3. 下列选项中，计算结果为$a^{2} - 36b^{2}$的是()

A.$(-6b + a)(-6b - a)$
B.$(-6b + a)(-6b + a)$
C.$(a + 4b)(a - 9b)$
D.$(-6b - a)(6b - a)$

3. D

A. $(-6b + a)(-6b - a)=(-6b)^2 - a^2=36b^2 - a^2$；
B. $(-6b + a)(-6b + a)=(-6b + a)^2=36b^2 - 12ab + a^2$；
C. $(a + 4b)(a - 9b)=a^2 - 9ab + 4ab - 36b^2=a^2 - 5ab - 36b^2$；
D. $(-6b - a)(6b - a)=(-a - 6b)(-a + 6b)=(-a)^2 - (6b)^2=a^2 - 36b^2$。
D

4. 填空：
(1)()$(1 + 2x) = 1 - 4x^{2}$；
(2)$(3x - 2b)$()$= 9x^{2} - 4b^{2}$；
(3)$(-\frac{1}{5} +\_\_\_\_\_\_+\frac{1}{5}) =\frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{25}$；

(4)$(2a + 3)(2a - 3) =$；
(5)$(-1 - 3x)(-1 + 3x) =$；
(6)$(-2a - 5b)$()$= 4a^{2} - 25b^{2}$。

4. (1) $1 - 2x$ (2) $3x + 2b$ (3) $\frac{1}{2}x$ $\frac{1}{2}x$ (4) $4a^{2} - 9$ (5) $1 - 9x^{2}$ (6) $-2a + 5b$

【分析】
这几道小题均围绕平方差公式展开，平方差公式为：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，解题时需将等式右侧的式子转化为两个数的平方差形式，再对应公式找到左侧的因式，或直接利用公式计算乘积，从而得出答案。
【解析】
(1) 等式右侧$1 - 4x^2 = 1^2 - (2x)^2$，根据平方差公式：$(1 - 2x)(1 + 2x) = 1 - 4x^2$，故括号内应填$1 - 2x$；
(2) 等式右侧$9x^2 - 4b^2 = (3x)^2 - (2b)^2$，根据平方差公式：$(3x - 2b)(3x + 2b) = 9x^2 - 4b^2$，故括号内应填$3x + 2b$；
(3) 等式右侧$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{25} = (\frac{1}{2}x)^2 - (\frac{1}{5})^2$，根据平方差公式：$(-\frac{1}{5} + \frac{1}{2}x)(\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{25}$，故两个空依次填$\frac{1}{2}x$、$\frac{1}{2}x$；
(4) 根据平方差公式：$(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$，故横线处填$4a^2 - 9$；
(5) 根据平方差公式：$(-1 - 3x)(-1 + 3x) = (-1)^2 - (3x)^2 = 1 - 9x^2$，故横线处填$1 - 9x^2$；
(6) 等式右侧$4a^2 - 25b^2 = (2a)^2 - (5b)^2$，根据平方差公式：$(-2a -5b)(-2a +5b) = 4a^2 -25b^2$，故括号内应填$-2a +5b$；
【答案】
(1) $1 - 2x$；(2) $3x + 2b$；(3) $\frac{1}{2}x$，$\frac{1}{2}x$；(4) $4a^2 -9$；(5) $1 -9x^2$；(6) $-2a +5b$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，属于整式乘法的基础题型，主要考查学生对平方差公式的理解和运用，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a + b = \frac{1}{2}$，且$b - a = \frac{1}{3}$，则$a^{2} - b^{2} =$。

5. $-\frac{1}{6}$

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，因为$b - a=\frac{1}{3}$，所以$a - b=-\frac{1}{3}$，又因为$a + b=\frac{1}{2}$，则原式$=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{6}$。

6. 已知$a^{2} - b^{2} = 1$，且$a + b = 2$，则$a - b =$。

6. $\frac{1}{2}$

因为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，已知$a^{2}-b^{2}=1$，$a + b=2$，所以$2(a - b)=1$，则$a - b=\frac{1}{2}$。

7. 计算：$(y + 2)(y - 2) - (y - 1)(y + 5)$。

7. 解：原式 $= y^{2} - 4 - (y^{2} + 5y - y - 5)$ $= y^{2} - 4 - y^{2} - 5y + y + 5$ $= -4y + 1$。

【分析】
这道题是整式的混合运算，解题思路为：先利用平方差公式计算$(y+2)(y-2)$，再用多项式乘多项式法则展开$(y-1)(y+5)$，接着去括号（注意括号前负号的符号变化），最后合并同类项化简得到结果。
【解析】
原式$= y^2 - 4 - (y^2 + 5y - y - 5)$
$= y^2 - 4 - y^2 - 5y + y + 5$
$= -4y + 1$
【答案】
$-4y + 1$
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题考查整式的基础运算，需掌握平方差公式、多项式乘多项式法则及去括号、合并同类项的规则，重点注意去括号时的符号变化，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7

8. 计算：$(a + 1)(a - 1)(a^{2} + 1)(a^{4} + 1)(a^{8} + 1)$。

8. 解：原式 $= (a^{2} - 1)(a^{2} + 1)(a^{4} + 1)(a^{8} + 1)$ $= (a^{4} - 1)(a^{4} + 1)(a^{8} + 1)$ $= (a^{8} - 1)(a^{8} + 1) = a^{16} - 1$。

【分析】本题是多项式的乘法运算，观察式子结构，前两个因式$(a+1)$与$(a-1)$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式计算它们的乘积，得到的结果又能与下一个因式继续构成平方差公式，依次反复应用平方差公式逐步简化计算，最终得到结果。
【解析】解：原式$=(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)$
$=(a^4 - 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)$
$=(a^8 - 1)(a^8 + 1)$
$=a^{16} - 1$
【答案】$a^{16} - 1$
【知识点】平方差公式，多项式乘法
【点评】本题主要考查平方差公式的灵活应用，通过多次运用平方差公式简化复杂的多项式乘法，解题关键是准确识别符合平方差公式的因式组合，逐步计算即可，属于基础题型。
【难度系数】0.7

9. 先化简，再求值：
(1)$(x + 1)(x - 1) + x(3 - x)$，其中$x = 2$；
(2)$a(1 - 4a) + (2a + 1)(2a - 1)$，其中$a = 4$；
(3)$(a + b)(a - b) - b(a - b)$，其中$a = -2$，$b = 1$。

9. 解：(1) 原式 $= x^{2} - 1 + 3x - x^{2} = 3x - 1$。当 $x = 2$ 时，原式 $= 3×2 - 1 = 5$。
(2) 原式 $= a - 4a^{2} + 4a^{2} - 1 = a - 1$。当 $a = 4$ 时，原式 $= 4 - 1 = 3$。
(3) 原式 $= a^{2} - b^{2} - ab + b^{2} = a^{2} - ab$。当 $a = -2$，$b = 1$ 时，原式 $= (-2)^{2} - (-2)×1 = 4 + 2 = 6$。

【分析】本题为整式的化简求值题，解题思路是：先运用平方差公式、单项式乘多项式法则对每个式子展开，再通过合并同类项将式子化为最简形式，最后把给定的字母取值代入最简式计算结果。
【解析】
(1) 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
原式 = (x² - 1) + (3x - x²)
合并同类项得：3x - 1
当x=2时，代入得：3×2 - 1 = 5；
(2) 利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开：
原式 = (a - 4a²) + (4a² - 1)
合并同类项得：a - 1
当a=4时，代入得：4 - 1 = 3；
(3) 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
原式 = (a² - b²) - (ab - b²)
合并同类项得：a² - ab
当a=-2，b=1时，代入得：(-2)² - (-2)×1 = 4 + 2 = 6；
【答案】(1)5；(2)3；(3)6
【知识点】整式化简求值、平方差公式、单项式乘多项式
【点评】本题考查整式的基础运算，需熟练掌握平方差公式及整式乘法法则，化简时注意同类项合并，代入数值时留意符号，属于基础题型。
【难度系数】0.4

10. 化简：$(a + 1)(a - 1) + a(1 - a) - a$。根据化简结果，该代数式的值与$a$的取值有什么关系？

10. 解：原式 $= a^{2} - 1 + a - a^{2} - a = -1$，所以该代数式的值与 $a$ 的取值无关。

【分析】
本题需先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开代数式，再通过合并同类项化简，最后根据化简结果判断代数式的值与$a$的关系。具体思路为：第一步，用平方差公式计算$(a + 1)(a - 1)$；第二步，计算单项式乘多项式$a(1 - a)$；第三步，将所有项代入原式，合并同类项后观察$a$的项是否被抵消，进而确定代数式的值与$a$的关联。
【解析】
原式$= a^2 - 1 + a - a^2 - a = -1$，
所以该代数式的值为常数$-1$，与$a$的取值无关。
【答案】
原式化简结果为$-1$，该代数式的值与$a$的取值无关。
【知识点】
整式的乘法、合并同类项
【点评】
本题考查整式的化简，需熟练运用平方差公式和单项式乘多项式法则，通过合并同类项化简后判断代数式与字母的关系，属于基础题型，重点考察整式运算的基本技能。
【难度系数】
0.8