【问题情境】
【生活情境】苏菲·热门（音译）是19世纪法国女数学家，她在数学研究上造诣颇深. 下面是她的数学著作中的一个问题：因式分解$x^4+4$时，因为该式只有两项，而且都属于平方和的形式，即$(x^2)^2+2^2$，所以要使用公式就必须添加一项$4x^2$，同时减去一项$4x^2$，即$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$. 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”.
【问题提出】请你依照苏菲·热门的解法，将下列各式因式分解：
(1) $x^4+4y^4$.
(2) $x^2-2ax-b^2-2ab$.
【问题分析】原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可.
【问题解决】
【问题反思】本题考查了因式分解中的完全平方方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

(1) 原式$=x^4+4y^4+4x^2y^2-4x^2y^2= (x^2+2y^2)^2- (2xy)^2=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)$
(2) 原式$=x^2-2ax+a^2-a^2-b^2-2ab=(x-a)^2-(a+b)^2= (x+b)(x-2a-b)$

【分析】
（1）观察$x^4+4y^4$的结构，和例题中$x^4+4$类似，属于两个平方项的和，缺少完全平方的中间项，因此可以先添加$4x^2y^2$凑成完全平方，为了不改变原式的值，再减去$4x^2y^2$，凑出平方差结构后再用平方差公式分解即可。
（2）观察$x^2-2ax-b^2-2ab$，先看含$x$的前两项$x^2-2ax$，添加$a^2$即可凑成完全平方，因此先加$a^2$再减$a^2$，前三项凑成$(x-a)^2$后，剩余部分可整理为$-(a+b)^2$，整体转化为平方差结构后再用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 利用添项法变形分解：
$\begin{aligned}x^4+4y^4&=x^4+4y^4+4x^2y^2-4x^2y^2\\&=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2\\&=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)\end{aligned}$
(2) 利用拆项法变形分解：
$\begin{aligned}x^2-2ax-b^2-2ab&=x^2-2ax+a^2-a^2-b^2-2ab\\&=(x-a)^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=(x-a)^2-(a+b)^2\\&=[(x-a)+(a+b)][(x-a)-(a+b)]\\&=(x+b)(x-2a-b)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)}$
(2) $\boxed{(x+b)(x-2a-b)}$
【知识点】
配方法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于材料阅读类因式分解题，需要先理解材料中“热门定理”的添项、拆项思路，灵活运用乘法公式变形，解题时要注意添项、拆项后必须保证原式的值不变，分解完成后可通过整式乘法反向验证结果正确性。
【难度系数】
0.6