1. 计算：cos 30°= .

【解析】：
本题考查的是特殊角的三角函数值。根据三角函数的定义和性质，我们知道$\cos 30^{\circ}$表示的是在一个$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$的直角三角形中，邻边与斜边的比值。这个比值是一个常数，约等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】：
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 如果0°＜∠A＜90°,且$4cos^2A - 3= 0,$那么∠A=.

【解析】：
本题主要考察了锐角三角函数值的知识点，通过给定的方程$4cos^2A - 3 = 0$来求解角度A。
首先，我们需要解这个关于$cosA$的二次方程，找出$cosA$的值。
然后，利用已知的$cosA$的值和角度范围$0^\circ \lt A \lt 90^\circ$，通过查找三角函数表或使用计算器来确定角度A的具体值。
【答案】：
解：
由$4cos^2A - 3 = 0$，
得$cos^2A = \frac{3}{4}$，
进一步开方得$cosA = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
但由于$0^\circ \lt A \lt 90^\circ$，在这个范围内，$cosA$的值是正的，
所以只取正值，即$cosA = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
查找三角函数表或使用计算器，可得当$cosA = \frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\angle A = 30^\circ$。
故答案为：$30^\circ$。

3. 若α为锐角,且√3/3 ＜ tan α≤√3,则α的取值范围是.

解：∵α为锐角，tan30°=√3/3，tan60°=√3，且tanα随α的增大而增大，
∴30°＜α≤60°
答案：30°＜α≤60°

4. 在△ABC中,若sin B= cos(90°-C)= 1/2,则△ABC是.

解：
∵sin B = 1/2，且B为△ABC的内角，
∴∠B = 30°或∠B = 150°。
∵cos(90° - C) = 1/2，且90° - C为锐角（0° ＜ 90° - C ＜ 90°），
∴90° - C = 60°，解得∠C = 30°。
当∠B = 30°，∠C = 30°时，∠A = 180° - 30° - 30° = 120°，此时△ABC是等腰三角形（∠B = ∠C）。
当∠B = 150°，∠C = 30°时，∠A = 180° - 150° - 30° = 0°，不符合三角形内角和定理，舍去。
综上，△ABC是等腰三角形。

5. 计算.
(1)√3 cos 30° - √2 sin 45° + tan 60°；
(2)sin 30°/cos 60° - 2 sin 60° tan 60° + 2 tan 45°.

(1)解：原式=√3×(√3/2)-√2×(√2/2)+√3
= (3/2)-(2/2)+√3
= 1/2 + √3
(2)解：原式=(1/2)/(1/2)-2×(√3/2)×√3 + 2×1
= 1 - 2×(3/2) + 2
= 1 - 3 + 2
= 0

6. 如图所示,在△ABC中,∠B= 45°,∠C= 60°,AB= 6√2.求：
(1)BC的长.
(2)△ABC的面积.
]

【解析】：本题主要考查了锐角三角函数的应用以及三角形面积的计算。
（1）在$\triangle ABC$中，已知$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，$AB = 6\sqrt{2}$。
过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，这样就把$\triangle ABC$分成了两个直角三角形$\triangle ABD$和$\triangle ACD$。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等腰直角三角形，即$AD = BD$。
根据正弦函数的定义$\sin B=\frac{AD}{AB}$，已知$AB = 6\sqrt{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则可得：
$AD = AB\sin B = 6\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}= 6$，所以$BD = 6$。
在$Rt\triangle ACD$中，因为$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，根据正切函数的定义$\tan C=\frac{AD}{CD}$，已知$AD = 6$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，则可得：
$CD=\frac{AD}{\tan C}=\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。
因为$BC = BD + CD$，$BD = 6$，$CD = 2\sqrt{3}$，所以$BC = 6 + 2\sqrt{3}$。
（2）根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，已知$BC = 6 + 2\sqrt{3}$，$AD = 6$，则可得：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(6 + 2\sqrt{3})× 6 = 18 + 6\sqrt{3}$。
【答案】：(1)$BC = 6 + 2\sqrt{3}$；(2)$S_{\triangle ABC}=18 + 6\sqrt{3}$

7. 如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC= 90°,∠C= 60°,AB= √3/2,BC= 1 + √3,CD= 2.
(1)求tan∠ABD的值.
(2)求AD的长.
]

1. （1）
首先，在$\triangle BCD$中，根据余弦定理$BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cdot\cos C$。
已知$BC = 1+\sqrt{3}$，$CD = 2$，$\angle C=60^{\circ}$，$\cos C=\frac{1}{2}$。
则$BD^{2}=(1 + \sqrt{3})^{2}+2^{2}-2×(1 + \sqrt{3})×2×\frac{1}{2}$。
展开$(1 + \sqrt{3})^{2}=1 + 2\sqrt{3}+3=4 + 2\sqrt{3}$，$2×(1 + \sqrt{3})×2×\frac{1}{2}=2 + 2\sqrt{3}$。
所以$BD^{2}=4 + 2\sqrt{3}+4-(2 + 2\sqrt{3})=6$，则$BD=\sqrt{6}$。
然后，在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\angle ABD=\frac{AD}{AB}$（这里先求$\angle ABD$的正切，根据三角函数定义，在$Rt\triangle ABD$中$\tan\angle ABD=\frac{AD}{AB}$，先求$AD$不太方便，换一种思路，利用$\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}$，先求$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC = 90^{\circ}$，先求$\tan\angle DBC$）。
在$\triangle BCD$中，根据正弦定理$\frac{CD}{\sin\angle DBC}=\frac{BD}{\sin C}$。
已知$CD = 2$，$BD=\sqrt{6}$，$\sin C=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
则$\sin\angle DBC=\frac{CD\sin C}{BD}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$BC\gt CD$，$\angle C = 60^{\circ}$，所以$\angle DBC = 45^{\circ}$。
因为$\angle ABC=90^{\circ}$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}-\angle DBC$。
$\tan\angle ABD=\tan(90^{\circ}-\angle DBC)=\cot\angle DBC = 1$。
2. （2）
解：在$\triangle ABD$中，$\angle ABD = 45^{\circ}$，$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BD=\sqrt{6}$。
根据余弦定理$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cdot\cos\angle ABD$。
已知$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BD=\sqrt{6}$，$\cos\angle ABD=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$AB^{2}=\frac{3}{4}$，$BD^{2}=6$，$2AB\cdot BD\cdot\cos\angle ABD=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3$。
所以$AD^{2}=\frac{3}{4}+6 - 3=\frac{3 + 24 - 12}{4}=\frac{15}{4}$，则$AD=\frac{\sqrt{15}}{2}$。
综上，（1）$\tan\angle ABD = 1$；（2）$AD=\frac{\sqrt{15}}{2}$。