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20. 如图，直线$y=2x+4$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，直线$AB$上有一点$Q$在第一象限且到$y$轴的距离为$2$.
（1）求点$A$，$B$，$Q$的坐标.
（2）若点$P$在$x$轴上，且$PO=24$，求$△ APQ$的面积.
（1）求点$A$，$B$，$Q$的坐标.
（2）若点$P$在$x$轴上，且$PO=24$，求$△ APQ$的面积.
答案
（1）$A(-2,0)$，$B(0,4)$，$Q(2,8)$；（2）$△ APQ$的面积为104或88。
解析
【分析】
（1）求一次函数与坐标轴交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入解析式即可求出A、B坐标；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，结合Q在第一象限确定横坐标为2，代入解析式即可求Q的纵坐标。
（2）点P在x轴上且PO=24，需分P在x轴正半轴、负半轴两种情况讨论，先求出AP的长度，△APQ的高为Q点到x轴的距离即Q的纵坐标，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）求点A坐标：
∵点A是直线与x轴的交点，此时y=0，
将y=0代入$y=2x+4$得：$0=2x+4$，解得$x=-2$，
∴$A(-2,0)$。
求点B坐标：
∵点B是直线与y轴的交点，此时x=0，
将$x=0$代入$y=2x+4$得：$y=2×0+4=4$，
∴$B(0,4)$。
求点Q坐标：
∵Q在第一象限且到y轴的距离为2，
∴Q的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=2x+4$得：$y=2×2+4=8$，
∴$Q(2,8)$。
（2）
∵点P在x轴上，$PO=24$，
∴分两种情况讨论：
①当P在x轴正半轴时，P点坐标为$(24,0)$，
此时AP的长度为$|24 - (-2)|=26$，
△APQ的高为Q点到x轴的距离，即Q的纵坐标8，
∴$S_{△ APQ} = \frac{1}{2}×AP×8 = \frac{1}{2}×26×8 = 104$。
②当P在x轴负半轴时，P点坐标为$(-24,0)$，
此时AP的长度为$|-24 - (-2)|=22$，
∴$S_{△ APQ} = \frac{1}{2}×22×8 = 88$。
综上，△APQ的面积为104或88。
【答案】
（1）$A(-2,0)$，$B(0,4)$，$Q(2,8)$；（2）$△ APQ$的面积为104或88。
【知识点】
一次函数的图象与性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，解题时要注意点的位置与坐标符号的关系，涉及到点到原点距离为定值时，需分情况讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求一次函数与坐标轴交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入解析式即可求出A、B坐标；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，结合Q在第一象限确定横坐标为2，代入解析式即可求Q的纵坐标。
（2）点P在x轴上且PO=24，需分P在x轴正半轴、负半轴两种情况讨论，先求出AP的长度，△APQ的高为Q点到x轴的距离即Q的纵坐标，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）求点A坐标：
∵点A是直线与x轴的交点，此时y=0，
将y=0代入$y=2x+4$得：$0=2x+4$，解得$x=-2$，
∴$A(-2,0)$。
求点B坐标：
∵点B是直线与y轴的交点，此时x=0，
将$x=0$代入$y=2x+4$得：$y=2×0+4=4$，
∴$B(0,4)$。
求点Q坐标：
∵Q在第一象限且到y轴的距离为2，
∴Q的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=2x+4$得：$y=2×2+4=8$，
∴$Q(2,8)$。
（2）
∵点P在x轴上，$PO=24$，
∴分两种情况讨论：
①当P在x轴正半轴时，P点坐标为$(24,0)$，
此时AP的长度为$|24 - (-2)|=26$，
△APQ的高为Q点到x轴的距离，即Q的纵坐标8，
∴$S_{△ APQ} = \frac{1}{2}×AP×8 = \frac{1}{2}×26×8 = 104$。
②当P在x轴负半轴时，P点坐标为$(-24,0)$，
此时AP的长度为$|-24 - (-2)|=22$，
∴$S_{△ APQ} = \frac{1}{2}×22×8 = 88$。
综上，△APQ的面积为104或88。
【答案】
（1）$A(-2,0)$，$B(0,4)$，$Q(2,8)$；（2）$△ APQ$的面积为104或88。
【知识点】
一次函数的图象与性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，解题时要注意点的位置与坐标符号的关系，涉及到点到原点距离为定值时，需分情况讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
21. 今年某市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380件，320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件.
（1）设从A基地运往甲销售点x件水果，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围.
（2）若总运费不超过18 300元，且从A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费.
（1）设从A基地运往甲销售点x件水果，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围.
（2）若总运费不超过18 300元，且从A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费.
答案
（1）$W=35x + 11200$，x的取值范围是$80 ≤ x ≤ 380$；
（2）最低运费为18200元，运输方案为：A基地运往甲200件、乙180件，B基地运往甲200件、乙120件。
（2）最低运费为18200元，运输方案为：A基地运往甲200件、乙180件，B基地运往甲200件、乙120件。
解析
【分析】
（1）解题时首先用含x的代数式分别表示出A基地运往乙销售点、B基地运往甲销售点、B基地运往乙销售点的水果件数，再根据“总运费=各段运输费用之和”列出W关于x的表达式；最后根据所有运输的水果件数均为非负数，结合各基地的收获量、各销售点的需求量，列不等式组求解x的取值范围。
（2）先根据题目给出的“总运费不超过18300元”“A地运往甲销售点的水果不低于200件”两个限制条件，结合第一问的x取值范围，确定x的可行范围；再根据一次函数的增减性，判断W取最小值时x的取值，进而求出最低运费和对应的运输方案。
【解析】
（1）设从A基地运往甲销售点x件水果，根据题意：
A基地运往乙销售点的水果为$(380-x)$件，
甲销售点还需要的$(400-x)$件由B基地运往，
B基地运往乙销售点的水果为$320-(400-x)=x-80$件。
总运费$W=40x + 20(380-x) + 15(400-x) + 30(x-80)$
化简得：
$W=40x + 7600 - 20x + 6000 -15x +30x -2400$
$W=35x + 11200$
根据运输量非负列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\380-x≥0 \\400-x≥0 \\x-80≥0 \end{cases}$
解得$80≤ x≤380$，且x为整数。
（2）根据题意得不等式组：
$\begin{cases}x≥200 \\35x +11200 ≤18300 \end{cases}$
解第二个不等式：$35x≤7100$，得$x≤202\frac{6}{7}$
结合x为整数，可得x的取值为200、201、202。
在$W=35x+11200$中，$k=35＞0$，所以W随x的增大而增大，
因此当$x=200$时，W取得最小值，
最低运费$W_{最小}=35×200 +11200=18200$元。
对应运输方案：
A基地运往甲销售点200件，运往乙销售点$380-200=180$件；
B基地运往甲销售点$400-200=200$件，运往乙销售点$200-80=120$件。
【答案】
（1）$W=35x + 11200$，x的取值范围是$80 ≤ x ≤ 380$；
（2）最低运费为18200元，运输方案为：A基地运往甲200件、乙180件，B基地运往甲200件、乙120件。
【知识点】
一次函数实际应用、一元一次不等式组应用、最优方案求解
【点评】
本题是典型的运输类最优方案问题，将一次函数性质与不等式组结合考查，解题的核心是理清各运输量之间的数量关系，正确列出函数表达式和约束不等式，再结合一次函数的增减性确定最值，对学生的逻辑梳理能力和实际应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
（1）解题时首先用含x的代数式分别表示出A基地运往乙销售点、B基地运往甲销售点、B基地运往乙销售点的水果件数，再根据“总运费=各段运输费用之和”列出W关于x的表达式；最后根据所有运输的水果件数均为非负数，结合各基地的收获量、各销售点的需求量，列不等式组求解x的取值范围。
（2）先根据题目给出的“总运费不超过18300元”“A地运往甲销售点的水果不低于200件”两个限制条件，结合第一问的x取值范围，确定x的可行范围；再根据一次函数的增减性，判断W取最小值时x的取值，进而求出最低运费和对应的运输方案。
【解析】
（1）设从A基地运往甲销售点x件水果，根据题意：
A基地运往乙销售点的水果为$(380-x)$件，
甲销售点还需要的$(400-x)$件由B基地运往，
B基地运往乙销售点的水果为$320-(400-x)=x-80$件。
总运费$W=40x + 20(380-x) + 15(400-x) + 30(x-80)$
化简得：
$W=40x + 7600 - 20x + 6000 -15x +30x -2400$
$W=35x + 11200$
根据运输量非负列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\380-x≥0 \\400-x≥0 \\x-80≥0 \end{cases}$
解得$80≤ x≤380$，且x为整数。
（2）根据题意得不等式组：
$\begin{cases}x≥200 \\35x +11200 ≤18300 \end{cases}$
解第二个不等式：$35x≤7100$，得$x≤202\frac{6}{7}$
结合x为整数，可得x的取值为200、201、202。
在$W=35x+11200$中，$k=35＞0$，所以W随x的增大而增大，
因此当$x=200$时，W取得最小值，
最低运费$W_{最小}=35×200 +11200=18200$元。
对应运输方案：
A基地运往甲销售点200件，运往乙销售点$380-200=180$件；
B基地运往甲销售点$400-200=200$件，运往乙销售点$200-80=120$件。
【答案】
（1）$W=35x + 11200$，x的取值范围是$80 ≤ x ≤ 380$；
（2）最低运费为18200元，运输方案为：A基地运往甲200件、乙180件，B基地运往甲200件、乙120件。
【知识点】
一次函数实际应用、一元一次不等式组应用、最优方案求解
【点评】
本题是典型的运输类最优方案问题，将一次函数性质与不等式组结合考查，解题的核心是理清各运输量之间的数量关系，正确列出函数表达式和约束不等式，再结合一次函数的增减性确定最值，对学生的逻辑梳理能力和实际应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
