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7. 在关于$x$的一元一次方程$\frac{3x - 1}{2} + m = 3$中，$m$是正整数.
（1）当$m = 2$时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求$m$的值.
（1）当$m = 2$时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求$m$的值.
答案
（1）当m=2时，原方程为$\frac{3x-1}{2}+2=3$，解得x=1；（2）解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$，得x=$\frac{7-2m}{3}$.因为m是正整数，且方程有正整数解，所以m=2.
解析
（1）当$m = 2$时，原方程为$\frac{3x - 1}{2} + 2 = 3$，
$\frac{3x - 1}{2} = 1$，
$3x - 1 = 2$，
$3x = 3$，
解得$x = 1$；
（2）解方程$\frac{3x - 1}{2} + m = 3$，
$\frac{3x - 1}{2} = 3 - m$，
$3x - 1 = 6 - 2m$，
$3x = 7 - 2m$，
得$x = \frac{7 - 2m}{3}$。
因为$m$是正整数，且方程有正整数解，所以$7 - 2m$是$3$的正整数倍。
当$x = 1$时，$\frac{7 - 2m}{3} = 1$，$7 - 2m = 3$，$2m = 4$，$m = 2$；
当$x = 2$时，$\frac{7 - 2m}{3} = 2$，$7 - 2m = 6$，$2m = 1$，$m = \frac{1}{2}$（不是正整数，舍去）；
当$x \geq 3$时，$7 - 2m \geq 9$，$2m \leq -2$，$m \leq -1$（不符合$m$是正整数，舍去）。
综上，$m = 2$。
$\frac{3x - 1}{2} = 1$，
$3x - 1 = 2$，
$3x = 3$，
解得$x = 1$；
（2）解方程$\frac{3x - 1}{2} + m = 3$，
$\frac{3x - 1}{2} = 3 - m$，
$3x - 1 = 6 - 2m$，
$3x = 7 - 2m$，
得$x = \frac{7 - 2m}{3}$。
因为$m$是正整数，且方程有正整数解，所以$7 - 2m$是$3$的正整数倍。
当$x = 1$时，$\frac{7 - 2m}{3} = 1$，$7 - 2m = 3$，$2m = 4$，$m = 2$；
当$x = 2$时，$\frac{7 - 2m}{3} = 2$，$7 - 2m = 6$，$2m = 1$，$m = \frac{1}{2}$（不是正整数，舍去）；
当$x \geq 3$时，$7 - 2m \geq 9$，$2m \leq -2$，$m \leq -1$（不符合$m$是正整数，舍去）。
综上，$m = 2$。
8. 已知$a$，$b$为定值，且无论$k$为何值，关于$x$的方程$\frac{kx - a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{2}$的解总是$x = 2$，求$ab$的值.
答案
方程两边都乘6，去分母得2(kx-a)=6-3(2x+bk)，所以2kx-2a=6-6x-3bk，整理得(2x+3b)k+6x=2a+6.因为无论k为何值，方程的解总是x=2，所以2a+6=6×2，2×2+3b=0，解得a=3，b=-$\frac{4}{3}$，所以ab=3×$\left(-\frac{4}{3}\right)$=-4.
解析
解：方程两边都乘6，去分母得$2(kx - a) = 6 - 3(2x + bk)$，
去括号得$2kx - 2a = 6 - 6x - 3bk$，
移项、合并同类项得$(2x + 3b)k + 6x = 2a + 6$，
因为无论$k$为何值，方程的解总是$x = 2$，
所以$2a + 6 = 6×2$，$2×2 + 3b = 0$，
解得$a = 3$，$b = -\frac{4}{3}$，
所以$ab = 3×(-\frac{4}{3}) = -4$。
去括号得$2kx - 2a = 6 - 6x - 3bk$，
移项、合并同类项得$(2x + 3b)k + 6x = 2a + 6$，
因为无论$k$为何值，方程的解总是$x = 2$，
所以$2a + 6 = 6×2$，$2×2 + 3b = 0$，
解得$a = 3$，$b = -\frac{4}{3}$，
所以$ab = 3×(-\frac{4}{3}) = -4$。
9. 定义：若整数$k$的值使关于$x$的方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$的解为整数，则称$k$为此方程的“友好系数”.
（1）判断$0$，$1$是否为方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$的“友好系数”的个数是有限个还是无穷多个? 如果是有限个，求出该方程的所有“友好系数”；如果是无穷多个，说明理由.
（1）判断$0$，$1$是否为方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$的“友好系数”的个数是有限个还是无穷多个? 如果是有限个，求出该方程的所有“友好系数”；如果是无穷多个，说明理由.
答案
（1）当k=0时，$\frac{x+4}{2}+1=0$，解得x=-6，所以k=0是方程的“友好系数”；（2）方程$\frac{x+4}{2}+1=kx$，去分母得x+4+2=2kx，所以(1-2k)x=-6.因为k为整数，所以k≠$\frac{1}{2}$，所以1-2k≠0，解得x=$\frac{6}{2k-1}$.要使x的值为整数，则2k-1=±6，±3，±2，±1，又因为k为整数，所以k=0或-1或1或2.所以方程的“友好系数”为-1，0，1，2.
解析
（1）当$k=0$时，方程为$\frac{x + 4}{2} + 1 = 0$，去分母得$x + 4 + 2 = 0$，解得$x=-6$，$-6$是整数，所以$k=0$是“友好系数”；当$k=1$时，方程为$\frac{x + 4}{2} + 1 = x$，去分母得$x + 4 + 2 = 2x$，解得$x=6$，$6$是整数，所以$k=1$是“友好系数”。
（2）方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$，去分母得$x + 4 + 2 = 2kx$，整理得$(1 - 2k)x=-6$，因为$k$为整数，$1 - 2k\neq0$，所以$x=\frac{6}{2k - 1}$。要使$x$为整数，则$2k - 1$是$6$的因数，$6$的因数为$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。当$2k - 1=1$时，$k=1$；当$2k - 1=-1$时，$k=0$；当$2k - 1=2$时，$k=\frac{3}{2}$（不是整数，舍去）；当$2k - 1=-2$时，$k=-\frac{1}{2}$（不是整数，舍去）；当$2k - 1=3$时，$k=2$；当$2k - 1=-3$时，$k=-1$；当$2k - 1=6$时，$k=\frac{7}{2}$（不是整数，舍去）；当$2k - 1=-6$时，$k=-\frac{5}{2}$（不是整数，舍去）。所以“友好系数”为$-1,0,1,2$，个数是有限个。
（2）方程$\frac{x + 4}{2} + 1 = kx$，去分母得$x + 4 + 2 = 2kx$，整理得$(1 - 2k)x=-6$，因为$k$为整数，$1 - 2k\neq0$，所以$x=\frac{6}{2k - 1}$。要使$x$为整数，则$2k - 1$是$6$的因数，$6$的因数为$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。当$2k - 1=1$时，$k=1$；当$2k - 1=-1$时，$k=0$；当$2k - 1=2$时，$k=\frac{3}{2}$（不是整数，舍去）；当$2k - 1=-2$时，$k=-\frac{1}{2}$（不是整数，舍去）；当$2k - 1=3$时，$k=2$；当$2k - 1=-3$时，$k=-1$；当$2k - 1=6$时，$k=\frac{7}{2}$（不是整数，舍去）；当$2k - 1=-6$时，$k=-\frac{5}{2}$（不是整数，舍去）。所以“友好系数”为$-1,0,1,2$，个数是有限个。
