【例1】下列运算正确的是（）

A.$3a^2 - 2a^2 = 1$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$a^6 · a = a^6$
D.$(3a)^2 = 9a^2$

D

【分析】
本题考查整式的幂相关运算，解题时需先回忆合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变，因此$3a^2 - 2a^2 = (3-2)a^2 = a^2 ≠ 1$，A错误。
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6≠ a^5$，B错误。
选项C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^6 · a = a^{6+1}=a^7≠ a^6$，C错误。
选项D：积的乘方，需把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a)^2 = 3^2× a^2 = 9a^2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，核心是对各类幂运算法则的记忆与区分，解题时要注意不要混淆不同运算中指数的计算规则。
【难度系数】
0.8

练习1.下列运算中正确的是（）

A.$a^3 · a^4 = a^{12}$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$(-3a^2)^3 = -9a^6$
D.$(-a^2)^3 = -a^6$

D

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需先回忆同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。计算时要注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，不要出现符号错误和指数运算错误。
【解析】
我们根据幂的运算法则逐一分析选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^3 · a^4 = a^{3+4}=a^7≠a^{12}$，故A错误；
B选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠a^5$，故B错误；
C选项：积的乘方，需要把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(-3a^2)^3 = (-3)^3 · (a^2)^3 = -27a^6≠-9a^6$，故C错误；
D选项：根据积的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -1×a^{2×3}=-a^6$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练区分不同幂运算的法则，尤其要注意积的乘方中系数的乘方运算、负数乘方的符号判断，避免因法则混淆导致错误。
【难度系数】
0.8

练习 2.(1)$(a^2b)^2 =$ ；
(2)$(-2x^2y)^3 =$ ；
(3)$(\frac{1}{2}mn^3)^3 =$ ；
(4)$(-2×10^3)^2 =$ 。

(1)$a^4b^2$ (2)$-8x^6y^3$ (3)$\frac{1}{8}m^3n^9$ (4)$4×10^6$

【分析】
这组题目均考查积的乘方相关运算，解题核心是牢记积的乘方运算法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；若因式中含有幂的形式，还需结合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算。解题时逐题拆分因式：①先处理系数的乘方，注意负号的奇偶次幂的符号变化；②再对每个含字母的因式（或科学记数法中的10的幂）分别做乘方运算；③最后将所有结果相乘即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(a^2b)^2=(a^2)^2· b^2=a^{2×2}· b^2=a^4b^2$
(2) 拆分各因式分别乘方：
$(-2x^2y)^3=(-2)^3· (x^2)^3· y^3=-8· x^{2×3}· y^3=-8x^6y^3$
(3) 分别计算各因式的三次方：
$(\frac{1}{2}mn^3)^3=(\frac{1}{2})^3· m^3· (n^3)^3=\frac{1}{8}m^3n^{3×3}=\frac{1}{8}m^3n^9$
(4) 对系数和10的幂分别乘方：
$(-2×10^3)^2=(-2)^2· (10^3)^2=4×10^{3×2}=4×10^6$
【答案】
(1)$a^4b^2$ (2)$-8x^6y^3$ (3)$\frac{1}{8}m^3n^9$ (4)$4×10^6$
【知识点】
1. 积的乘方运算 2. 幂的乘方运算 3. 有理数乘方
【点评】
本题是整式乘除运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，计算时需要特别注意负系数乘方的符号判断，以及指数运算时不要混淆幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的规则，熟练掌握法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9

练习3.(教材P100例3改编)计算：
(1)$(-2a^2b^2)^3$；
(2)$[(-2x)^2]^3$；
(3)$2a^2 · b^4 - 3(ab^2)^2$；
(4)$x · x^3 · x^4 + (x^2)^4 - (-2x^4)^2$。

解:(1)原式$=-8a^6b^6$;(2)原式$=64x^6$;(3)原式$=-a^2b^4$;(4)原式$=-2x^8$。

【分析】
这组题目考查幂的运算及整式的加减运算，解题思路如下：①先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右计算；②计算乘方时，根据式子特点选用对应法则：积的乘方需将每个因式分别乘方再相乘，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂相乘底数不变指数相加；③最后合并同类项得到结果，计算时注意负数乘方的符号判断，避免符号错误。
【解析】
(1) 根据积的乘方、幂的乘方法则计算：
原式$=(-2)^3· (a^2)^3· (b^2)^3=-8· a^{2×3}· b^{2×3}=-8a^6b^6$
(2) 先算内层乘方，再算外层乘方：
原式$=(4x^2)^3=4^3· (x^2)^3=64x^6$
(3) 先算乘方，再合并同类项：
原式$=2a^2b^4 - 3· a^2· (b^2)^2=2a^2b^4 - 3a^2b^4=(2-3)a^2b^4=-a^2b^4$
(4) 分别计算同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并同类项：
$x· x^3· x^4=x^{1+3+4}=x^8$，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$，$(-2x^4)^2=(-2)^2· (x^4)^2=4x^8$
原式$=x^8 + x^8 - 4x^8=(1+1-4)x^8=-2x^8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8a^6b^6}$；(2) $\boldsymbol{64x^6}$；(3) $\boldsymbol{-a^2b^4}$；(4) $\boldsymbol{-2x^8}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的加减运算
【点评】
本题属于幂运算的基础练习题，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，运算时要注意先确定运算顺序，再处理符号和指数，避免因混淆运算法则、忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.75

【例2】(1)若$2^{x+1} · 3^{x+1}=6^{2x-1}$，则$x=$；(2)$0.25^{1000} × 4^{1000}=$。

(1)2 (2)1

【分析】
本题考查积的乘方公式的逆运用，解题思路如下：
(1) 观察等式左侧是同指数的两个幂相乘，符合积的乘方逆运算的形式，先将左侧化简为底数为6的幂，再根据底数相同且不为0、1的两个幂相等时，指数也相等的性质，列一元一次方程即可求解x的值。
(2) 两个幂的指数相同，底数0.25和4相乘得1，直接逆用积的乘方公式，将两个底数先相乘再乘方，即可快速计算出结果。
【解析】
(1) 逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，对等式左侧变形：
$2^{x+1}· 3^{x+1}=(2×3)^{x+1}=6^{x+1}$
原方程可化为：$6^{x+1}=6^{2x-1}$
因为底数$6≠0$且$6≠1$，所以指数相等，即：
$x+1=2x-1$
移项解得：$x=2$
(2) 逆用积的乘方公式变形：
$0.25^{1000}×4^{1000}=(0.25×4)^{1000}=1^{1000}=1$
【答案】
(1)2；(2)1
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算模块的基础典型题，核心考察积的乘方公式的灵活运用，不仅要掌握公式的正向使用，也要熟练掌握公式的逆用技巧。第一小问将幂的运算和一元一次方程结合，做题时要注意“同底数幂相等则指数相等”的适用前提，避免出错。
【难度系数】
0.85

练习.(1)若$a^x=2,b^x=3$，则$(a^2b)^{2x}=$；(2)若$2^3×8^3=2^a$，则$a=$。

(1)144 (2)12
解:$(1)(a^2b)^{2x}=a^{4x} · b^{2x}=2^4×3^2=144.$
$(2)2^3×(2^3)^3=2^a=2^{12},∴a=12.$

【分析】
(1) 本题可先利用积的乘方、幂的乘方的运算性质，将待求式转化为含$a^x$、$b^x$的形式，再代入已知数值计算即可。首先根据积的乘方法则把$(a^2b)^{2x}$拆分为关于$a$和$b$的幂的乘积，再利用幂的乘方的逆运算将指数变形，匹配已知条件的指数形式。
(2) 本题需要先将不同底数的幂统一为同底数幂，先把$8$转化为$2^3$，再利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算左侧的结果，最后根据同底数幂相等时指数相等求出$a$的值。
【解析】
(1) 根据积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$\begin{aligned}(a^2b)^{2x}&=(a^2)^{2x} · b^{2x}\\&=a^{4x} · b^{2x}\\&=(a^x)^4 · (b^x)^2\end{aligned}$
将$a^x=2$，$b^x=3$代入上式，得：
原式$=2^4 × 3^2 =16 × 9=144$
(2) 先将$8$改写为$2^3$，再根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算：
$\begin{aligned}2^3 × 8^3&=2^3 × (2^3)^3\\&=2^3 × 2^{9}\\&=2^{3+9}\\&=2^{12}\end{aligned}$
因为$2^3 × 8^3=2^a$，所以$2^{12}=2^a$，即$a=12$。
【答案】
(1) $\boxed{144}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算
【点评】
这两道题是幂的运算性质的常规应用，解题的核心是熟练掌握幂的各类运算公式，能灵活对公式进行正用和逆用，遇到不同底数的幂混合运算时，先统一底数是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8

【例3】计算：
(1)$(-a^2)^3 · a^3 + (-2a)^2 · a^7$；
(2)$a^3 · a^3 + (2a^3)^2 + (-a^2)^3$。

解:(1)原式$=-a^9+4a^9=3a^9$；
(2)原式$=a^6+4a^6-a^6=4a^6$。

【分析】
这两道题均属于整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：①先处理乘方运算，分别运用幂的乘方法则、积的乘方法则计算，计算时注意负数乘方的符号判断；②再处理乘法运算，运用同底数幂的乘法法则计算；③最后合并同类项得到结果即可。
【解析】
(1) 先分别计算乘方、乘法，再合并同类项：
原式$=(-1)^3·(a^2)^3· a^3 + (-2)^2· a^2· a^7$
$=-a^{2×3}· a^3 + 4a^{2+7}$
$=-a^6· a^3 +4a^9$
$=-a^{6+3} +4a^9$
$=-a^9 +4a^9$
$=3a^9$
(2) 先分别计算乘法、乘方，再合并同类项：
原式$=a^{3+3} + 2^2·(a^3)^2 + (-1)^3·(a^2)^3$
$=a^6 +4a^{3×2} -a^{2×3}$
$=a^6 +4a^6 -a^6$
$=4a^6$
【答案】
(1)$3a^9$；(2)$4a^6$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考察幂的各类运算法则的掌握程度，运算时需注意区分不同幂运算的指数计算规则，同时要格外注意负数乘方的符号判断，避免因符号或指数混淆出错。
【难度系数】
0.8

练习.(1)$(-3a^3)^2 · a^3 + (-4a)^2 · a^7$； (2)$(-a^4)(-a^2)-(2a^3)^2$
积的乘方逆运用
$(ab)$$=a^m · b^m$
$a^m b^m=(ab)^m$

解:(1)原式$=9a^9+16a^9=25a^9$；
(2)原式$=a^6-4a^6=-3a^6$。

【分析】
这两道题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：①先利用积的乘方法则计算乘方项，注意系数也要参与乘方，同时注意符号的正负判断；②再利用同底数幂的乘法法则计算乘法项，底数不变，指数相加；③最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
$(-3a^3)^2=(-3)^2 · (a^3)^2=9a^6$，$(-4a)^2=(-4)^2 · a^2=16a^2$
再计算乘法：
$9a^6 · a^3=9a^{6+3}=9a^9$，$16a^2 · a^7=16a^{2+7}=16a^9$
最后合并同类项：
原式$=9a^9+16a^9=25a^9$
(2) 先计算乘法和乘方项：
$(-a^4)(-a^2)=a^{4+2}=a^6$，$(2a^3)^2=2^2 · (a^3)^2=4a^6$
最后合并同类项：
原式$=a^6-4a^6=-3a^6$
【答案】
(1)$25a^9$；(2)$-3a^6$
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是幂的运算的基础练习题，解题时需注意运算顺序，同时要留意积的乘方中系数的乘方和符号判断，避免出现漏算系数乘方、符号错误的问题。
【难度系数】
0.8

已知$a^{2m}=2,b^{2n}=3$,求$(a^mb^n)^6$的值.

解:$(a^mb^n)^6=a^{6m} · b^{6n}$
$=(a^{2m})^3 · (b^{2n})^3$
$=2^3×3^3$
$=216.$

【分析】
拿到题首先观察待求式是积的乘方结构，第一步可利用积的乘方运算法则去括号，得到含a的幂与b的幂相乘的形式；再对比已知条件给出的是$a^{2m}$、$b^{2n}$的值，因此需要逆用幂的乘方公式，将展开后a、b的指数6m、6n分别转化为$2m×3$、$2n×3$，凑出已知的幂的形式，最后将已知数值整体代入计算即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则展开待求式：
$(a^mb^n)^6=a^{6m} · b^{6n}$
逆用幂的乘方公式，对指数变形可得：
$a^{6m}=(a^{2m})^3$，$b^{6n}=(b^{2n})^3$
将$a^{2m}=2$，$b^{2n}=3$代入式子计算：
原式$=(a^{2m})^3 · (b^{2n})^3=2^3×3^3=8×27=216$
【答案】
216
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方的逆用，整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方运算规则的灵活运用，解题关键是能逆用幂的乘方公式，将待求式变形为含已知条件的形式，熟练掌握幂运算公式的正用和逆用可快速求解此类题型。
【难度系数】
0.8