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14. 如图,四边形ABCD为正方形,AB=3,
E为对角线AC上一点,连接DE,过点
E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以
DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接
CG.
(1) AC的长为________,$∠ ACB=\_\_\_\_\_\_$.
(2) 如图,当点F在线段BC的延长线
上时.
① 求证:矩形DEFG是正方形;
② 若$CG=2\sqrt{2}$,求正方形DEFG
的边长.
E为对角线AC上一点,连接DE,过点
E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以
DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接
CG.
(1) AC的长为________,$∠ ACB=\_\_\_\_\_\_$.
(2) 如图,当点F在线段BC的延长线
上时.
① 求证:矩形DEFG是正方形;
② 若$CG=2\sqrt{2}$,求正方形DEFG
的边长.
答案
（1）$3\sqrt{2}$；$45°$
（2）①证明如上；②$\sqrt{5}$
（2）①证明如上；②$\sqrt{5}$
解析
（1）∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴对角线AC=AB×√2=3√2；正方形对角线平分内角，故∠ACB=45°。
（2）①证明：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N。∵E在正方形对角线AC上，∴EM=EN，∠EMC=∠ENC=90°，又∠BCD=90°，∴四边形EMCN是正方形，∠MEN=90°。∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠DEN + ∠NEF=∠MEF + ∠NEF=90°，即∠DEN=∠MEF。在△DEN和△FEM中，$\{\begin{array}{l}∠DNE=∠FME=90°\\EN=EM\\∠DEN=∠FEM\end{array} $，∴△DEN≌△FEM（ASA），得DE=EF。∵四边形DEFG是矩形，邻边DE=EF，故矩形DEFG是正方形。
②解：∵四边形ABCD、DEFG为正方形，∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=∠CDG。在△ADE和△CDG中，$\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠ADE=∠CDG\\DE=DG\end{array} $，∴△ADE≌△CDG（SAS），得AE=CG=2√2。∵AC=3√2，∴EC=AC - AE=√2。在Rt△EMC中，∠ACB=45°，EM⊥BC，∴EM=EC·sin45°=1，CM=1，故EN=1，DN=CD - CN=2。在Rt△DEN中，DE=√(DN² + EN²)=√5，即正方形DEFG的边长为√5。
（2）①证明：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N。∵E在正方形对角线AC上，∴EM=EN，∠EMC=∠ENC=90°，又∠BCD=90°，∴四边形EMCN是正方形，∠MEN=90°。∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠DEN + ∠NEF=∠MEF + ∠NEF=90°，即∠DEN=∠MEF。在△DEN和△FEM中，$\{\begin{array}{l}∠DNE=∠FME=90°\\EN=EM\\∠DEN=∠FEM\end{array} $，∴△DEN≌△FEM（ASA），得DE=EF。∵四边形DEFG是矩形，邻边DE=EF，故矩形DEFG是正方形。
②解：∵四边形ABCD、DEFG为正方形，∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=∠CDG。在△ADE和△CDG中，$\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠ADE=∠CDG\\DE=DG\end{array} $，∴△ADE≌△CDG（SAS），得AE=CG=2√2。∵AC=3√2，∴EC=AC - AE=√2。在Rt△EMC中，∠ACB=45°，EM⊥BC，∴EM=EC·sin45°=1，CM=1，故EN=1，DN=CD - CN=2。在Rt△DEN中，DE=√(DN² + EN²)=√5，即正方形DEFG的边长为√5。
