疑难点拨
甲、乙、丙三人用抽签的方式决定谁获得唯一的一张电影票,三张签中只有一张"中奖",其余两张"不中奖",三人依次不放回抽签.
(1)分别计算甲、乙、丙中奖的概率;
(2)判断这种抽签方法是否合理,并说明理由.
点拨 抽签公平性只要是随机、不放回、均匀抽签,每个人中签的概率都相等,与先后顺序无关.
判断是否公平的依据是看每个人中签概率是否相等.相等→公平;不相等→不公平.

(1) $\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$ (2) 合理

【分析】
解决本题需分两步：第一问计算甲、乙、丙的中奖概率，利用古典概型结合不放回抽签的特点，分别分析每个人抽签时的情况；第二问判断抽签是否合理，依据是三人中奖概率是否相等，相等则公平合理。
【解析】
(1) 设甲、乙、丙中奖分别为事件$A$、$B$、$C$：
甲抽签时，从3张签中随机抽取1张，总基本事件数为3，中奖事件数为1，故$P(A)=\frac{1}{3}$；
乙抽签时，分两种情况：①甲中奖（概率$\frac{1}{3}$），剩余2张均不中奖，乙中奖概率为0；②甲未中奖（概率$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$），剩余2张中有1张中奖，乙中奖概率为$\frac{1}{2}$。因此$P(B)=\frac{1}{3}×0 + \frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$；
丙抽签时，分三种情况：①甲中奖（概率$\frac{1}{3}$），乙不可能中奖，丙中奖概率为0；②甲未中奖且乙中奖（概率$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$），丙中奖概率为0；③甲、乙均未中奖（概率$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$），剩余1张必中奖，丙中奖概率为1。因此$P(C)=\frac{1}{3}×0 + \frac{1}{3}×0 + \frac{1}{3}×1=\frac{1}{3}$。
(2) 由(1)可知，甲、乙、丙中奖的概率均为$\frac{1}{3}$，三人中奖概率相等，符合公平抽签的条件，故这种抽签方法合理。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$；(2) 合理
【知识点】
古典概型，概率的计算，公平性判断
【点评】
本题结合实际抽签场景，考查古典概型的概率计算及对抽签公平性的理解，核心是明确不放回均匀抽签中各参与者的中奖概率与顺序无关，是概率知识在实际生活中的基础应用，帮助学生建立公平性与概率的关联。
【难度系数】
0.7

1. 一只不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外都相同.
(1)将球搅匀,从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求2次都摸到红球的概率;
(2)将球搅匀,从中任意摸出2个球(相当于第一次摸出的球不放回,第二次再从余下的球中任意摸出1个球),求摸到2个红球的概率.

1. (1) $\frac{9}{25}$ (2) $\frac{3}{10}$

【分析】
本题考查古典概型的概率计算，需区分有放回摸球和无放回摸球两种场景：（1）有放回摸球时两次摸球相互独立，利用分步乘法计数原理计算概率；（2）无放回摸球时，通过组合数确定总情况数和符合条件的情况数，结合古典概型公式求解。
【解析】
（1）有放回摸球：
袋子共5个球，其中红球3个，每次摸球时摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$。由于有放回，两次摸球相互独立，因此两次都摸到红球的概率为：
$P_1 = \frac{3}{5} × \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$。
（2）无放回摸球：
从5个球中摸2个，总情况数为组合数$C_5^2 = \frac{5×4}{2×1}=10$种；摸到2个红球的情况数为从3个红球中取2个的组合数$C_3^2 = \frac{3×2}{2×1}=3$种。根据古典概型概率公式，摸到2个红球的概率为：
$P_2 = \frac{3}{10}$。
【答案】
(1) $\frac{9}{25}$；(2) $\frac{3}{10}$
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题为概率基础应用题，通过两种摸球场景考察古典概型的应用，需明确有放回与无放回摸球的差异，避免混淆总情况数，属于学生应熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7

2. [原创题]普通高中施行新高考选科模式,此模式有若干种学科组合,每位高中生可根据自己的实际情况选择一种.一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合,该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班,其中每位学生被分到这三个班的机会均等.
(1)姐姐恰好被分到B班的概率为;
(2)用画树状图(或列表)的方法,求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率.

2. (1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{3}$

【分析】
第(1)问中，每位学生被分到A、B、C三个班的机会均等，共3种等可能结果，姐姐分到B班是其中1种，直接利用等可能事件概率公式计算；第(2)问中，双胞胎姐妹的班级选择相互独立，通过列表或画树状图可列举所有等可能结果，再找出两人同班的结果数，进而计算概率。
【解析】
(1) 因为每位学生被分到A、B、C三个班的机会均等，即共有3种等可能的结果，姐姐被分到B班的结果有1种，根据等可能事件的概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得姐姐恰好被分到B班的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 用列表法列举所有可能的结果：
| 姐姐\妹妹 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种，所以她们被分到同一个班的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件的概率、列表法求概率
【点评】
本题考查基础概率的实际应用，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，帮助学生理解概率的计算逻辑，属于概率部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7