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一、夯实基础
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）.
A.$\sqrt{20}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
D.$\sqrt{0.5}$
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）.
A.$\sqrt{20}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
D.$\sqrt{0.5}$
答案
B
解析
【分析】
要选出最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只要对照这两个条件，逐个分析每个选项即可得出正确结果。
【解析】
我们对照判定条件逐个分析选项：
A. $\sqrt{20}$：被开方数$20=4×5$，其中4是能开得尽方的因数，化简得$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，因此不是最简二次根式；
B. $\sqrt{6}$：被开方数6分解质因数为$2×3$，不存在能开得尽方的因数，且被开方数不含分母，符合最简二次根式的要求；
C. $\sqrt{\dfrac{1}{5}}$：被开方数含有分母，化简得$\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，因此不是最简二次根式；
D. $\sqrt{0.5}$：被开方数0.5可化为分数$\dfrac{1}{2}$，被开方数含分母，化简得$\sqrt{0.5}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，因此不是最简二次根式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对最简二次根式概念的掌握，只要牢记两个判定条件，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要选出最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只要对照这两个条件，逐个分析每个选项即可得出正确结果。
【解析】
我们对照判定条件逐个分析选项：
A. $\sqrt{20}$：被开方数$20=4×5$，其中4是能开得尽方的因数，化简得$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，因此不是最简二次根式；
B. $\sqrt{6}$：被开方数6分解质因数为$2×3$，不存在能开得尽方的因数，且被开方数不含分母，符合最简二次根式的要求；
C. $\sqrt{\dfrac{1}{5}}$：被开方数含有分母，化简得$\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，因此不是最简二次根式；
D. $\sqrt{0.5}$：被开方数0.5可化为分数$\dfrac{1}{2}$，被开方数含分母，化简得$\sqrt{0.5}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，因此不是最简二次根式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对最简二次根式概念的掌握，只要牢记两个判定条件，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列二次根式中，能与$\sqrt{3}$合并的是（）.
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{24}$
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{24}$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个二次根式能和$\sqrt{3}$合并，首先要明确：只有被开方数相同的最简二次根式才能合并，因此解题步骤是先将每个选项的二次根式化为最简二次根式，再看化简后的被开方数是否为3，符合条件的就是正确答案。
【解析】
我们逐个化简各选项：
A. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数是2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{9}=3$，是整数，不含二次根式，不能与$\sqrt{3}$合并；
C. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数是6，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握同类二次根式的判断方法，做题时切记要先把二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否相同，不要直接用原式的被开方数判断。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式能和$\sqrt{3}$合并，首先要明确：只有被开方数相同的最简二次根式才能合并，因此解题步骤是先将每个选项的二次根式化为最简二次根式，再看化简后的被开方数是否为3，符合条件的就是正确答案。
【解析】
我们逐个化简各选项：
A. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数是2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{9}=3$，是整数，不含二次根式，不能与$\sqrt{3}$合并；
C. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数是6，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握同类二次根式的判断方法，做题时切记要先把二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否相同，不要直接用原式的被开方数判断。
【难度系数】
0.8
3. 下列运算中，正确的是（）.
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=1$
C.$5\sqrt{2}×5\sqrt{3}=5\sqrt{6}$
D.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=1$
C.$5\sqrt{2}×5\sqrt{3}=5\sqrt{6}$
D.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的四则运算规则，解题时需要逐一分析每个选项，分别依据二次根式加减、乘除的运算法则判断运算是否正确，最终选出正确选项。首先回忆相关法则：1.二次根式加减时，只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并，合并时只把系数相加减，被开方数不变；2.二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简；3.二次根式相除，被开方数相除后再开方，最后化简，按照上述法则逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并相加，因此运算错误；
B选项：合并同类二次根式即可：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}≠1$，因此运算错误；
C选项：二次根式乘法，系数和被开方数分别相乘：$5\sqrt{2}×5\sqrt{3}=(5×5)×\sqrt{2×3}=25\sqrt{6}≠5\sqrt{6}$，因此运算错误；
D选项：二次根式除法，被开方数相除后开方：$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；同类二次根式
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查二次根式四则运算的基本规则，做题时注意区分不同运算的要求，避免出现非同类二次根式乱合并、乘法运算漏乘系数等低级错误，熟练掌握法则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的四则运算规则，解题时需要逐一分析每个选项，分别依据二次根式加减、乘除的运算法则判断运算是否正确，最终选出正确选项。首先回忆相关法则：1.二次根式加减时，只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并，合并时只把系数相加减，被开方数不变；2.二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简；3.二次根式相除，被开方数相除后再开方，最后化简，按照上述法则逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并相加，因此运算错误；
B选项：合并同类二次根式即可：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}≠1$，因此运算错误；
C选项：二次根式乘法，系数和被开方数分别相乘：$5\sqrt{2}×5\sqrt{3}=(5×5)×\sqrt{2×3}=25\sqrt{6}≠5\sqrt{6}$，因此运算错误；
D选项：二次根式除法，被开方数相除后开方：$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；同类二次根式
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查二次根式四则运算的基本规则，做题时注意区分不同运算的要求，避免出现非同类二次根式乱合并、乘法运算漏乘系数等低级错误，熟练掌握法则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
4. 估计$\sqrt{3}×(\sqrt{10}-\sqrt{3})$的值应在（）.
A.0和1之间
B.1和2之间
C.2和3之间
D.3和4之间
A.0和1之间
B.1和2之间
C.2和3之间
D.3和4之间
答案
C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先利用二次根式乘法分配律将原式展开化简，得到含有无理数的最简形式；第二步估算该无理数的整数范围，利用相邻整数的平方确定无理数介于哪两个整数之间；第三步根据不等式的性质，对无理数的范围进行变形，得到原式的取值范围，对应选项即可得到答案。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\sqrt{3}×(\sqrt{10}-\sqrt{3})&=\sqrt{3}×\sqrt{10}-\sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{30}-3\end{aligned}$
再估算$\sqrt{30}$的取值范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
对不等式三边同时减3，得：
$5-3＜\sqrt{30}-3＜6-3$，即$2＜\sqrt{30}-3＜3$。
因此原式的值在2和3之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数大小估算；不等式基本性质
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式的运算与无理数的估算能力，解题的关键是先将原式化简，再通过“平方比较法”确定无理数的取值范围，进而推导整个式子的取值区间。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先利用二次根式乘法分配律将原式展开化简，得到含有无理数的最简形式；第二步估算该无理数的整数范围，利用相邻整数的平方确定无理数介于哪两个整数之间；第三步根据不等式的性质，对无理数的范围进行变形，得到原式的取值范围，对应选项即可得到答案。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\sqrt{3}×(\sqrt{10}-\sqrt{3})&=\sqrt{3}×\sqrt{10}-\sqrt{3}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{30}-3\end{aligned}$
再估算$\sqrt{30}$的取值范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
对不等式三边同时减3，得：
$5-3＜\sqrt{30}-3＜6-3$，即$2＜\sqrt{30}-3＜3$。
因此原式的值在2和3之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数大小估算；不等式基本性质
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式的运算与无理数的估算能力，解题的关键是先将原式化简，再通过“平方比较法”确定无理数的取值范围，进而推导整个式子的取值区间。
【难度系数】
0.7
5. 若$\sqrt{x+1}$有意义，则实数$x$的取值范围是________.
答案
$x≥-1$
解析
【分析】
要确定使$\sqrt{x+1}$有意义的$x$的取值范围，首先回忆二次根式有意义的核心要求：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。本题中$\sqrt{x+1}$的被开方数是$x+1$，因此我们只需列出关于$x$的不等式$x+1≥0$，解出该不等式的解集就是$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$x+1≥0$
对不等式移项，得：
$x≥-1$
【答案】
$x≥-1$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对二次根式有意义条件的掌握，牢记被开方数非负的要求即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定使$\sqrt{x+1}$有意义的$x$的取值范围，首先回忆二次根式有意义的核心要求：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。本题中$\sqrt{x+1}$的被开方数是$x+1$，因此我们只需列出关于$x$的不等式$x+1≥0$，解出该不等式的解集就是$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$x+1≥0$
对不等式移项，得：
$x≥-1$
【答案】
$x≥-1$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对二次根式有意义条件的掌握，牢记被开方数非负的要求即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 化简：$\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\_\_\_\_\_\_$；$-\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；$-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
解析
【分析】
二次根式化简需要满足两个核心要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。我们分别对两个式子分步化简：第一个式子先把被开方数的分母凑成完全平方数，再利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$计算；第二个式子先把带分数转化为假分数，再按二次根式的性质化简即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$：
将被开方数的分子、分母同时乘2，把分母化为完全平方数：
$\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\sqrt{\dfrac{1×2}{8×2}}=\sqrt{\dfrac{2}{16}}$
根据二次根式的性质拆分计算：
$\sqrt{\dfrac{2}{16}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$。
2. 化简$-\sqrt{4\dfrac{1}{4}}$：
先将带分数$4\dfrac{1}{4}$化为假分数：$4\dfrac{1}{4}=\dfrac{4×4+1}{4}=\dfrac{17}{4}$
代入原式后根据二次根式的性质计算：
$-\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=-\sqrt{\dfrac{17}{4}}=-\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}=-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；$-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
二次根式化简；最简二次根式；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查二次根式的化简规则，熟练掌握二次根式的性质和最简二次根式的判定要求就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
二次根式化简需要满足两个核心要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。我们分别对两个式子分步化简：第一个式子先把被开方数的分母凑成完全平方数，再利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$计算；第二个式子先把带分数转化为假分数，再按二次根式的性质化简即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$：
将被开方数的分子、分母同时乘2，把分母化为完全平方数：
$\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\sqrt{\dfrac{1×2}{8×2}}=\sqrt{\dfrac{2}{16}}$
根据二次根式的性质拆分计算：
$\sqrt{\dfrac{2}{16}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$。
2. 化简$-\sqrt{4\dfrac{1}{4}}$：
先将带分数$4\dfrac{1}{4}$化为假分数：$4\dfrac{1}{4}=\dfrac{4×4+1}{4}=\dfrac{17}{4}$
代入原式后根据二次根式的性质计算：
$-\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=-\sqrt{\dfrac{17}{4}}=-\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}=-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；$-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
二次根式化简；最简二次根式；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查二次根式的化简规则，熟练掌握二次根式的性质和最简二次根式的判定要求就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7. 符号“*”表示一种新的运算，规定 $ a*b = \sqrt{a} · \sqrt{b} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $，则 $ 6*2 $ 的值为 ______。
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解新运算“*”的运算规则，明确$a*b$的计算方法；然后将$a=6$、$b=2$代入新运算的公式中，再按照二次根式的乘除运算法则分别计算两部分的值，最后合并化简得到结果即可。
【解析】
根据题中规定的新运算规则 $a*b = \sqrt{a} · \sqrt{b} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，将$a=6$，$b=2$代入可得：
$\begin{aligned}6*2&=\sqrt{6} × \sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{6 × 2} - \sqrt{\frac{6}{2}}\\&=\sqrt{12} - \sqrt{3}\\&=2\sqrt{3} - \sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算，二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题核心是对新运算规则的准确理解，同时结合二次根式的基础运算进行考察，运算过程中注意先按法则计算再化简，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解新运算“*”的运算规则，明确$a*b$的计算方法；然后将$a=6$、$b=2$代入新运算的公式中，再按照二次根式的乘除运算法则分别计算两部分的值，最后合并化简得到结果即可。
【解析】
根据题中规定的新运算规则 $a*b = \sqrt{a} · \sqrt{b} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，将$a=6$，$b=2$代入可得：
$\begin{aligned}6*2&=\sqrt{6} × \sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{6 × 2} - \sqrt{\frac{6}{2}}\\&=\sqrt{12} - \sqrt{3}\\&=2\sqrt{3} - \sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算，二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题核心是对新运算规则的准确理解，同时结合二次根式的基础运算进行考察，运算过程中注意先按法则计算再化简，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
8. 为备战运动会，某市对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数$\bar{x}$（单位：环）及方差$s^2$如右表所示. 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________.
答案
丁
解析
【分析】要选出成绩好且发挥稳定的运动员，需分两步筛选：首先看成绩好坏，平均数越高说明整体成绩越好，先通过比较平均数选出成绩更优的选手；其次看发挥稳定性，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，再在成绩较优的选手中选出方差最小的即可。
【解析】
第一步：比较四名运动员的平均成绩
已知$\bar{x}_甲=9.6$，$\bar{x}_乙=8.9$，$\bar{x}_丙=9.6$，$\bar{x}_丁=9.6$，可得甲、丙、丁的平均成绩均高于乙，因此先淘汰成绩较差的乙，保留甲、丙、丁三名选手。
第二步：比较甲、丙、丁的方差
已知$s^2_甲=1.4$，$s^2_丙=2.3$，$s^2_丁=0.8$，根据“方差越小，数据波动越小，发挥越稳定”的性质，可得$0.8＜1.4＜2.3$，即丁的方差最小，发挥最稳定。
因此丁是成绩好且发挥稳定的运动员。
【答案】丁
【知识点】平均数的意义；方差的意义
【点评】本题是统计量的实际应用型题目，解题关键是明确平均数、方差各自代表的统计特征，结合题目要求选择对应指标筛选即可，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
第一步：比较四名运动员的平均成绩
已知$\bar{x}_甲=9.6$，$\bar{x}_乙=8.9$，$\bar{x}_丙=9.6$，$\bar{x}_丁=9.6$，可得甲、丙、丁的平均成绩均高于乙，因此先淘汰成绩较差的乙，保留甲、丙、丁三名选手。
第二步：比较甲、丙、丁的方差
已知$s^2_甲=1.4$，$s^2_丙=2.3$，$s^2_丁=0.8$，根据“方差越小，数据波动越小，发挥越稳定”的性质，可得$0.8＜1.4＜2.3$，即丁的方差最小，发挥最稳定。
因此丁是成绩好且发挥稳定的运动员。
【答案】丁
【知识点】平均数的意义；方差的意义
【点评】本题是统计量的实际应用型题目，解题关键是明确平均数、方差各自代表的统计特征，结合题目要求选择对应指标筛选即可，难度较低。
【难度系数】0.8
9. 计算：
（1）$4\sqrt{15}×2\sqrt{3}÷\sqrt{5}$；
（2）$(3\sqrt{18}+\frac{1}{5}\sqrt{50}-4\sqrt{\frac{1}{2}})÷\sqrt{32}$；
（3）$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)-(\sqrt{2}-1)^2$；
（4）$(2\sqrt{5}-2)^0 + |2-\sqrt{5}| + (-1)^{2025} - \frac{1}{3}×\sqrt{45}$。
（1）$4\sqrt{15}×2\sqrt{3}÷\sqrt{5}$；
（2）$(3\sqrt{18}+\frac{1}{5}\sqrt{50}-4\sqrt{\frac{1}{2}})÷\sqrt{32}$；
（3）$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)-(\sqrt{2}-1)^2$；
（4）$(2\sqrt{5}-2)^0 + |2-\sqrt{5}| + (-1)^{2025} - \frac{1}{3}×\sqrt{45}$。
答案
（1）24；（2）2；（3）2√2 -1；（4）-2
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题思路如下：
1. 二次根式乘除同级运算，可先将系数、被开方数分别相乘除，再化简结果；
2. 含括号的二次根式运算，先将括号内各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后再进行后续运算；
3. 符合乘法公式结构的运算，优先用平方差公式、完全平方公式展开计算，简化运算步骤；
4. 含零指数幂、绝对值、乘方的混合运算，先分别计算每个特殊项的值，再按有理数加减法则合并。
【解析】
（1）$\begin{aligned}4\sqrt{15}×2\sqrt{3}÷\sqrt{5}&=(4×2)×\sqrt{15×3÷5}\\&=8×\sqrt{9}\\&=8×3\\&=24\end{aligned}$
（2）先化简各二次根式：
$3\sqrt{18}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$，$\frac{1}{5}\sqrt{50}=\frac{1}{5}×5\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$\begin{aligned}原式&=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}\\&=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{6})^2-2^2]-[(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2]\\&=(6-4)-(2-2\sqrt{2}+1)\\&=2-(3-2\sqrt{2})\\&=2-3+2\sqrt{2}\\&=2\sqrt{2}-1\end{aligned}$
（4）分别计算各特殊项：
非零数的零次幂为1，故$(2\sqrt{5}-2)^0=1$；$\sqrt{5}＞2$，故$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；$(-1)^{2025}=-1$；$\frac{1}{3}×\sqrt{45}=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$
$\begin{aligned}原式&=1+(\sqrt{5}-2)+(-1)-\sqrt{5}\\&=1+\sqrt{5}-2-1-\sqrt{5}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{24}$；（2）$\boxed{2}$；（3）$\boxed{2\sqrt{2}-1}$；（4）$\boxed{-2}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，零指数幂与绝对值化简
【点评】
本题聚焦二次根式相关运算的基础考察，需要熟练掌握二次根式化简、乘除运算法则，同时能灵活运用乘法公式、零指数幂、绝对值的性质简化运算，计算时需注意运算顺序和符号判断，减少失误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的混合运算题，解题思路如下：
1. 二次根式乘除同级运算，可先将系数、被开方数分别相乘除，再化简结果；
2. 含括号的二次根式运算，先将括号内各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后再进行后续运算；
3. 符合乘法公式结构的运算，优先用平方差公式、完全平方公式展开计算，简化运算步骤；
4. 含零指数幂、绝对值、乘方的混合运算，先分别计算每个特殊项的值，再按有理数加减法则合并。
【解析】
（1）$\begin{aligned}4\sqrt{15}×2\sqrt{3}÷\sqrt{5}&=(4×2)×\sqrt{15×3÷5}\\&=8×\sqrt{9}\\&=8×3\\&=24\end{aligned}$
（2）先化简各二次根式：
$3\sqrt{18}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$，$\frac{1}{5}\sqrt{50}=\frac{1}{5}×5\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$\begin{aligned}原式&=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}\\&=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{6})^2-2^2]-[(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2]\\&=(6-4)-(2-2\sqrt{2}+1)\\&=2-(3-2\sqrt{2})\\&=2-3+2\sqrt{2}\\&=2\sqrt{2}-1\end{aligned}$
（4）分别计算各特殊项：
非零数的零次幂为1，故$(2\sqrt{5}-2)^0=1$；$\sqrt{5}＞2$，故$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；$(-1)^{2025}=-1$；$\frac{1}{3}×\sqrt{45}=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$
$\begin{aligned}原式&=1+(\sqrt{5}-2)+(-1)-\sqrt{5}\\&=1+\sqrt{5}-2-1-\sqrt{5}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{24}$；（2）$\boxed{2}$；（3）$\boxed{2\sqrt{2}-1}$；（4）$\boxed{-2}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，零指数幂与绝对值化简
【点评】
本题聚焦二次根式相关运算的基础考察，需要熟练掌握二次根式化简、乘除运算法则，同时能灵活运用乘法公式、零指数幂、绝对值的性质简化运算，计算时需注意运算顺序和符号判断，减少失误。
【难度系数】
0.7
