得$2x - x=180^{\circ}-130^{\circ}$，解得$x = 50^{\circ}$，即$\angle AOC = 50^{\circ}$。
3. 最后，根据切线的性质：
因为$AB$切$\odot O$于点$B$，所以$OB\perp AB$，即$\angle OBA = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABO$中，根据直角三角形两锐角互余，$\angle A+\angle AOB = 90^{\circ}$。
已知$\angle AOB = 50^{\circ}$，则$\angle A=90^{\circ}-\angle AOB$。
把$\angle AOB = 50^{\circ}$代入可得$\angle A = 40^{\circ}$。
所以$\angle A$的度数为$40^{\circ}$，答案是C。

3. (2023，湖南)如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中$\widehat{AA'}$的长为().

A.4π
B.6π
C.8π
D.16π

1. 首先明确圆锥侧面展开图弧长公式：
圆锥侧面展开图中弧长$l = 2\pi r$（其中$r$为圆锥底面圆半径）。
2. 然后代入已知数据：
已知圆锥底面圆半径$r = 4$。
根据公式$l=2\pi r$，将$r = 4$代入可得$l = 2\pi×4$。
计算$2\pi×4=8\pi$。
所以圆锥的侧面展开图中$\widehat{AA'}$的长为$8\pi$，答案是C。

4. (2023，湖北恩施)如图，等圆$\odot O_1$和$\odot O_2$相交于A，B两点，$\odot O_1$经过$\odot O_2$的圆心$O_2$.若$O_1O_2=2$，则图中阴影部分的面积为().
A.2π
B.$\frac{4}{3}\pi$
C.π
D.$\frac{2}{3}\pi$

1. 首先，连接$O_{1}A$，$O_{2}A$，$O_{1}B$，$O_{2}B$：
因为$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$是等圆，且$O_{1}O_{2}=2$，所以$O_{1}A = O_{2}A=O_{1}O_{2}=2$。
那么$\triangle O_{1}AO_{2}$是等边三角形，所以$\angle AO_{1}O_{2}=60^{\circ}$，同理$\angle BO_{1}O_{2}=60^{\circ}$，则$\angle AO_{1}B = 120^{\circ}$。
2. 然后，根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角的度数，$r$是半径）：
对于扇形$AO_{1}B$，$n = 120^{\circ}$，$r = 2$，其面积$S_{扇形AO_{1}B}=\frac{120\pi×2^{2}}{360}=\frac{4\pi}{3}$。
$\triangle AO_{1}O_{2}$的面积$S_{\triangle AO_{1}O_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\sqrt{3}$，$\triangle BO_{1}O_{2}$的面积$S_{\triangle BO_{1}O_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\sqrt{3}$。
又因为$S_{弓形AB}=S_{扇形AO_{1}B}-S_{\triangle AO_{1}O_{2}}$，$S_{弓形AB}=S_{扇形BO_{1}B}-S_{\triangle BO_{1}O_{2}}$。
观察图形可知，阴影部分面积$S = S_{扇形AO_{1}B}-S_{\triangle AO_{1}O_{2}}+S_{扇形BO_{1}B}-S_{\triangle BO_{1}O_{2}}$，而$S_{扇形AO_{1}B}=S_{扇形BO_{1}B}$，$S_{\triangle AO_{1}O_{2}}=S_{\triangle BO_{1}O_{2}}$。
我们还可以用另一种方法：
因为$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$是等圆，阴影部分面积$S = 2×(S_{扇形AO_{1}O_{2}}-S_{\triangle AO_{1}O_{2}})$。
扇形$AO_{1}O_{2}$中，$n = 60^{\circ}$，$r = 2$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$，则$S_{扇形AO_{1}O_{2}}=\frac{60\pi×2^{2}}{360}=\frac{2\pi}{3}$，$S_{\triangle AO_{1}O_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\sqrt{3}$（这里$S_{\triangle AO_{1}O_{2}}$在计算阴影部分面积时会抵消）。
阴影部分面积$S = 2×\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$。
所以图中阴影部分的面积为$\frac{4\pi}{3}$，答案是B。

5. (2023，浙江温州)如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，BC//AD，AC⊥BD.若∠AOD=120°，$AD=\sqrt{3}$，则∠CAO的度数与BC的长分别为().
A.10°，1
B.10°，$\sqrt{2}$
C.15°，1
D.15°，$\sqrt{2}$

1. 首先求$\angle CAO$的度数：
因为$OA = OD$，$\angle AOD = 120^{\circ}$，根据等腰三角形的性质$\angle OAD=\angle ODA=\frac{180^{\circ}-\angle AOD}{2}$。
代入$\angle AOD = 120^{\circ}$，可得$\angle OAD=\angle ODA=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因为$AC\perp BD$，设$AC$与$BD$交于点$F$，则$\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle AFD$中，$\angle CAD=90^{\circ}-\angle ADB$，$\angle ADB=\angle ODA = 30^{\circ}$，所以$\angle CAD = 60^{\circ}$。
又因为$OA = OD$，$\angle OAD = 30^{\circ}$，所以$\angle CAO=\angle CAD-\angle OAD$。
则$\angle CAO=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
2. 然后求$BC$的长：
过点$O$作$OE\perp AD$于点$E$，根据垂径定理$AE = DE=\frac{1}{2}AD$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）。
已知$AD=\sqrt{3}$，所以$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt\triangle AOE$中，$\cos\angle OAD=\frac{AE}{OA}$，$\angle OAD = 30^{\circ}$，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AE}{OA}$，可得$OA = 1$。
因为$BC// AD$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（圆中平行弦所夹的弧相等）。
所以$\angle AOD=\angle BOC = 120^{\circ}$，又因为$OB = OC$，过点$O$作$OF\perp BC$于点$F$，则$BF = CF$，$\angle BOF=\frac{1}{2}\angle BOC = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle BOF$中，$\sin\angle BOF=\frac{BF}{OB}$，$OB = OA = 1$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle BOF = 60^{\circ}$，$OB = 1$，则$BF=\frac{1}{2}$。
所以$BC = 1$。
所以$\angle CAO$的度数是$15^{\circ}$，$BC$的长是$1$，答案是C。

6. (2023，四川南充)如图，AB是$\odot O$的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12，BC=5，则MD的长是________.

1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle C = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$AC = 12$，$BC = 5$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，即$AB=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
所以$OA=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}$。
2. 然后，利用垂径定理：
因为点$D$是弦$AC$的中点，$AC = 12$，所以$AD=\frac{1}{2}AC = 6$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）。
又因为点$M$是弧$AC$的中点，所以$OM\perp AC$，$OD\perp AC$（垂径定理：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），则$O$，$D$，$M$三点共线。
3. 接着，求$OD$的长：
设$OD = x$，$OA$为半径$r=\frac{13}{2}$，$AD = 6$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$，即$(\frac{13}{2})^{2}=x^{2}+6^{2}$。
展开得$\frac{169}{4}=x^{2}+36$，移项得$x^{2}=\frac{169}{4}-36=\frac{169 - 144}{4}=\frac{25}{4}$，解得$x=\frac{5}{2}$（$x\gt0$）。
4. 最后，求$MD$的长：
因为$OM = OA=\frac{13}{2}$（半径相等），所以$MD=OM - OD$。
把$OM=\frac{13}{2}$，$OD=\frac{5}{2}$代入得$MD=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=4$。
故$MD$的长是$4$。

7. (2023，北京)如图，OA是$\odot O$的半径，BC是$\odot O$的弦，OA⊥BC于点D，AE是$\odot O$的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为________.

1. 首先，根据垂径定理：
因为$OA\perp BC$，$OA$是半径，$BC$是弦，由垂径定理$BD = CD=\frac{1}{2}BC$。已知$BC = 2$，所以$CD = 1$。
又因为$\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle ODC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ODC$是等腰直角三角形。
在$Rt\triangle ODC$中，根据等腰直角三角形的性质$OD = CD = 1$，再根据勾股定理$r=OC=\sqrt{OD^{2}+CD^{2}}$（设$\odot O$半径为$r$），则$OC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
2. 然后，根据切线的性质：
因为$AE$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp AE$，即$\angle OAE = 90^{\circ}$。
由于$\angle AOC = 45^{\circ}$，在$Rt\triangle OAE$中，$\tan\angle AOC=\frac{AE}{OA}$。
又因为$OA = OC=\sqrt{2}$（同圆半径相等），$\tan45^{\circ}=1$，且$\tan\angle AOC=\frac{AE}{OA}$，即$\tan45^{\circ}=\frac{AE}{OA}$。
所以$AE = OA$，$AE=\sqrt{2}$。
故线段$AE$的长为$\sqrt{2}$。

8. (2023，江苏徐州)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若圆锥母线l=6，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的底面圆的半径r为________.

1. 首先明确圆锥侧面展开图扇形的弧长公式和圆的周长公式：
圆锥侧面展开图扇形的弧长公式为$L = \frac{n\pi R}{180}$（其中$n$是圆心角度数，$R$是扇形半径，这里$R = l$）；圆的周长公式为$C = 2\pi r$（$r$是圆的半径）。
因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$L = C$。
2. 然后根据已知条件计算：
已知$l = 6$，$\theta=120^{\circ}$，由扇形弧长公式$L=\frac{\theta\pi l}{180}$，可得扇形弧长$L=\frac{120\pi×6}{180}$。
又因为$L = 2\pi r$（$r$为圆锥底面圆半径），所以$2\pi r=\frac{120\pi×6}{180}$。
化简方程$2\pi r=\frac{120\pi×6}{180}$：
先计算$\frac{120\pi×6}{180}=\frac{720\pi}{180}=4\pi$，则方程变为$2\pi r = 4\pi$。
两边同时除以$2\pi$，根据等式性质$\frac{2\pi r}{2\pi}=\frac{4\pi}{2\pi}$。
所以$r = 2$。
故答案为：$2$。

9. (2023，浙江嘉兴)如图，点A是$\odot O$外一点，AB，AC分别与$\odot O$相切于点B，C，点D在$\widehat{BDC}$上.若∠A=50°，则∠D的度数是________.

1. 首先，连接$OB$，$OC$：
因为$AB$，$AC$分别与$\odot O$相切于点$B$，$C$，根据切线的性质可知$OB\perp AB$，$OC\perp AC$，即$\angle OBA = 90^{\circ}$，$\angle OCA = 90^{\circ}$。
2. 然后，在四边形$ABOC$中：
根据四边形内角和公式$\angle A+\angle OBA+\angle BOC+\angle OCA = 360^{\circ}$。
已知$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle OBA=\angle OCA = 90^{\circ}$，将其代入上式可得：$50^{\circ}+90^{\circ}+\angle BOC + 90^{\circ}=360^{\circ}$。
化简求解$\angle BOC$：
先计算$50 + 90+90=230$，则$\angle BOC=360 - 230=130^{\circ}$。
3. 最后，根据圆周角定理：
同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因为$\angle D$是圆周角，$\angle BOC$是圆心角，且$\angle D$与$\angle BOC$所对的弧都是$\widehat{BC}$，所以$\angle D=\frac{1}{2}\angle BOC$。
把$\angle BOC = 130^{\circ}$代入可得$\angle D = 65^{\circ}$。
故答案为$65^{\circ}$。