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8. 若$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=16$，则$n=$（
A.3
B.2
C.1
D.0
B
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
B
解析
【分析】
首先观察等式左侧，是4个相同的项$2^n$相加，可先根据乘法的意义合并为乘法形式，再通过等式变形得到$2^n$的结果，最后将常数转化为底数为2的乘方形式，利用“同底数幂相等时，指数也相等”的性质即可求出n的值。
【解析】
解：对等式左边进行合并：
$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=4×2^{n}$
原等式可化为：
$4×2^{n}=16$
两边同时除以4，得：
$2^{n}=4$
又因为$4=2^{2}$，所以：
$2^{n}=2^{2}$
可得$n=2$。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；同底数幂的性质；等式的基本性质
【点评】
本题是乘方相关的基础运算题，解题的核心是先合并左侧的同类项，再将常数转化为同底数的幂进行求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察等式左侧，是4个相同的项$2^n$相加，可先根据乘法的意义合并为乘法形式，再通过等式变形得到$2^n$的结果，最后将常数转化为底数为2的乘方形式，利用“同底数幂相等时，指数也相等”的性质即可求出n的值。
【解析】
解：对等式左边进行合并：
$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=4×2^{n}$
原等式可化为：
$4×2^{n}=16$
两边同时除以4，得：
$2^{n}=4$
又因为$4=2^{2}$，所以：
$2^{n}=2^{2}$
可得$n=2$。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；同底数幂的性质；等式的基本性质
【点评】
本题是乘方相关的基础运算题，解题的核心是先合并左侧的同类项，再将常数转化为同底数的幂进行求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
9. 下列各式运算错误的是 （
A.$(a^m)^2 = a^{2m}$
B.$(a^2)^m = a^{2+m}$
C.$[(a+b)^{2n}]^m = (a+b)^{2mn}$
D.$(a+b)^m(a+b)^n = (a+b)^{m+n}$
B
）A.$(a^m)^2 = a^{2m}$
B.$(a^2)^m = a^{2+m}$
C.$[(a+b)^{2n}]^m = (a+b)^{2mn}$
D.$(a+b)^m(a+b)^n = (a+b)^{m+n}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时先回忆幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合法则，最终找出运算错误的选项即可。解题的关键是区分幂的乘方是指数相乘，同底数幂相乘是指数相加，不要混淆两种运算的指数计算规则。
【解析】
首先明确幂运算的两个核心法则：
1. 幂的乘方法则：$(x^p)^q = x^{pq}$（底数不变，指数相乘）；
2. 同底数幂的乘法法则：$x^p · x^q = x^{p+q}$（底数不变，指数相加）。
逐一分析选项：
选项A：$(a^m)^2$属于幂的乘方运算，底数$a$不变，指数$m$和$2$相乘，结果为$a^{2m}$，运算正确，不符合题意；
选项B：$(a^2)^m$属于幂的乘方运算，底数$a$不变，指数$2$和$m$相乘，正确结果应为$a^{2m}$，选项给出的$a^{2+m}$是错误的，符合题意；
选项C：将$(a+b)$看作整体，$[(a+b)^{2n}]^m$属于幂的乘方运算，底数不变，指数$2n$和$m$相乘，结果为$(a+b)^{2mn}$，运算正确，不符合题意；
选项D：$(a+b)^m(a+b)^n$属于同底数幂的乘法运算，底数$(a+b)$不变，指数$m$和$n$相加，结果为$(a+b)^{m+n}$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂运算法则的记忆与区分，解题时要注意幂的乘方是指数相乘，同底数幂相乘是指数相加，底数既可以是单个字母，也可以是多项式等整体，运算时切忌混淆两种法则的指数计算规则。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时先回忆幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合法则，最终找出运算错误的选项即可。解题的关键是区分幂的乘方是指数相乘，同底数幂相乘是指数相加，不要混淆两种运算的指数计算规则。
【解析】
首先明确幂运算的两个核心法则：
1. 幂的乘方法则：$(x^p)^q = x^{pq}$（底数不变，指数相乘）；
2. 同底数幂的乘法法则：$x^p · x^q = x^{p+q}$（底数不变，指数相加）。
逐一分析选项：
选项A：$(a^m)^2$属于幂的乘方运算，底数$a$不变，指数$m$和$2$相乘，结果为$a^{2m}$，运算正确，不符合题意；
选项B：$(a^2)^m$属于幂的乘方运算，底数$a$不变，指数$2$和$m$相乘，正确结果应为$a^{2m}$，选项给出的$a^{2+m}$是错误的，符合题意；
选项C：将$(a+b)$看作整体，$[(a+b)^{2n}]^m$属于幂的乘方运算，底数不变，指数$2n$和$m$相乘，结果为$(a+b)^{2mn}$，运算正确，不符合题意；
选项D：$(a+b)^m(a+b)^n$属于同底数幂的乘法运算，底数$(a+b)$不变，指数$m$和$n$相加，结果为$(a+b)^{m+n}$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂运算法则的记忆与区分，解题时要注意幂的乘方是指数相乘，同底数幂相乘是指数相加，底数既可以是单个字母，也可以是多项式等整体，运算时切忌混淆两种法则的指数计算规则。
【难度系数】
0.8
10.如果$2m + n = 2$，那么$(4^m · 2^n)^2 =$
16
.答案
16
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的底数特点，将底数4转化为2²，统一底数后，依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则对式子进行化简，最后将已知条件$2m+n=2$整体代入化简后的式子，即可求出结果。
【解析】
先统一底数为2，再根据幂的运算法则逐步化简：
$\begin{aligned}(4^m · 2^n)^2&=[(2^2)^m · 2^n]^2\\&=(2^{2m} · 2^n)^2\\&=[2^{2m+n}]^2\\&=2^{2(2m+n)}\end{aligned}$
将$2m+n=2$代入上式，可得：
$2^{2×2}=2^4=16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础应用类题目，解题关键是统一不同底数为相同底数，再结合整体代入思想计算，熟练掌握幂的各类运算法则是准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求式子的底数特点，将底数4转化为2²，统一底数后，依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则对式子进行化简，最后将已知条件$2m+n=2$整体代入化简后的式子，即可求出结果。
【解析】
先统一底数为2，再根据幂的运算法则逐步化简：
$\begin{aligned}(4^m · 2^n)^2&=[(2^2)^m · 2^n]^2\\&=(2^{2m} · 2^n)^2\\&=[2^{2m+n}]^2\\&=2^{2(2m+n)}\end{aligned}$
将$2m+n=2$代入上式，可得：
$2^{2×2}=2^4=16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础应用类题目，解题关键是统一不同底数为相同底数，再结合整体代入思想计算，熟练掌握幂的各类运算法则是准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
11. 某养鸡场定制一批棱长为 $ 3 × 10^2 \, \mathrm{mm} $ 的正方体鸡蛋包装箱，求这样一个包装箱的表面积.（结果用科学记数法表示）
答案
解:由题意,得包装箱的表面积为 $6×(3×10^2)^2=6×9×10^4=54×10^4=5.4×10^5(\mathrm{mm}^2)$.
答:这样一个包装箱的表面积是 $5.4×10^5 \mathrm{mm}^2$.
答:这样一个包装箱的表面积是 $5.4×10^5 \mathrm{mm}^2$.
解析
【分析】
解题时首先明确正方体的表面积计算公式：正方体表面积等于6倍棱长的平方；其次，题目给出的棱长为科学记数法表示的形式，计算棱长平方时需运用积的乘方、幂的乘方运算法则计算；最后将运算结果整理为标准的科学记数法（满足$1≤a＜10$）即可。
【解析】
解：根据正方体表面积公式，代入棱长$a=3×10^2\,\mathrm{mm}$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}S&=6a^2\\&=6×(3×10^2)^2\\&=6×3^2×(10^2)^2\\&=6×9×10^4\\&=54×10^4\\&=5.4×10^5(\mathrm{mm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$5.4×10^5\,\mathrm{mm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算、积的乘方运算、科学记数法
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考察了基础几何图形的表面积公式，也考察了幂的运算性质与科学记数法的规范书写，解题时需注意最终科学记数法的形式要符合a的取值范围要求，避免出现结果不规范的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确正方体的表面积计算公式：正方体表面积等于6倍棱长的平方；其次，题目给出的棱长为科学记数法表示的形式，计算棱长平方时需运用积的乘方、幂的乘方运算法则计算；最后将运算结果整理为标准的科学记数法（满足$1≤a＜10$）即可。
【解析】
解：根据正方体表面积公式，代入棱长$a=3×10^2\,\mathrm{mm}$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}S&=6a^2\\&=6×(3×10^2)^2\\&=6×3^2×(10^2)^2\\&=6×9×10^4\\&=54×10^4\\&=5.4×10^5(\mathrm{mm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$5.4×10^5\,\mathrm{mm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算、积的乘方运算、科学记数法
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考察了基础几何图形的表面积公式，也考察了幂的运算性质与科学记数法的规范书写，解题时需注意最终科学记数法的形式要符合a的取值范围要求，避免出现结果不规范的错误。
【难度系数】
0.8
12. 信息技术的存储设备常用 B(字节),kB,MB,GB 等作为存储量的单位,例如,我们常说某计算机的硬盘容量是 500 GB,某 U 盘的容量是 16 GB,某个文件的大小是 156 kB 等,其中 $1\ \mathrm{GB}=2^{10}\ \mathrm{MB},1\ \mathrm{MB}=2^{10}\ \mathrm{kB},1\ \mathrm{kB}=2^{10}\ \mathrm{B}$. 对于一个存储量为 8 GB 的闪存盘,其容量是多少字节?
答案
解:$8×2^{10}×2^{10}×2^{10}=2^3×2^{10}×2^{10}×2^{10}=2^{33}(\mathrm{B})$.
答:对于一个存储量为 8 GB 的闪存盘,其容量是 $2^{33}$ B.
答:对于一个存储量为 8 GB 的闪存盘,其容量是 $2^{33}$ B.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确存储单位的换算关系：要把GB换算为B，需要依次经过GB转MB、MB转kB、kB转B三次换算，每次换算都要乘以$2^{10}$。得到连乘算式后，先把8转化为以2为底的幂$2^3$，再利用同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则计算最终结果即可。
【解析】
解：根据存储单位换算规则可得：
$8\ \mathrm{GB}=8×2^{10}×2^{10}×2^{10}\ \mathrm{B}$
将8改写为$2^3$，再根据同底数幂的乘法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=2^3×2^{10}×2^{10}×2^{10}\\&=2^{3+10+10+10}\\&=2^{33}(\mathrm{B})\end{aligned}$
【答案】
$2^{33}\ \mathrm{B}$
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.单位换算
3.乘方运算
【点评】
本题结合生活中常见的存储容量换算场景，考查了幂的运算法则的实际应用，解题核心是理清各级单位的换算进率，正确运用同底数幂的运算规则计算，体现了数学知识在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确存储单位的换算关系：要把GB换算为B，需要依次经过GB转MB、MB转kB、kB转B三次换算，每次换算都要乘以$2^{10}$。得到连乘算式后，先把8转化为以2为底的幂$2^3$，再利用同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则计算最终结果即可。
【解析】
解：根据存储单位换算规则可得：
$8\ \mathrm{GB}=8×2^{10}×2^{10}×2^{10}\ \mathrm{B}$
将8改写为$2^3$，再根据同底数幂的乘法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=2^3×2^{10}×2^{10}×2^{10}\\&=2^{3+10+10+10}\\&=2^{33}(\mathrm{B})\end{aligned}$
【答案】
$2^{33}\ \mathrm{B}$
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.单位换算
3.乘方运算
【点评】
本题结合生活中常见的存储容量换算场景，考查了幂的运算法则的实际应用，解题核心是理清各级单位的换算进率，正确运用同底数幂的运算规则计算，体现了数学知识在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
