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【例3】如图,圆形拱门最下端$AB$在地面上,$D$为$AB$的中点,$C$为拱门最高点,线段$CD$经过拱门所在圆的圆心,若$AB=1\ \mathrm{m}$,$CD=2.5\ \mathrm{m}$,则拱门所在圆的半径为
1.3 m
。答案
1.3 m
解析
【分析】
要解决这个问题，我们结合垂径定理和勾股定理来推导：已知CD经过拱门所在圆的圆心，D是AB中点，根据垂径定理可得到CD垂直AB，进而构造出直角三角形。设圆的半径为r，用r表示直角三角形的两条直角边，再通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设拱门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
因为CD经过圆心O，D是AB的中点，根据垂径定理，$ CD ⊥ AB $，所以$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $，且$ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $（OC为圆的半径，长度等于r）。
在$ \mathrm{Rt} △ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入线段长度：
$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $
展开并化简：
$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $
消去$ r^2 $后解得：
$ 5r = 6.5 $，即$ r = 1.3 $
【答案】
1.3 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查垂径定理与勾股定理的应用，核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，属于基础几何应用题，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们结合垂径定理和勾股定理来推导：已知CD经过拱门所在圆的圆心，D是AB中点，根据垂径定理可得到CD垂直AB，进而构造出直角三角形。设圆的半径为r，用r表示直角三角形的两条直角边，再通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设拱门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
因为CD经过圆心O，D是AB的中点，根据垂径定理，$ CD ⊥ AB $，所以$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $，且$ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $（OC为圆的半径，长度等于r）。
在$ \mathrm{Rt} △ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入线段长度：
$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $
展开并化简：
$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $
消去$ r^2 $后解得：
$ 5r = 6.5 $，即$ r = 1.3 $
【答案】
1.3 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查垂径定理与勾股定理的应用，核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，属于基础几何应用题，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
3. 如图,$AD$是$\odot O$的直径,$AB$是$\odot O$的弦,半径$OC⊥ AB$,连接$CD$,交$OB$于点$E$,$∠ BOC=42°$,则$∠ OED$的度数为
$63°$
。答案
3. $63°$
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的垂径定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理。首先由OC⊥AB，根据垂径定理得到圆心角∠AOC=∠BOC；再利用AD是直径求出∠COD的度数，结合半径相等得到等腰△OCD的底角∠ODC；接着计算∠DOE的度数，最后在△OED中用三角形内角和定理求出∠OED。
【解析】
1. 因为OC⊥AB，OC是⊙O的半径，根据垂径定理，OC平分弧AB，所以∠AOC=∠BOC=42°；
2. 因为AD是⊙O的直径，所以∠AOD=180°，则∠COD=∠AOD - ∠AOC=180°-42°=138°；
3. 又OC=OD（⊙O的半径相等），△OCD为等腰三角形，故∠ODC=(180°-∠COD)÷2=(180°-138°)÷2=21°；
4. ∠AOB=∠AOC+∠BOC=42°+42°=84°，AD为直径，所以∠DOE=∠BOD=180°-∠AOB=180°-84°=96°；
5. 在△OED中，根据三角形内角和为180°，得∠OED=180°-∠DOE-∠ODC=180°-96°-21°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形内角和，核心是利用垂径定理确定圆心角关系，再结合等腰三角形和内角和计算角度，需理清各角之间的联系，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合圆的垂径定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理。首先由OC⊥AB，根据垂径定理得到圆心角∠AOC=∠BOC；再利用AD是直径求出∠COD的度数，结合半径相等得到等腰△OCD的底角∠ODC；接着计算∠DOE的度数，最后在△OED中用三角形内角和定理求出∠OED。
【解析】
1. 因为OC⊥AB，OC是⊙O的半径，根据垂径定理，OC平分弧AB，所以∠AOC=∠BOC=42°；
2. 因为AD是⊙O的直径，所以∠AOD=180°，则∠COD=∠AOD - ∠AOC=180°-42°=138°；
3. 又OC=OD（⊙O的半径相等），△OCD为等腰三角形，故∠ODC=(180°-∠COD)÷2=(180°-138°)÷2=21°；
4. ∠AOB=∠AOC+∠BOC=42°+42°=84°，AD为直径，所以∠DOE=∠BOD=180°-∠AOB=180°-84°=96°；
5. 在△OED中，根据三角形内角和为180°，得∠OED=180°-∠DOE-∠ODC=180°-96°-21°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形内角和，核心是利用垂径定理确定圆心角关系，再结合等腰三角形和内角和计算角度，需理清各角之间的联系，难度适中。
【难度系数】
0.4
【例4】如图,在圆内接四边形$ABCD$中,对角线$BD⊥ AD$,$∠ C=135°$,$AD=2$,则$AB=$
$2\sqrt{2}$
。答案
$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先利用圆内接四边形的对角互补性质，求出∠A的度数；再结合BD⊥AD，确定△ABD为直角三角形，最后利用直角三角形的边角关系计算AB的长度。
【解析】
1. 根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：∠A = 180° - ∠C = 180° - 135° = 45°。
2. 因为BD⊥AD，所以△ABD是直角三角形，且∠ADB = 90°。
3. 在Rt△ABD中，∠A = 45°，AD = 2，由三角函数关系cos∠A = AD/AB，代入得cos45° = 2/AB，解得AB = 2 / (√2/2) = 2√2。（或利用等腰直角三角形性质：∠A=45°则AD=BD=2，由勾股定理得AB=√(2²+2²)=2√2）
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，直角三角形的边角关系
【点评】
本题结合圆内接四边形性质与直角三角形计算，属于基础几何题，重点考察学生对核心性质的掌握及直角三角形的运算能力。
【难度系数】
0.6
首先利用圆内接四边形的对角互补性质，求出∠A的度数；再结合BD⊥AD，确定△ABD为直角三角形，最后利用直角三角形的边角关系计算AB的长度。
【解析】
1. 根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：∠A = 180° - ∠C = 180° - 135° = 45°。
2. 因为BD⊥AD，所以△ABD是直角三角形，且∠ADB = 90°。
3. 在Rt△ABD中，∠A = 45°，AD = 2，由三角函数关系cos∠A = AD/AB，代入得cos45° = 2/AB，解得AB = 2 / (√2/2) = 2√2。（或利用等腰直角三角形性质：∠A=45°则AD=BD=2，由勾股定理得AB=√(2²+2²)=2√2）
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，直角三角形的边角关系
【点评】
本题结合圆内接四边形性质与直角三角形计算，属于基础几何题，重点考察学生对核心性质的掌握及直角三角形的运算能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,以$△ ADE$中$AD$为直径的$\odot O$交$AE$于$B$、交$DE$于$C$,且$B$为$\overset{\frown}{AC}$的中点.
(1) 判断$△ ADE$的形状,并说明理由.
(2) 连接$BC$,求证:$BC=BE$.
(1) 判断$△ ADE$的形状,并说明理由.
(2) 连接$BC$,求证:$BC=BE$.
答案
4.(1)等腰三角形,理由略 (2)证明略
解析
【分析】
要判断△ADE的形状，需利用圆的性质：直径所对圆周角为直角、弧中点对应的圆周角相等，结合全等三角形推导边相等；证明BC=BE时，利用圆内接四边形性质和等腰三角形“等角对等边”的判定。步骤：1. 连接BD，由AD为直径得BD⊥AE；2. 由B是弧AC中点得∠ADB=∠EDB，证△ABD≌△EBD，得AD=DE，确定△ADE为等腰三角形；3. 连接BC，利用圆内接四边形对角互补得∠A=∠BCE，结合△ADE等腰得∠A=∠E，推出∠BCE=∠E，证BC=BE。
【解析】
(1) △ADE是等腰三角形，理由如下：
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角），即BD⊥AE，
∴∠ABD=∠EBD=90°，
∵B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠ADB=∠EDB（等弧所对的圆周角相等），
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\BD=BD \\∠ADB=∠EDB\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=DE，
∴△ADE是等腰三角形。
(2) 证明：
连接BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
又
∵∠BCD + ∠BCE = 180°（邻补角定义），
∴∠A = ∠BCE，
由(1)知△ADE是等腰三角形，
∴∠A = ∠E，
∴∠BCE = ∠E，
∴BC=BE（等角对等边）。
【答案】
(1) △ADE是等腰三角形；(2) BC=BE，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定，等腰三角形性质与判定
【点评】
本题综合圆与三角形的核心知识点，需合理添加辅助线转化圆的条件为三角形边角关系，解题关键是利用弧中点、直径的性质推导全等，结合圆内接四边形性质完成等腰三角形的判定，难度适中。
【难度系数】
0.5
要判断△ADE的形状，需利用圆的性质：直径所对圆周角为直角、弧中点对应的圆周角相等，结合全等三角形推导边相等；证明BC=BE时，利用圆内接四边形性质和等腰三角形“等角对等边”的判定。步骤：1. 连接BD，由AD为直径得BD⊥AE；2. 由B是弧AC中点得∠ADB=∠EDB，证△ABD≌△EBD，得AD=DE，确定△ADE为等腰三角形；3. 连接BC，利用圆内接四边形对角互补得∠A=∠BCE，结合△ADE等腰得∠A=∠E，推出∠BCE=∠E，证BC=BE。
【解析】
(1) △ADE是等腰三角形，理由如下：
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角），即BD⊥AE，
∴∠ABD=∠EBD=90°，
∵B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠ADB=∠EDB（等弧所对的圆周角相等），
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\BD=BD \\∠ADB=∠EDB\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=DE，
∴△ADE是等腰三角形。
(2) 证明：
连接BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
又
∵∠BCD + ∠BCE = 180°（邻补角定义），
∴∠A = ∠BCE，
由(1)知△ADE是等腰三角形，
∴∠A = ∠E，
∴∠BCE = ∠E，
∴BC=BE（等角对等边）。
【答案】
(1) △ADE是等腰三角形；(2) BC=BE，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定，等腰三角形性质与判定
【点评】
本题综合圆与三角形的核心知识点，需合理添加辅助线转化圆的条件为三角形边角关系，解题关键是利用弧中点、直径的性质推导全等，结合圆内接四边形性质完成等腰三角形的判定，难度适中。
【难度系数】
0.5
1. 如图,$A$,$B$,$C$,$D$是$\odot O$上四个点,$AD=BC$.求证:$AB=CD$.
答案
1. 证明:$\because AD=BC$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$,即 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$,
$\therefore AB=CD$.
$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$,即 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$,
$\therefore AB=CD$.
解析
【分析】要证明AB=CD，根据同圆中弦与弧的对应关系，可转化为证明弧AB等于弧CD。已知AD=BC，利用“同圆中相等的弦所对的弧相等”得到弧AD与弧BC相等，再通过等式性质，在两段弧上同时加上公共弧AC，即可得到弧AB与弧CD相等，进而推出弦AB=CD。
【解析】证明：$\because AD=BC$，$\therefore$ 在$\odot O$中，相等的弦所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。根据等式的性质，在等式两边同时加上$\overset{\frown}{AC}$，可得$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$。又因为在同圆中，相等的弧所对的弦相等，所以$AB=CD$。
【答案】证明：$\because AD=BC$，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，$\therefore AB=CD$。
【知识点】圆的弧弦关系、同圆性质
【点评】本题是圆的基础证明题，核心考查同圆中弦与弧的转化关系，通过弦相等推弧相等，再结合等式性质得到目标弧相等，最终转化为弦相等，思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】证明：$\because AD=BC$，$\therefore$ 在$\odot O$中，相等的弦所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。根据等式的性质，在等式两边同时加上$\overset{\frown}{AC}$，可得$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$。又因为在同圆中，相等的弧所对的弦相等，所以$AB=CD$。
【答案】证明：$\because AD=BC$，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。$\therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即 $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，$\therefore AB=CD$。
【知识点】圆的弧弦关系、同圆性质
【点评】本题是圆的基础证明题，核心考查同圆中弦与弧的转化关系，通过弦相等推弧相等，再结合等式性质得到目标弧相等，最终转化为弦相等，思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.6
2. 按要求画图.
(1) 在图1中,利用无刻度的直尺和圆规,作出$△ ABC$的内切圆.
(2) 如图2,由小正方形构成的$6× 6$网格中,每个小正方形的顶点叫作格点.$△ ABC$的顶点都在格点上,$\odot O$经过$A$、$B$、$C$三点,仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图.
①在图2中,找出$\odot O$的圆心$O$;
②在图2中的$BC$边上找到一点$D$,使得$AD$平分$∠ BAC$;
③在备用图中的$\odot O$上找到一点$E$(不与点$C$重合),使得$AE=AC$.
(1) 在图1中,利用无刻度的直尺和圆规,作出$△ ABC$的内切圆.
(2) 如图2,由小正方形构成的$6× 6$网格中,每个小正方形的顶点叫作格点.$△ ABC$的顶点都在格点上,$\odot O$经过$A$、$B$、$C$三点,仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图.
①在图2中,找出$\odot O$的圆心$O$;
②在图2中的$BC$边上找到一点$D$,使得$AD$平分$∠ BAC$;
③在备用图中的$\odot O$上找到一点$E$(不与点$C$重合),使得$AE=AC$.
答案
2.(1)如图1.
(2)①②如图2.
③如图3.
解析
【分析】
（1）作△ABC的内切圆，需先确定内心：内心是三角形三个内角平分线的交点，因此用无刻度直尺和圆规作△ABC的两个内角的平分线，其交点即为内心；再以内心到任意一边的距离为半径画圆，即可得到内切圆。
（2）①找⊙O的圆心：圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，在网格中利用格点连线作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O；②找BC上的点D使AD平分∠BAC：根据角平分线的性质，结合网格的格点特征，通过比例或对称关系在BC上找到满足∠BAD=∠CAD的点D；③找圆上点E使AE=AC：利用圆的对称性，以A为圆心、AC长为半径画弧，与⊙O的交点（不与C重合）即为E。
【解析】
（1）作图步骤：①用圆规作∠ABC的平分线：以B为圆心，适当长度为半径画弧，交AB、BC于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该点作射线，即为∠ABC的平分线；②同理作∠ACB的平分线，两条角平分线交于内心I；③以I为圆心，I到BC的距离为半径画圆，得到△ABC的内切圆。
（2）①找圆心O：在网格中，取弦AB，利用格点作AB的垂直平分线；再取弦AC，作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为⊙O的圆心O；②找点D：根据角平分线定理，结合网格中AB、AC的长度比例，在BC上找到分点D，使AD平分∠BAC；③找点E：以A为圆心，AC长度为半径画弧，与⊙O交于两点，取不与C重合的点即为E。
【答案】
2.(1)如图1.
(2)①②如图2.
③如图3.
【知识点】
三角形内切圆、圆的圆心确定、角平分线作图
【点评】
本题考查初中数学基本作图（内切圆、角平分线）和圆的核心性质，结合网格的格点特征简化作图过程，需要掌握基本作图方法和圆的对称性，属于基础作图类题目。
【难度系数】
0.5
（1）作△ABC的内切圆，需先确定内心：内心是三角形三个内角平分线的交点，因此用无刻度直尺和圆规作△ABC的两个内角的平分线，其交点即为内心；再以内心到任意一边的距离为半径画圆，即可得到内切圆。
（2）①找⊙O的圆心：圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，在网格中利用格点连线作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O；②找BC上的点D使AD平分∠BAC：根据角平分线的性质，结合网格的格点特征，通过比例或对称关系在BC上找到满足∠BAD=∠CAD的点D；③找圆上点E使AE=AC：利用圆的对称性，以A为圆心、AC长为半径画弧，与⊙O的交点（不与C重合）即为E。
【解析】
（1）作图步骤：①用圆规作∠ABC的平分线：以B为圆心，适当长度为半径画弧，交AB、BC于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该点作射线，即为∠ABC的平分线；②同理作∠ACB的平分线，两条角平分线交于内心I；③以I为圆心，I到BC的距离为半径画圆，得到△ABC的内切圆。
（2）①找圆心O：在网格中，取弦AB，利用格点作AB的垂直平分线；再取弦AC，作AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为⊙O的圆心O；②找点D：根据角平分线定理，结合网格中AB、AC的长度比例，在BC上找到分点D，使AD平分∠BAC；③找点E：以A为圆心，AC长度为半径画弧，与⊙O交于两点，取不与C重合的点即为E。
【答案】
2.(1)如图1.
(2)①②如图2.
③如图3.
【知识点】
三角形内切圆、圆的圆心确定、角平分线作图
【点评】
本题考查初中数学基本作图（内切圆、角平分线）和圆的核心性质，结合网格的格点特征简化作图过程，需要掌握基本作图方法和圆的对称性，属于基础作图类题目。
【难度系数】
0.5
