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8.(2024·重庆)用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形,第②个图案中有5个菱形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案中有11个菱形,…,按此规律,则第⑧个图案中,菱形的个数是（
A.20
B.21
C.23
D.26
C
）A.20
B.21
C.23
D.26
答案
8.C
解析
【分析】首先观察各图案中菱形的数量，第①个有2个，第②个有5个，第③个有8个，第④个有11个，发现相邻两个图案的菱形数量相差3，属于等差数列，首项为2，公差为3。需先推导第n个图案的菱形数量通项公式，再代入n=8计算结果。
【解析】观察数量规律：第①个图案：$2 = 3×1 -1$；第②个图案：$5 = 3×2 -1$；第③个图案：$8 = 3×3 -1$；第④个图案：$11 = 3×4 -1$；由此归纳得出，第n个图案中菱形的个数为$3n -1$。当$n=8$时，代入公式得：$3×8 -1 =24 -1=23$。
【答案】C
【知识点】探索规律、等差数列
【点评】本题是图形规律探索题，通过观察相邻图形的数量变化归纳通项公式，再计算指定项，考查学生的归纳推理能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】观察数量规律：第①个图案：$2 = 3×1 -1$；第②个图案：$5 = 3×2 -1$；第③个图案：$8 = 3×3 -1$；第④个图案：$11 = 3×4 -1$；由此归纳得出，第n个图案中菱形的个数为$3n -1$。当$n=8$时，代入公式得：$3×8 -1 =24 -1=23$。
【答案】C
【知识点】探索规律、等差数列
【点评】本题是图形规律探索题，通过观察相邻图形的数量变化归纳通项公式，再计算指定项，考查学生的归纳推理能力，难度适中。
【难度系数】0.5
9. 如图,某链条每节长 2.8 cm,每相邻两节链条连接部分重叠的圆的直径为 1 cm,按这种连接方式,50 节链条总长度为
91
cm.答案
9.91
解析
【分析】要计算50节链条的总长度，先观察简单情况：1节链条长2.8cm；2节链条连接时，相邻处重叠了1cm，总长度不是2节单独长度之和，而是比2×2.8少了1cm，即每增加1节链条，总长度增加(2.8-1)=1.8cm。据此推导n节链条总长度的计算方法，再代入50节计算即可。
【解析】解：1节链条长度为2.8cm，每增加1节链条，总长度增加1.8cm，因此n节链条总长度公式为：2.8 + (n-1)×1.8。
当n=50时，代入公式得：
2.8 + (50-1)×1.8 = 2.8 + 49×1.8 = 2.8 + 88.2 = 91(cm)
【答案】91
【知识点】找规律、整式应用
【点评】本题是结合实际的找规律应用题，关键是发现相邻链条重叠部分对总长度的影响，推导通用公式后计算，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解：1节链条长度为2.8cm，每增加1节链条，总长度增加1.8cm，因此n节链条总长度公式为：2.8 + (n-1)×1.8。
当n=50时，代入公式得：
2.8 + (50-1)×1.8 = 2.8 + 49×1.8 = 2.8 + 88.2 = 91(cm)
【答案】91
【知识点】找规律、整式应用
【点评】本题是结合实际的找规律应用题，关键是发现相邻链条重叠部分对总长度的影响，推导通用公式后计算，难度适中。
【难度系数】0.5
10.(2024·牡丹江改编)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图形有4个三角形,第2个图形有7个三角形,第3个图形有10个三角形,…,按照此规律排列下去,第$n$个图形中有
$(3n+1)$
个三角形.答案
10.$(3n+1)$
解析
【分析】
要解决这个规律探究问题，我们先列出前几个图形对应的三角形数量，观察其与图形序号$n$的关系，通过计算相邻数量的差值确定规律，进而推导第$n$个图形的三角形个数。
【解析】
当$n=1$时，第1个图形的三角形个数为$4 = 3×1 + 1$；
当$n=2$时，第2个图形的三角形个数为$7 = 3×2 + 1$；
当$n=3$时，第3个图形的三角形个数为$10 = 3×3 + 1$；
由此可归纳：第$n$个图形中三角形的个数为$3n + 1$。
【答案】
$3n+1$
【知识点】
找规律，代数式表示
【点评】
本题是基础的规律探究题，通过观察图形数量的变化，归纳出通项公式，考查学生的观察与归纳能力，难度较低。
【难度系数】
0.3
要解决这个规律探究问题，我们先列出前几个图形对应的三角形数量，观察其与图形序号$n$的关系，通过计算相邻数量的差值确定规律，进而推导第$n$个图形的三角形个数。
【解析】
当$n=1$时，第1个图形的三角形个数为$4 = 3×1 + 1$；
当$n=2$时，第2个图形的三角形个数为$7 = 3×2 + 1$；
当$n=3$时，第3个图形的三角形个数为$10 = 3×3 + 1$；
由此可归纳：第$n$个图形中三角形的个数为$3n + 1$。
【答案】
$3n+1$
【知识点】
找规律，代数式表示
【点评】
本题是基础的规律探究题，通过观察图形数量的变化，归纳出通项公式，考查学生的观察与归纳能力，难度较低。
【难度系数】
0.3
11. 观察如图所示的图形,我们可以发现:第1个图形中有1个正方形,第2个图形中有5个正方形,按照这种规律变化下去……
(1)第3个图形中有
(2)第4个图形中比第3个图形中多
(3)第$n$个图形中比前一个图形中多
(4)按照这种规律,是否存在某个图形,它比前一个图形多2025个正方形? 如果存在,请计算是第几个图形;如果不存在,请说明理由.
(1)第3个图形中有
14
个正方形;(2)第4个图形中比第3个图形中多
16
个正方形;(3)第$n$个图形中比前一个图形中多
$n^2$
个正方形;(用含$n$的式子表示)(4)按照这种规律,是否存在某个图形,它比前一个图形多2025个正方形? 如果存在,请计算是第几个图形;如果不存在,请说明理由.
答案
11.(1)14 (2)16 (3)$n^2$
(4)解:存在. 因为 $45^2=2025$,所以第 45 个图形中比前一个图形中多 2025 个正方形.
(4)解:存在. 因为 $45^2=2025$,所以第 45 个图形中比前一个图形中多 2025 个正方形.
解析
【分析】
先观察图形的正方形数量变化：第1个图形有1个正方形（对应1²），第2个图形比第1个多4个（对应2²），共5个；第3个图形比第2个多9个（对应3²），共14个。由此总结规律：第k个图形比第(k-1)个图形多k²个正方形，据此解决各问题。
【解析】
(1) 第1个图形正方形数为1；第2个图形正方形数为$1 + 2^2 = 5$；第3个图形正方形数为$5 + 3^2 = 5 + 9 = 14$，故填14；
(2) 第4个图形正方形数为$14 + 4^2 = 14 + 16 = 30$，第4个比第3个多$30 - 14 = 16$，故填16；
(3) 由规律可知，第2个比第1个多$2^2$，第3个比第2个多$3^2$，因此第n个图形比前一个图形多$n^2$个正方形，故填$n^2$；
(4) 假设存在这样的图形，令$n^2 = 2025$，解得$n = 45$（n为正整数，符合题意），故存在，是第45个图形。
【答案】
(1)14；(2)16；(3)$n^2$；(4)存在，第45个图形
【知识点】
图形规律探究，平方数的应用
【点评】
本题通过图形数量变化探究规律，核心是发现相邻图形间正方形数量的差值为对应序号的平方，考查学生的观察归纳能力，属于基础规律题。
【难度系数】
0.5
先观察图形的正方形数量变化：第1个图形有1个正方形（对应1²），第2个图形比第1个多4个（对应2²），共5个；第3个图形比第2个多9个（对应3²），共14个。由此总结规律：第k个图形比第(k-1)个图形多k²个正方形，据此解决各问题。
【解析】
(1) 第1个图形正方形数为1；第2个图形正方形数为$1 + 2^2 = 5$；第3个图形正方形数为$5 + 3^2 = 5 + 9 = 14$，故填14；
(2) 第4个图形正方形数为$14 + 4^2 = 14 + 16 = 30$，第4个比第3个多$30 - 14 = 16$，故填16；
(3) 由规律可知，第2个比第1个多$2^2$，第3个比第2个多$3^2$，因此第n个图形比前一个图形多$n^2$个正方形，故填$n^2$；
(4) 假设存在这样的图形，令$n^2 = 2025$，解得$n = 45$（n为正整数，符合题意），故存在，是第45个图形。
【答案】
(1)14；(2)16；(3)$n^2$；(4)存在，第45个图形
【知识点】
图形规律探究，平方数的应用
【点评】
本题通过图形数量变化探究规律，核心是发现相邻图形间正方形数量的差值为对应序号的平方，考查学生的观察归纳能力，属于基础规律题。
【难度系数】
0.5
