【典例1】如图，$∠ AOC=∠ BOC=10°$，$OC=20$，在$OA$上找一点$M$，在$OB$上找一点$N$，则$CM+MN$的最小值是.

$\boldsymbol{10}$

【分析】
这是一道线段和的最值问题，解题思路如下：①要使$CM+MN$最小，可利用轴对称的性质转化线段，将$CM$转化为与之相等的线段，把两条线段的和转化为共线时的最短路径；②根据垂线段最短可知，当转化后的线段和为点到直线的垂线段时，长度最小；③结合已知角度条件得到$30°$特殊角，利用含$30°$角的直角三角形的性质计算最短长度。
【解析】
解：作点$C$关于$OA$的对称点$C'$，过点$C'$作$C'N⊥ OB$于点$N$，交$OA$于点$M$，此时$CM+MN$的取值最小，最小值即为$C'N$的长度。
$\because$ 点$C$和$C'$关于$OA$对称
$\therefore ∠ C'OA=∠ AOC=10°$，$OC'=OC=20$
又$\because ∠ BOC=10°$
$\therefore ∠ C'ON=∠ C'OA+∠ AOC+∠ BOC=10°+10°+10°=30°$
在$\mathrm{Rt}△ C'NO$中，$∠ C'NO=90°$，$∠ C'ON=30°$，斜边$OC'=20$
根据“直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$C'N=\frac{1}{2}OC'=\frac{1}{2}×20=10$
即$CM+MN$的最小值是$10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于线段最值的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为点到直线的垂线段，结合特殊直角三角形的性质完成计算，对学生的几何作图和性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

变式1.在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2$，点$D$在射线$CB$上，连$AD$，将$AD$逆时针旋转$60°$得$AE$，连$CE$，当$CE$最小时，求$CD$的长.

解:在 BC 延长线上找一点 M 满足 BM=AB,连接 AM,EM,

则△ABD≌△AME,
∴∠BME=60°,
点 E 在过 M 点且与 AB 平行直线上运动,
当 CE⊥EM 时 CE 最小,EM=BD=1,CD=3.

【分析】
本题为旋转背景下的线段最值问题，解题思路可按三步展开：1. 先结合Rt△ABC的角度和边长条件，求出AB的长度，再结合旋转后AD=AE、∠DAE=60°的性质，构造等边三角形获得全等的前提条件；2. 通过证明△ABD≌△AME，推导得出E点的运动轨迹是过M点的固定直线；3. 根据“点到直线的距离最短”确定CE取最小值时E的位置，再利用含30°角的直角三角形的性质计算对应线段长度，最终求出CD的长。
【解析】
1. 计算△ABC的边长：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，因此AB=2BC=2×2=4。
2. 构造辅助线：在BC的延长线上取点M，使BM=AB=4，连接AM、EM。

∵∠ABC=60°，BM=AB，
∴△ABM为等边三角形，可得AB=AM，∠BAM=∠AMB=60°。
3. 证明三角形全等：由旋转的性质可知AD=AE，∠DAE=60°，因此∠DAE=∠BAM，等式两边同时减去∠BAE可得∠BAD=∠MAE。
在△ABD和△AME中：
$\{\begin{array}{l}AB=AM\\ ∠ BAD=∠ MAE\\ AD=AE\end{array} $

∴△ABD≌△AME（SAS），因此∠AME=∠ABD，BD=ME。
4. 确定E点运动轨迹：
∵点D在射线CB上，∠ABD=180°-∠ABC=120°，
∴∠AME=120°，可得∠EMB=∠AME-∠AMB=120°-60°=60°，即点E在过M且与BM夹角为60°的固定直线上运动。
5. 求CE最小时的CD长度：根据点到直线的距离最短，当CE⊥EM时，CE的长度最小。
此时CM=BM-BC=4-2=2，在Rt△CEM中，∠CME=60°，∠CEM=90°，因此∠MCE=30°，可得ME=$\frac{1}{2}$CM=1，因此BD=ME=1，CD=CB+BD=2+1=3。
【答案】
在 BC 延长线上找一点 M 满足 BM=AB,连接 AM,EM,

则△ABD≌△AME,
∴∠BME=60°,
点 E 在过 M 点且与 AB 平行直线上运动,
当 CE⊥EM 时 CE 最小,EM=BD=1,CD=3.
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合了旋转、全等三角形、最值问题等考点，解题的关键是通过构造等边三角形得到全等关系，将动点的运动轨迹转化为固定直线，再利用点到直线的距离最短的性质求解，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

变式2.如图，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，点D为BC上一动点，AD的垂直平分线交AB于F点，则BF的最大值为。

解:设 AF=x,
∴FB=6−x,作 FM⊥BC 于点 M,

∴FM=3−x/2,
∵FM≤FD,
∴3−x/2≤x,
∴x≥2,
∴BF≤4,
∴BF 最大值为 4.

【分析】
首先根据直角三角形30°角的性质可求出AB长度为6，BF=AB-AF，因此要使BF最大，需使AF最小。已知EF是AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得FD=AF，因此只需找到FD的最小值即可。根据垂线段最短，点F到BC的最短距离是F到BC的垂线段长度，结合30°直角三角形的性质表示出该垂线段，再利用垂线段≤FD建立不等式，即可求出AF的最小值，进而得到BF的最大值。
【解析】
解：
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3，
∴AB=2AC=6。
设AF=x，则FB=AB-AF=6-x，
过点F作FM⊥BC于点M，如图：

在Rt△FMB中，∠FMB=90°，∠B=30°，
∴$FM=\frac{1}{2}FB=\frac{1}{2}(6-x)=3-\frac{x}{2}$。
∵EF是AD的垂直平分线，点F在EF上，
∴FD=AF=x。
∵点D为BC上的动点，根据垂线段最短，点F到BC的最短距离为垂线段FM的长度，
∴$FM≤ FD$，即$3-\frac{x}{2} ≤ x$，
解得$x≥2$，即AF的最小值为2，
∴$BF=6-x≤6-2=4$，即BF的最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于几何最值类题型，解题核心是将BF的最值转化为AF的最值，通过垂直平分线性质将AF转化为FD，再结合垂线段最短和30°直角三角形的性质建立不等关系求解，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ B=45°$，$AB=4$，点$P$为直线$BC$上一点，当$BP+2AP$有最小值时，$∠ BAP$的度数为.(胡不归问题)

解:在 BC 下方作∠CBD=30°,AN⊥BD 于点 N,PM⊥BD 于点 M,

BP+2AP=2(AP+1/2 BP)=2(AP+PM),
故 A,P,M 三点共线,且 AP⊥BD 时最小,即 M 在 N 处时,
BP+2AP 最小,
∴∠BAP=90°−45°−30°=15°.

【分析】
本题属于带系数的线段和最小值问题（胡不归模型），解题思路如下：第一步先处理系数：将式子$BP+2AP$提取系数2，转化为$2(AP+\frac{1}{2}BP)$，只需先求出$AP+\frac{1}{2}BP$的最小值，即可得到原式的最小值；第二步转化线段：结合30°直角三角形中“30°角对的直角边是斜边的一半”的性质，构造含30°的角，将$\frac{1}{2}BP$转化为等长的垂线段；第三步找最值位置：根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，确定$AP+\frac{1}{2}BP$取最小值时P点的位置；最后结合已知角度计算$∠BAP$的度数即可。
【解析】
解：在BC下方作$∠CBD=30°$，$AN⊥BD$于点N，$PM⊥BD$于点M，

在$Rt△BPM$中，$∠PBM=30°$，由含30°角的直角三角形性质可得：$PM=\frac{1}{2}BP$，
因此$BP+2AP=2(AP+\frac{1}{2} BP)=2(AP+PM)$，
根据两点之间线段最短、垂线段最短可知：当A、P、M三点共线，且$AM⊥BD$时，$AP+PM$取得最小值，即M与N重合时，$BP+2AP$最小，
此时$∠ABN=∠ABC+∠CBD=45°+30°=75°$，
在$Rt△ABN$中，$∠ANB=90°$，故$∠BAP=∠BAN=90°−75°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；垂线段最短；线段和最值
【点评】
本题是典型的带系数线段和最值问题，核心是通过构造30°角将带系数的线段转化为等长垂线段，再利用垂线段最短确定最值位置，既考查了特殊直角三角形性质的灵活应用，也渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.4

【典例3】如图，CA垂直于直线l于点A，CA＝4，点B是直线l上一动点，以CB为边向上作等边△MBC，连接MA，则MA的最小值为。

解:以 CA 为边向外作等边△ACE,连 ME,则△ACB≌△ECM,

∴∠MEC=90°,
∴∠MEA=30°,
∴ME 为定直线,故 MA⊥ME 时,MA 最小,最小值为 2.

【分析】
本题是几何动态最值问题，解题思路如下：1. 遇到等边三角形的动态问题，可通过构造另一等边三角形，利用旋转型全等转化线段和角的关系；2. 全等后推导得到点M的运动轨迹是定直线，根据“垂线段最短”可知，当MA垂直于该定直线时，MA取得最小值；3. 最后利用含30°角的直角三角形的性质计算最小值即可。
【解析】
如图，以CA为边向外作等边△ACE，连接ME。
1. 证明三角形全等：
∵△MBC是等边三角形，
∴$CB=CM$，$∠ BCM=60°$，
∵△ACE是等边三角形，
∴$CA=CE=4$，$∠ ACE=60°$，
∴$∠ BCM + ∠ ACM = ∠ ACE + ∠ ACM$，即$∠ ACB=∠ ECM$，
在$△ ACB$和$△ ECM$中：
$\{\begin{array}{l}CB=CM\\∠ ACB=∠ ECM\\CA=CE\end{array} $
∴$△ ACB≌△ ECM$（SAS）。
2. 推导点M的运动轨迹为定直线：
∵$CA⊥$直线$l$，
∴$∠ CAB=90°$，
由全等性质得$∠ CEM=∠ CAB=90°$，
又
∵△ACE是等边三角形，
∴$∠ CEA=60°$，
∴$∠ MEA=∠ CEM - ∠ CEA=90°-60°=30°$，
∴点M始终在过定点E、与CE夹角为90°的定直线ME上。
3. 计算MA的最小值：
根据垂线段最短，当$MA⊥ ME$时，MA取得最小值。
在$Rt△ MAE$中，$AE=CE=4$，$∠ MEA=30°$，
∴$MA=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何动态最值类题型，核心是通过构造等边三角形得到旋转全等，将未知的动态线段最值转化为点到直线的距离问题，结合特殊直角三角形的性质求解，这类构造方法是解决等边三角形相关最值问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.3

变式.如图,在等边△ABC中,AB=8,AH⊥BC于点H,P为AH上的一个动点,以CP为一边作等边△CPQ(C,P,Q按逆时针顺序),连接HQ.在P点的运动过程中线段HQ的最小值为.

解:连接 BQ,过点 H 作 HD⊥BQ 于点 D,

易证△ACP≌△BCQ,
∴∠CBQ=∠CAP=30°,
∴HD=2,又 HQ≥HD,
故 HQ 的最小值为 2.

【分析】
本题是等边三角形背景下的动点线段最值问题，解题思路如下：首先观察到共顶点C的两个等边△ABC和△CPQ，符合手拉手全等模型，因此连接BQ构造全等三角形；接着通过全等证明∠CBQ为定值30°，确定动点Q的运动轨迹是射线BQ；最后根据“垂线段最短”，HQ的最小值即为点H到射线BQ的垂线段长度，利用含30°角的直角三角形的性质计算该长度即可。
【解析】
解：连接BQ，过点H作HD⊥BQ于点D，
∵△ABC是等边三角形，AB=8，AH⊥BC，
∴AC=BC=AB=8，∠ACB=∠BAC=60°，∠CAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，BH=$\frac{1}{2}$BC=4。
∵△CPQ是等边三角形，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB - ∠PCB = ∠PCQ - ∠PCB，即∠ACP=∠BCQ。
在△ACP和△BCQ中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACP=∠BCQ \\CP=CQ\end{array} $
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CBQ=∠CAP=30°。
在Rt△BHD中，∠HBD=30°，BH=4，
∴HD=$\frac{1}{2}$BH=2。
根据垂线段最短可知，HQ≥HD，因此HQ的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何动态最值的典型题型，解题核心是利用手拉手全等模型确定动点的运动轨迹，将动线段的最值转化为点到直线的距离，结合特殊直角三角形的性质求解，对几何模型的识别能力有一定要求。
【难度系数】
0.6