登录
18.【例题】小红、小莉去花店买花.小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨，1枝百合，花了32元.小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？
解：设三种花的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元、不难列出方程组：
$\begin{cases}3x + 7y + z = 28, \quad ① \\4x + 10y + z = 32. \quad ②\end{cases}$
消去$z$，得 $x + 3y = 4$. ③
显然无法求出确定的解.但注意到问题要求的是 $2x + 2y + 2z$ 整体的值，我们可以在上式中“分离”出 $x + y + z$，即
$\begin{cases}2(x + 3y) + (x + y + z) = 28, \quad ④ \\3(x + 3y) + (x + y + z) = 32. \quad ⑤\end{cases}$
在解决此问题时我们可联立③④得到方程组
$\begin{cases}x + 3y = 4, \\2(x + 3y) + (x + y + z) = 28.\end{cases}$
将③整体代入④可得 $2 × 4 + (x + y + z) = 28$，即 $x + y + z = 20$，所以 $2x + 2y + 2z = 40$.像这样将 $x + 3y$ 当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简.请根据材料解决以下问题.
【解决问题】
(1)①请直接写出方程组 $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2(x + y) - 4 = 2x \end{cases}$ 的解；
②已知当 $x = 1$ 时，代数式 $ax^5 + bx^3 + cx + 1 = 9$，试求当 $x = -1$ 时，代数式 $ax^5 + bx^3 + cx - 3$ 的值；
(2)已知关于$x$，$y$的方程组 $\begin{cases} x + 2y = 3 - a, \\ -x - 3y = 2a \end{cases}$，试说明无论$a$取何值，$x + y$ 的值均不变；
(3)已知 $\begin{cases} 3x^2 - 2xy + 4y^2 = 15, \\ 4x^2 - 3xy + 3y^2 = 9, \end{cases}$ 计算 $x^2 + 6y^2 = \_\_\_\_\_\_$.
解：设三种花的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元、不难列出方程组：
$\begin{cases}3x + 7y + z = 28, \quad ① \\4x + 10y + z = 32. \quad ②\end{cases}$
消去$z$，得 $x + 3y = 4$. ③
显然无法求出确定的解.但注意到问题要求的是 $2x + 2y + 2z$ 整体的值，我们可以在上式中“分离”出 $x + y + z$，即
$\begin{cases}2(x + 3y) + (x + y + z) = 28, \quad ④ \\3(x + 3y) + (x + y + z) = 32. \quad ⑤\end{cases}$
在解决此问题时我们可联立③④得到方程组
$\begin{cases}x + 3y = 4, \\2(x + 3y) + (x + y + z) = 28.\end{cases}$
将③整体代入④可得 $2 × 4 + (x + y + z) = 28$，即 $x + y + z = 20$，所以 $2x + 2y + 2z = 40$.像这样将 $x + 3y$ 当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简.请根据材料解决以下问题.
【解决问题】
(1)①请直接写出方程组 $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2(x + y) - 4 = 2x \end{cases}$ 的解；
②已知当 $x = 1$ 时，代数式 $ax^5 + bx^3 + cx + 1 = 9$，试求当 $x = -1$ 时，代数式 $ax^5 + bx^3 + cx - 3$ 的值；
(2)已知关于$x$，$y$的方程组 $\begin{cases} x + 2y = 3 - a, \\ -x - 3y = 2a \end{cases}$，试说明无论$a$取何值，$x + y$ 的值均不变；
(3)已知 $\begin{cases} 3x^2 - 2xy + 4y^2 = 15, \\ 4x^2 - 3xy + 3y^2 = 9, \end{cases}$ 计算 $x^2 + 6y^2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
18. (1) ①$\begin{cases} x = 0, \\ y = 2. \end{cases}$ ② $-11$.
(2)$\begin{cases} x + 2y = 3 - a, \ ① \\ -x - 3y = 2a. \ ② \end{cases}$
①$× 2 + ②$得 $x + y = 6$，
$\because$ 最终取值与$a$无关，
$\therefore$ 无论$a$取何值，$x + y$始终为定值.
(3) 27
(2)$\begin{cases} x + 2y = 3 - a, \ ① \\ -x - 3y = 2a. \ ② \end{cases}$
①$× 2 + ②$得 $x + y = 6$，
$\because$ 最终取值与$a$无关，
$\therefore$ 无论$a$取何值，$x + y$始终为定值.
(3) 27
解析
【分析】
本题各小题均可运用整体思想求解，无需逐一求出每个未知量的具体值：
(1)① 已知$x+y$的整体值，直接代入第二个方程先求$x$，再求$y$即可；② 先将$x=1$代入代数式得到$a+b+c$的整体值，再利用奇数次幂的性质，将$x=-1$代入代数式凑出$a+b+c$的整体代入计算；
(2) 要说明$x+y$的值与$a$无关，只需通过方程组加减消元消去参数$a$，直接得到$x+y$的定值即可；
(3) 观察已知方程和所求$x^2+6y^2$的结构，将两个方程乘合适的系数后相减，消去$xy$项，即可直接得到所求代数式的值。
【解析】
(1)① 解方程组$\begin{cases} x + y = 2 \quad ① \\ 2(x + y) - 4 = 2x \quad ② \end{cases}$
将①整体代入②得：$2×2 - 4 = 2x$，解得$x=0$
把$x=0$代入①得：$y=2$
即方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
② 将$x=1$代入$ax^5 + bx^3 + cx +1=9$，得：
$a+b+c+1=9$，即$a+b+c=8$
当$x=-1$时，$ax^5 + bx^3 + cx -3 = -a -b -c -3 = -(a+b+c)-3$
将$a+b+c=8$整体代入得：$-8-3=-11$
(2) 已知$\begin{cases} x + 2y = 3 - a \quad ① \\ -x - 3y = 2a \quad ② \end{cases}$
将①×2得：$2x + 4y = 6 - 2a \quad ③$
③+②得：$x + y = 6$
计算结果不含参数$a$，因此无论$a$取何值，$x+y$的值均为6，保持不变。
(3) 已知$\begin{cases} 3x^2 - 2xy + 4y^2 =15 \quad ① \\ 4x^2 - 3xy + 3y^2 =9 \quad ② \end{cases}$
将①×3得：$9x^2 -6xy +12y^2 =45 \quad ③$
将②×2得：$8x^2 -6xy +6y^2 =18 \quad ④$
③-④得：$x^2 +6y^2 =27$
【答案】
(1)①$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$；②$-11$
(2) 无论$a$取何值，$x+y$的值恒为6
(3) $\boxed{27}$
【知识点】
整体代入思想、代数式求值、方程组消元
【点评】
本题围绕整体思想设计考题，打破了先求每个未知量再计算的常规思路，通过构造所求整体、整体代入的方法简化计算，能很好地考察学生的观察能力和灵活运用解题方法的能力。
【难度系数】
0.7
本题各小题均可运用整体思想求解，无需逐一求出每个未知量的具体值：
(1)① 已知$x+y$的整体值，直接代入第二个方程先求$x$，再求$y$即可；② 先将$x=1$代入代数式得到$a+b+c$的整体值，再利用奇数次幂的性质，将$x=-1$代入代数式凑出$a+b+c$的整体代入计算；
(2) 要说明$x+y$的值与$a$无关，只需通过方程组加减消元消去参数$a$，直接得到$x+y$的定值即可；
(3) 观察已知方程和所求$x^2+6y^2$的结构，将两个方程乘合适的系数后相减，消去$xy$项，即可直接得到所求代数式的值。
【解析】
(1)① 解方程组$\begin{cases} x + y = 2 \quad ① \\ 2(x + y) - 4 = 2x \quad ② \end{cases}$
将①整体代入②得：$2×2 - 4 = 2x$，解得$x=0$
把$x=0$代入①得：$y=2$
即方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
② 将$x=1$代入$ax^5 + bx^3 + cx +1=9$，得：
$a+b+c+1=9$，即$a+b+c=8$
当$x=-1$时，$ax^5 + bx^3 + cx -3 = -a -b -c -3 = -(a+b+c)-3$
将$a+b+c=8$整体代入得：$-8-3=-11$
(2) 已知$\begin{cases} x + 2y = 3 - a \quad ① \\ -x - 3y = 2a \quad ② \end{cases}$
将①×2得：$2x + 4y = 6 - 2a \quad ③$
③+②得：$x + y = 6$
计算结果不含参数$a$，因此无论$a$取何值，$x+y$的值均为6，保持不变。
(3) 已知$\begin{cases} 3x^2 - 2xy + 4y^2 =15 \quad ① \\ 4x^2 - 3xy + 3y^2 =9 \quad ② \end{cases}$
将①×3得：$9x^2 -6xy +12y^2 =45 \quad ③$
将②×2得：$8x^2 -6xy +6y^2 =18 \quad ④$
③-④得：$x^2 +6y^2 =27$
【答案】
(1)①$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$；②$-11$
(2) 无论$a$取何值，$x+y$的值恒为6
(3) $\boxed{27}$
【知识点】
整体代入思想、代数式求值、方程组消元
【点评】
本题围绕整体思想设计考题，打破了先求每个未知量再计算的常规思路，通过构造所求整体、整体代入的方法简化计算，能很好地考察学生的观察能力和灵活运用解题方法的能力。
【难度系数】
0.7
