【例2】如图,M是线段AB上一点,AM= 8 cm,BM= 16 cm,C,D两点分别从M,B同时出发以1 cm/s,4 cm/s的速度沿直线BA向左运动,都到点A停止运动,点C运动的时间为t s。
请回答下列问题:
(1)当t= 2时,AC= ______cm,DC= ______cm。(直接填空)
(2)当0＜t＜4时,CD= ______cm。(用含t的代数式表示)
(3)当CD= 1 cm时,求t的值。
(4)若N是直线AB上一点,且BN-AN= MN,求$\frac{MN}{AB}$的值。

解:
(1)6 10
(2)(16-3t)
(3)当0＜t＜4时,16-3t=1,解得 t=5(不符合题意,舍去)。当4≤t≤6时,CM=t cm,BD=4t cm,所以 CD=|BM+CM-BD|=|16+t-4t|=|16-3t|=1,解得 t=5 或 t=$\frac{17}{3}$。当6＜t≤8时,CM=t cm,BD=24 cm,所以 CD=BD-BM-CM=24-16-t=1,解得 t=7。综上所述,当 CD=1 cm 时,t=5 或$\frac{17}{3}$或7。
(4)当点 N 在点 A 的左侧时,BN-AN=AB,所以 MN=AB,所以$\frac{MN}{AB}$=1。当点 N 在点 B 的右侧时,BN-AN=-AB,不符合题意,舍去。当点 N 在线段 AB 上时(不包含端点 A,B),设 MN=x。若点 N 在点 M 的左侧,则 BM+MN-(AM-MN)=MN,即16+x-(8-x)=x,解得 x=-8(不符合题意,舍去);若点 N 在点 M 的右侧,则 BM-MN-(AM+MN)=MN,即16-x-(8+x)=x,解得 x=$\frac{8}{3}$,所以$\frac{MN}{AB}$=$\frac{\frac{8}{3}}{8+16}$=$\frac{1}{9}$。综上所述,$\frac{MN}{AB}$的值为1或$\frac{1}{9}$。

【变式】如图,已知点C是线段AB上一点,且AC= 2CB,D是AB的中点,且AD= 6。
(1)求DC的长。
(2)若F是线段AB上一点,且CF= $\frac{1}{2}$CD,求AF的长。
(3)若P,Q是直线上的两个动点,点P的速度为1个单位长度/秒,点Q的速度为2个单位长度/秒,点P,Q分别从点C,B同时出发在直线AB上运动,经过多长时间线段PQ的长为5?

解:
(1)因为 D 是 AB 的中点,所以 AD=BD=$\frac{1}{2}$AB。因为 AD=6,所以 BD=6,AB=12。因为 AC=2CB,所以 BC=$\frac{1}{3}$AB=4,所以 DC=BD-BC=6-4=2。
(2)F 是线段 AB 上一点,
①当点 F 在点 C 的左侧时,因为 CF=$\frac{1}{2}$CD,CD=2,所以 CF=1。因为 AC=2CB,所以 AC=$\frac{2}{3}$AB=8。所以 AF=AC-CF=8-1=7;
②当点 F 在点 C 的右侧时,因为 CF=$\frac{1}{2}$CD,CD=2,所以 CF=1。因为 AC=8,所以 AF=AC+CF=8+1=9。综上,AF 的长度为7或9。
(3)设点 P,Q 的运动时间为 t 秒,
①若点 P,Q 背向而行,则 PC=t,BQ=2t,因为 PQ=5,所以 t+4+2t=5,解得 t=$\frac{1}{3}$。
②若点 P,Q 相向而行,则 PC=t,BQ=2t,所以 4-t+5=2t,解得 t=3。
③若点 P,Q 同时向左而行,则 PC=t,BQ=2t,所以 5+t+4=2t,解得 t=9。
④若点 P,Q 同时向右而行,则 PC=t,BQ=2t,所以 2t+4-t=5,解得 t=1。综上,点 P,Q 分别从点 C,B 同时出发在直线 AB 上运动,则经过$\frac{1}{3}$秒或1秒或3秒或9秒线段 PQ 的长为5。