1. 生活中洗一次衣服没法完全洗干净衣服上的污水，因此需要再洗一遍衣服，降低污水占比。小明在洗完且拧干衣服后，衣服上还有一斤污水，所以又添加了十斤水，这样洗完再拧干以后污水就占原来的$\dfrac{1}{11}$，后来小明又做了以下实验。(假设所有衣服一开始共有一斤污水)
(1) ① 先用八斤水洗一遍衣服，拧干后又用十二斤水洗一遍衣服，拧干后污水占原来的()。
② 先用十斤水洗一遍衣服，拧干后又用十斤水洗一遍衣服，拧干后污水占原来的()。
③ 直接用二十斤水洗一遍衣服，拧干后污水占原来的()。
④ 以上三种方法，方法()最后得出的污水占比最少，洗得最干净。(填序号)
(2) 进行一个实验，假设有$x$斤清水，衣服里开始有一斤污水。(假设所有衣服一开始都有一斤污水)
方案①：直接用$x$斤清水洗一遍衣服，拧干后污水占原来的()。
方案②：先用一半清水洗一遍衣服，拧干后再用一半清水洗一遍衣服，拧干后污水占原来的()。
请你用举例子等方式来猜测两种方案中哪种污水占比更小。

1. (1) ① $\frac{1}{117}$ ② $\frac{1}{121}$ ③ $\frac{1}{21}$ ④ ②
(2) $\frac{1}{1 + x}$ $\frac{4}{(x + 2)^2}$
我猜测方案②的污水占比更小。当 $x = 10$ 时，第一种方案中污水占比为 $\frac{1}{11}$，第二种方案中污水占比为 $\frac{1}{36}$；当 $x = 6$ 时，第一种方案中污水占比为 $\frac{1}{7}$，第二种方案中污水占比为 $\frac{1}{16}$。两种情况下都是方案②的污水占比更小。（合理即可）

2. 周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。这一基本事实在生活中有着灵活的应用。(正方形是特殊的长方形，正方体是特殊的长方体)
(1) 用 24 米长的篱笆围一个长方形菜园，两面靠墙(墙足够长)，可以围成的最大面积是()平方米。
(2) 继续思考，如果我们进行类比：把长方形类比为长方体，把周长类比为棱长和，面积类比为体积，那么棱长和相等的长方体，长、宽、高在什么情况下体积最大呢？试试看。

结论：棱长和相等的长方体，()。

2. (1) 144
(2) 3 3 3 27
4 1 4 16
5 2 2 20（答案不唯一）
长、宽、高相等时体积最大

3. 如图，用一块边长为 18 厘米的正方形硬纸板，在四个角上截去 4 个相同的小正方形(图中涂色部分)，小正方形的边长为整厘米数，然后把剩下的部分折起来，做成一个没有盖的长方体纸盒。做成的长方体纸盒容积最大是多少立方厘米？

3.

答：做成的长方体纸盒容积最大是 432 立方厘米。
提示：通过列表法找到容积最大的情况。

4. 如图，大长方形被两条直线分成三个小长方形和一个小正方形，其中上面两个小长方形的面积之和是 13 平方厘米，右面的两个小长方形的面积之和是 33 平方厘米。图中四个小图形的边长都是自然数，且小正方形的面积最大。求大长方形的面积。

4. 由题可知 $b ＞ c$，$b ＞ a$，$a$、$b$、$c$ 都为自然数，
因为 $a×(b + c) = 13 = 1×13$，
所以 $a = 1$，$b + c = 13$。
又因为 $b ＞ c$，所以 $c ＜ 7$。
因为 $c×(a + b) = 33$，$3×11 = 1×33$，
所以 $c = 3$，$b = 10$，
所以 $(10 + 1)×(10 + 3) = 143$（平方厘米）。
答：大长方形的面积是 143 平方厘米。
提示：根据题意列出 $a$、$b$、$c$ 的关系式，即 $a×(b + c) = 13$，$c×(a + b) = 33$，13 是质数，只有 1 和 13 两个因数。由于 $a$、$b$、$c$ 都为自然数，且 $b ＞ c$，$b ＞ a$，所以 $a = 1$，$b + c = 13$。因为 $b ＞ c$，所以 $c ＜ 7$。又因为 33 有因数 1、3、11、33，所以 $c = 3$，$b = 10$，从而得出大长方形面积 $= (10 + 1)×(10 + 3) = 143$（平方厘米）。