跟我学 定义一种新运算“△”:7△3=7+8+9=24,8△4=8+9+10+11=38,6△5=6+7+8+9+10=40,那么1△20的结果是多少?
这样想 本题的新运算是从“△”前面的数开始进行连续自然数的相加,“△”后面的数是连续相加的自然数的个数,由此可以推断,1△20=1+2+3+…+20。
自己写

$1+2+3+\dots+20=\frac{(1+20)×20}{2}=210$

【分析】
解题时首先要理解新运算“△”的规则：观察给出的运算示例，7△3是从7开始加3个连续自然数，8△4是从8开始加4个连续自然数，可总结规律：“△”前面的数是连续相加的起始自然数，“△”后面的数是需要相加的连续自然数的总个数。接下来按照规律写出1△20对应的加法算式，最后用学过的连续自然数求和的简便方法计算即可。
【解析】
根据新运算规则可得：
1△20表示从1开始的20个连续自然数相加，即：
$1△20 = 1+2+3+\dots+20$
计算时利用连续数求和公式：$\mathrm{和}=(\mathrm{首项}+\mathrm{末项})×\mathrm{项数}÷2$
代入数据：
$\begin{aligned}&=(1+20)×20÷2\\&=21×20÷2\\&=420÷2\\&=210\end{aligned}$
【答案】
210
【知识点】
定义新运算、连续自然数求和、简便计算
【点评】
本题核心是先通过示例归纳新运算的规则，再运用已学的求和方法计算，重点考查信息提取能力和归纳能力，只要准确理解运算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

你来练 如果$\frac{1}{2} ◯ 3 = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{4}$，$\frac{1}{3} ◯ 4 = \frac{1}{3} × \frac{1}{4} × \frac{1}{5} × \frac{1}{6}$，那么$( \frac{1}{4} ◯ 5 ) ÷ ( \frac{1}{5} ◯ 6 )$的结果是多少？

原式$=(\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{7}×\frac{1}{8})÷(\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{7}×\frac{1}{8}×\frac{1}{9}×\frac{1}{10})=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{9}×\frac{1}{10}}=\frac{45}{2}$

【分析】
首先我们需要先明确题目中新定义的运算符号“◯”的计算规则：观察给出的两个示例，$\frac{1}{2}◯3$是从$\frac{1}{2}$开始，共3个分母依次加1的单位分数相乘；$\frac{1}{3}◯4$是从$\frac{1}{3}$开始，共4个分母依次加1的单位分数相乘。由此可总结规律：$\frac{1}{a}◯b$表示以$\frac{1}{a}$为首项，后续每个分数的分母比前一个大1，一共b个连续单位分数相乘。接下来我们按规则分别展开两个括号内的新运算，再做除法，计算时通过约分简化过程即可。
【解析】
1. 按照新运算规则展开两个括号内的式子：
$\frac{1}{4}◯5 = \frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{7}×\frac{1}{8}$
$\frac{1}{5}◯6 = \frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{7}×\frac{1}{8}×\frac{1}{9}×\frac{1}{10}$
2. 代入原式计算：
$\begin{aligned}(\frac{1}{4}◯5)÷(\frac{1}{5}◯6)&=(\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{7}×\frac{1}{8})÷(\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{7}×\frac{1}{8}×\frac{1}{9}×\frac{1}{10})\\&=\frac{1}{4}÷(\frac{1}{9}×\frac{1}{10})\\&=\frac{1}{4}÷\frac{1}{90}\\&=\frac{1}{4}×90\\&=\frac{45}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{45}{2}$
【知识点】
定义新运算，分数乘除计算，约分简便运算
【点评】
这道题重点考查规律归纳能力和分数计算熟练度，解题的关键是先通过已知示例准确总结新运算的规则，计算时灵活运用约分可简化步骤，减少计算错误。
【难度系数】
0.6