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5. 端午节早上,小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽、3个鲜肉粽,她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶,则爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是
$\frac{2}{5}$
.答案
5. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】本题为古典概型概率计算问题，需先求出从5个粽子中随机选2个的总组合数，再计算选到同类粽子（均为蛋黄粽或均为鲜肉粽）的组合数，最后根据概率公式求解。
【解析】解：总共有2个蛋黄粽、3个鲜肉粽，共5个粽子，从中随机挑选2个的总组合数为：
$C_{5}^{2}=\frac{5×4}{2×1}=10$种；
同类粽子的组合数分为两类：
①选2个蛋黄粽的组合数：$C_{2}^{2}=1$种；
②选2个鲜肉粽的组合数：$C_{3}^{2}=\frac{3×2}{2×1}=3$种；
故同类粽子的总组合数为$1+3=4$种；
因此，爷爷奶奶吃到同类粽子的概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】$\frac{2}{5}$
【知识点】古典概型、组合数计算
【点评】本题考查古典概型的基础应用，关键是准确计算总事件数与符合条件的事件数，属于概率模块的常规题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：总共有2个蛋黄粽、3个鲜肉粽，共5个粽子，从中随机挑选2个的总组合数为：
$C_{5}^{2}=\frac{5×4}{2×1}=10$种；
同类粽子的组合数分为两类：
①选2个蛋黄粽的组合数：$C_{2}^{2}=1$种；
②选2个鲜肉粽的组合数：$C_{3}^{2}=\frac{3×2}{2×1}=3$种；
故同类粽子的总组合数为$1+3=4$种；
因此，爷爷奶奶吃到同类粽子的概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】$\frac{2}{5}$
【知识点】古典概型、组合数计算
【点评】本题考查古典概型的基础应用，关键是准确计算总事件数与符合条件的事件数，属于概率模块的常规题型，难度适中。
【难度系数】0.6
6. 经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是 (
A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{4}{9}$
D. $\frac{5}{9}$
D
)A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{4}{9}$
D. $\frac{5}{9}$
答案
6. D
解析
【分析】
这是一道两步事件的概率计算题，解题思路为：先确定两辆汽车经过十字路口时所有等可能的行驶方向组合总数；由于“至少一辆车向右转”直接列举情况较多，可利用对立事件简化计算，即先求其对立事件“两辆车都不向右转”的情况数，再用1减去对立事件的概率，就能快速得到所求概率，减少计算量且避免出错。
【解析】
解：每辆汽车有直行、左转、右转3种等可能的行驶方向，两辆汽车经过该十字路口，所有等可能的结果总数为：$3×3=9$种。
“至少一辆车向右转”的对立事件是“两辆车都不向右转”，即两辆车都直行或都左转，该对立事件的结果数为：$2×2=4$种。
根据概率公式，对立事件的概率为$\frac{4}{9}$，因此“至少一辆车向右转”的概率为：$1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
概率计算、对立事件应用
【点评】
本题考查简单概率的计算，通过对立事件简化运算，避免了直接列举“至少一辆向右转”的复杂情况，是概率解题的常用技巧，属于基础题型，适合巩固概率相关知识。
【难度系数】
0.6
这是一道两步事件的概率计算题，解题思路为：先确定两辆汽车经过十字路口时所有等可能的行驶方向组合总数；由于“至少一辆车向右转”直接列举情况较多，可利用对立事件简化计算，即先求其对立事件“两辆车都不向右转”的情况数，再用1减去对立事件的概率，就能快速得到所求概率，减少计算量且避免出错。
【解析】
解：每辆汽车有直行、左转、右转3种等可能的行驶方向，两辆汽车经过该十字路口，所有等可能的结果总数为：$3×3=9$种。
“至少一辆车向右转”的对立事件是“两辆车都不向右转”，即两辆车都直行或都左转，该对立事件的结果数为：$2×2=4$种。
根据概率公式，对立事件的概率为$\frac{4}{9}$，因此“至少一辆车向右转”的概率为：$1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
概率计算、对立事件应用
【点评】
本题考查简单概率的计算，通过对立事件简化运算，避免了直接列举“至少一辆向右转”的复杂情况，是概率解题的常用技巧，属于基础题型，适合巩固概率相关知识。
【难度系数】
0.6
7. [新考向·传统文化]为发展学生的阅读素养,某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目,甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个,则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 (
A. $\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{4}$
D
)A. $\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{4}$
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这个古典概型概率问题，需分三步思考：首先确定甲、乙抽取项目的所有等可能结果总数；再找出“两人恰好抽到同一个阅读项目”的符合条件的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率，对应选项即可。
【解析】
解：甲从4个阅读项目中随机抽取1个，有4种等可能结果；乙同样从4个项目中随机抽取1个，也有4种等可能结果。根据分步乘法计数原理，甲、乙抽取项目的总等可能结果数为 $4 × 4 = 16$ 种。
其中，“甲、乙恰好抽到同一个阅读项目”的情况有：都抽《西游记》、都抽《三国演义》、都抽《水浒传》、都抽《红楼梦》，共4种。
根据古典概型概率公式 $P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数}$，可得所求概率为 $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
古典概型；概率计算
【点评】
本题结合传统文化阅读项目考查古典概型的基础应用，解题关键是准确计算总情况数和符合条件的情况数，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这个古典概型概率问题，需分三步思考：首先确定甲、乙抽取项目的所有等可能结果总数；再找出“两人恰好抽到同一个阅读项目”的符合条件的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率，对应选项即可。
【解析】
解：甲从4个阅读项目中随机抽取1个，有4种等可能结果；乙同样从4个项目中随机抽取1个，也有4种等可能结果。根据分步乘法计数原理，甲、乙抽取项目的总等可能结果数为 $4 × 4 = 16$ 种。
其中，“甲、乙恰好抽到同一个阅读项目”的情况有：都抽《西游记》、都抽《三国演义》、都抽《水浒传》、都抽《红楼梦》，共4种。
根据古典概型概率公式 $P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数}$，可得所求概率为 $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
古典概型；概率计算
【点评】
本题结合传统文化阅读项目考查古典概型的基础应用，解题关键是准确计算总情况数和符合条件的情况数，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.7
8. [新情境·游戏活动]"石头、剪子、布"是一个广为流传的游戏,其规则如下:甲、乙两人都做出"石头""剪子""布"3种手势中的1种,其中"石头"赢"剪子","剪子"赢"布","布"赢"石头",手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.
(1) 甲每次做出"石头"手势的概率为
(2) 用画树状图的方法,求乙不输的概率.
(1) 甲每次做出"石头"手势的概率为
$\frac{1}{3}$
;(2) 用画树状图的方法,求乙不输的概率.
答案
8. (1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查概率的计算，解题思路如下：
(1) 甲每次做手势有石头、剪子、布3种等可能的结果，“石头”是其中1种，直接用概率公式计算即可；
(2) 求乙不输的概率，需通过树状图列出甲、乙所有等可能的手势组合，再找出乙不输（含平局和乙赢）的组合数，最后用符合条件的组合数除以总组合数得到概率。
【解析】
(1) 甲每次做出的手势有石头、剪子、布3种等可能的结果，其中“石头”手势仅1种，根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得甲每次做出“石头”手势的概率为$\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图分析：
第一层（甲的手势）：石头、剪子、布；
第二层（对应每个甲手势的乙手势）：每个甲手势下乙都有石头、剪子、布3种选择，共$3×3=9$种等可能结果，分别为：(石,石)、(石,剪)、(石,布)、(剪,石)、(剪,剪)、(剪,布)、(布,石)、(布,剪)、(布,布)；
其中乙不输的情况为：平局（(石,石)、(剪,剪)、(布,布)）和乙赢（(石,布)、(剪,石)、(布,剪)），共6种结果，因此乙不输的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
概率的计算、树状图法求概率
【点评】
本题结合游戏情境考查基础概率计算，核心是用树状图列举所有等可能结果，再筛选符合条件的结果计算概率，属于概率章节的常规题型，难度较低，学生需掌握列举法求概率的基本步骤。
【难度系数】
0.7
本题考查概率的计算，解题思路如下：
(1) 甲每次做手势有石头、剪子、布3种等可能的结果，“石头”是其中1种，直接用概率公式计算即可；
(2) 求乙不输的概率，需通过树状图列出甲、乙所有等可能的手势组合，再找出乙不输（含平局和乙赢）的组合数，最后用符合条件的组合数除以总组合数得到概率。
【解析】
(1) 甲每次做出的手势有石头、剪子、布3种等可能的结果，其中“石头”手势仅1种，根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得甲每次做出“石头”手势的概率为$\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图分析：
第一层（甲的手势）：石头、剪子、布；
第二层（对应每个甲手势的乙手势）：每个甲手势下乙都有石头、剪子、布3种选择，共$3×3=9$种等可能结果，分别为：(石,石)、(石,剪)、(石,布)、(剪,石)、(剪,剪)、(剪,布)、(布,石)、(布,剪)、(布,布)；
其中乙不输的情况为：平局（(石,石)、(剪,剪)、(布,布)）和乙赢（(石,布)、(剪,石)、(布,剪)），共6种结果，因此乙不输的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
概率的计算、树状图法求概率
【点评】
本题结合游戏情境考查基础概率计算，核心是用树状图列举所有等可能结果，再筛选符合条件的结果计算概率，属于概率章节的常规题型，难度较低，学生需掌握列举法求概率的基本步骤。
【难度系数】
0.7
9. 某校一年级开设人数相同的A,B,C三个班级,甲、乙两位学生是该校一年级新生,开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班.
(1) "学生甲分到A班"的概率是
(2) 请用画树状图法求甲、乙两位新生分到同一个班的概率.
(1) "学生甲分到A班"的概率是
$\frac{1}{3}$
;(2) 请用画树状图法求甲、乙两位新生分到同一个班的概率.
答案
9. (1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
对于(1)，一年级有A、B、C三个班级，甲随机分班时每个班级被分到的可能性相同，共3种等可能结果，“分到A班”是其中1种，根据古典概型概率公式可直接计算；对于(2)，需用树状图列举甲、乙所有可能的分班结果，再找出两人同班的结果数，最后根据概率公式计算。
【解析】
(1) 因为共有A、B、C三个班级，甲随机分班，每个班级被分到的概率相等，所以“学生甲分到A班”的概率为$\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图分析：甲的可能班级为A、B、C，对应每个甲的班级，乙的可能班级也为A、B、C，因此所有等可能的结果有：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)，共9种，其中甲、乙分到同一个班的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种，所以甲、乙两位新生分到同一个班的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型、树状图法求概率
【点评】
本题为概率基础题，第一问直接利用古典概型定义求解，第二问通过树状图清晰列举所有等可能结果，考察学生对概率基本计算方法的掌握，属于常规题型。
【难度系数】
0.8
对于(1)，一年级有A、B、C三个班级，甲随机分班时每个班级被分到的可能性相同，共3种等可能结果，“分到A班”是其中1种，根据古典概型概率公式可直接计算；对于(2)，需用树状图列举甲、乙所有可能的分班结果，再找出两人同班的结果数，最后根据概率公式计算。
【解析】
(1) 因为共有A、B、C三个班级，甲随机分班，每个班级被分到的概率相等，所以“学生甲分到A班”的概率为$\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图分析：甲的可能班级为A、B、C，对应每个甲的班级，乙的可能班级也为A、B、C，因此所有等可能的结果有：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)，共9种，其中甲、乙分到同一个班的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种，所以甲、乙两位新生分到同一个班的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型、树状图法求概率
【点评】
本题为概率基础题，第一问直接利用古典概型定义求解，第二问通过树状图清晰列举所有等可能结果，考察学生对概率基本计算方法的掌握，属于常规题型。
【难度系数】
0.8
10. 开学后,老师让同学们自己随机挑选座位,其中,小美、小睿和小伊同学必须坐在一起.
(1) 小睿同学坐在中间的概率为
(2) 请用画树状图的方法求小美和小伊座位相邻的概率.
(1) 小睿同学坐在中间的概率为
$\frac{1}{3}$
;(2) 请用画树状图的方法求小美和小伊座位相邻的概率.
答案
10. (1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图略.小美和小伊座位相邻的概率为$\frac{2}{3}$.
(2) 画树状图略.小美和小伊座位相邻的概率为$\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
小美、小睿、小伊三人必须坐在一起，相当于对三人进行全排列，总共有6种等可能的排列情况。解题时需先明确总情况数，再分别找出对应问题的符合条件的情况数，最后根据概率公式计算概率。
(1) 求小睿坐在中间的概率：先确定小睿固定在中间时，剩余两人的排列情况数，再用符合条件的情况数除以总情况数；
(2) 求小美和小伊座位相邻的概率：通过列举所有排列情况，统计小美和小伊相邻的情况数，再计算概率。
【解析】
(1) 三人全排列的总情况数为：$3×2×1=6$种。
小睿坐在中间时，小美和小伊在左右两侧排列，有2种情况，因此小睿坐在中间的概率为：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图列举所有排列（过程略），共6种等可能情况：
① 小美→小睿→小伊；② 小美→小伊→小睿；③ 小睿→小美→小伊；④ 小睿→小伊→小美；⑤ 小伊→小美→小睿；⑥ 小伊→小睿→小美。
其中小美和小伊相邻的情况为②、③、⑤、⑥，共4种，因此小美和小伊座位相邻的概率为：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
概率计算、排列与组合
【点评】
本题考查基础概率的计算，核心是通过列举所有等可能的排列情况，准确统计符合条件的情况数，属于概率入门题型，需注意排列的有序性。
【难度系数】
0.3
小美、小睿、小伊三人必须坐在一起，相当于对三人进行全排列，总共有6种等可能的排列情况。解题时需先明确总情况数，再分别找出对应问题的符合条件的情况数，最后根据概率公式计算概率。
(1) 求小睿坐在中间的概率：先确定小睿固定在中间时，剩余两人的排列情况数，再用符合条件的情况数除以总情况数；
(2) 求小美和小伊座位相邻的概率：通过列举所有排列情况，统计小美和小伊相邻的情况数，再计算概率。
【解析】
(1) 三人全排列的总情况数为：$3×2×1=6$种。
小睿坐在中间时，小美和小伊在左右两侧排列，有2种情况，因此小睿坐在中间的概率为：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图列举所有排列（过程略），共6种等可能情况：
① 小美→小睿→小伊；② 小美→小伊→小睿；③ 小睿→小美→小伊；④ 小睿→小伊→小美；⑤ 小伊→小美→小睿；⑥ 小伊→小睿→小美。
其中小美和小伊相邻的情况为②、③、⑤、⑥，共4种，因此小美和小伊座位相邻的概率为：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
概率计算、排列与组合
【点评】
本题考查基础概率的计算，核心是通过列举所有等可能的排列情况，准确统计符合条件的情况数，属于概率入门题型，需注意排列的有序性。
【难度系数】
0.3
