11.(多选)已知 $0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，$\cos 2α=-\frac{3}{5}$，$\cos(β-α)=\frac{\sqrt{10}}{10}$，则（）

A.$\tan α=2$
B.$\sin(α+β)=\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\cos(3α-β)=\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\tan β=-1$

因为$\cos 2α = -\frac{3}{5}$，所以$2\cos^2 α - 1 = -\frac{3}{5}$，$1-2\sin^2 α = -\frac{3}{5}$。
又$0＜α＜\frac{π}{2}$，所以$\sin α＞0$，$\cos α＞0$，故$\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin α = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
因为$\sin α = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$，所以$\tan α = 2$，故A正确。
因为$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，所以$0＜β-α＜π$。
又$\cos(β-α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$\sin(β-α) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，$0＜β-α＜\frac{π}{2}$，
所以$\sin(α+β) = \sin[ 2α + (β-α) ] = \sin 2α \cos(β-α) + \cos 2α \sin(β-α) = \frac{4}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10} - \frac{3}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$，故B错误。
因为$\frac{\sqrt{6}}{2}＞1$，$|\cos(3α-β)|\le 1$，故$\cos(3α-β) ≠ \frac{\sqrt{6}}{2}$，故C错误。
因为$\cos(β-α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$\sin(β-α) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以$\tan(β-α) = 3$。
又$\tan α = 2$，所以$\tan β = \tan[ (β-α) + α ] = \frac{\tan(β-α) + \tan α}{1-\tan(β-α)\tan α} = \frac{3+2}{1-3×2} = -1$，故D正确。

12.已知α,β为锐角，$\tanα=\dfrac{4}{3}$，$\cos(α+β)=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
(1)求$\cos2α$的值；
(2)求$\tan(α-β)$的值.
13.已知$\cosα=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，且$α,β\in(0,\dfrac{π}{2})$.
(1)若$\sin(α-β)=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，求$\cos(2α-β)$的值；
(2)若$\sinβ=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，求$α-β$的值.

12.解:(1)因为$\tan α = \frac{4}{3}$，$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$，所以$\sin α = \frac{4}{3}\cos α$。
因为$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$，所以$\cos^2 α = \frac{9}{25}$，
所以$\cos 2α = 2\cos^2 α - 1 = -\frac{7}{25}$。
(2)因为$α,β$为锐角，所以$α+β \in (0,π)$。
又因为$\cos(α+β) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以$\sin(α+β) = \sqrt{1-\cos^2(α+β)} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以$\tan(α+β) = -2$。
因为$\tan α = \frac{4}{3}$，所以$\tan 2α = \frac{2\tan α}{1-\tan^2 α} = -\frac{24}{7}$，
所以$\tan(α-β) = \tan[ 2α - (α+β) ] = \frac{\tan 2α - \tan(α+β)}{1+\tan 2α \tan(α+β)} = -\frac{2}{11}$。
13.解:(1)由$α,β \in (0,\frac{π}{2})$，得$α-β \in ( -\frac{π}{2},\frac{π}{2} )$。
因为$\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin(α-β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$\sin α = \sqrt{1-\cos^2 α} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos(α-β) = \sqrt{1-\sin^2(α-β)} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以$\cos(2α-β) = \cos[ α + (α-β) ] = \cos α \cos(α-β) - \sin α \sin(α-β) = \frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10}$。
(2)由(1)，知$α-β \in ( -\frac{π}{2},\frac{π}{2} )$，$\sin α = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
由$\sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$β \in (0,\frac{π}{2})$，得$\cos β = \sqrt{1-\sin^2 β} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以$\sin(α-β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β = \frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$α-β = \frac{π}{4}$。