登录
1. 某公司研发的两个 AI 模型 $\mathrm{R}_1$ 和 $\mathrm{R}_2$ 共同处理一批数据。已知 $\mathrm{R}_2$ 单独处理数据的时间比 $\mathrm{R}_1$ 少 $2\ \mathrm{h}$，若两个模型合作处理，仅需 $1.2\ \mathrm{h}$ 即可完成。设 $\mathrm{R}_1$ 单独处理需要 $x\ \mathrm{h}$，则下列方程正确的是（）
A.$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = 1.2$
B.$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{1}{1.2}$
C.$x + (x - 2) = 1.2$
D.$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1}{1.2}$
A.$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = 1.2$
B.$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{1}{1.2}$
C.$x + (x - 2) = 1.2$
D.$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1}{1.2}$
答案
D
解析
工程问题中将总工作量设为单位1，已知R₁单独处理需要x h，因此R₁的工作效率为$\dfrac{1}{x}$；R₂单独处理的时间比R₁少2 h，因此R₂单独处理需要$(x-2)\ \mathrm{h}$，R₂的工作效率为$\dfrac{1}{x-2}$。两个模型合作1.2 h完成全部工作，因此合作的总工作效率为$\dfrac{1}{1.2}$，根据“两个模型的工作效率之和=合作的总工作效率”，可列方程：$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1}{1.2}$，对应选项D正确。
2.若关于$x$的分式方程$\dfrac{x+4}{x-3}=\dfrac{m}{x-3}+2$的解为正数，则$m$的取值范围是（）
A.$m＞10$，且$m≠13$
B.$m≥10$，且$m≠13$
C.$m＜10$，且$m≠7$
D.$m≤10$，且$m≠7$
A.$m＞10$，且$m≠13$
B.$m≥10$，且$m≠13$
C.$m＜10$，且$m≠7$
D.$m≤10$，且$m≠7$
答案
C
解析
1. 去分母：分式方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得$x+4 = m + 2(x-3)$；
2. 解整式方程：展开并整理得$x+4 = m + 2x -6$，移项计算得$x=10-m$；
3. 由方程的解为正数，得$x＞0$，即$10-m＞0$，解得$m＜10$；
4. 分式分母不能为0，即$x-3≠0$，也就是$x≠3$，代入得$10-m≠3$，解得$m≠7$；
综上，$m$的取值范围是$m＜10$，且$m≠7$。
2. 解整式方程：展开并整理得$x+4 = m + 2x -6$，移项计算得$x=10-m$；
3. 由方程的解为正数，得$x＞0$，即$10-m＞0$，解得$m＜10$；
4. 分式分母不能为0，即$x-3≠0$，也就是$x≠3$，代入得$10-m≠3$，解得$m≠7$；
综上，$m$的取值范围是$m＜10$，且$m≠7$。
3.若 $ m,n $ 为实数，且 $ m-n=6, m≥ -2n $，则下列关于 $ \dfrac{n+1}{m} $ 的说法正确的是（）
A.有最大值，最大值为 $ \dfrac{1}{4} $
B.有最小值，最小值为 $ \dfrac{1}{4} $
C.有最大值，最大值为 $ -\dfrac{1}{4} $
D.有最小值，最小值为 $ -\dfrac{1}{4} $
A.有最大值，最大值为 $ \dfrac{1}{4} $
B.有最小值，最小值为 $ \dfrac{1}{4} $
C.有最大值，最大值为 $ -\dfrac{1}{4} $
D.有最小值，最小值为 $ -\dfrac{1}{4} $
答案
D
解析
1. 由已知$m-n=6$，变形得$n=m-6$。
2. 将$n=m-6$代入不等式$m≥ -2n$，得：
$m≥ -2(m-6)$，展开整理得$3m≥12$，解得$m≥4$。
3. 把$n=m-6$代入$\dfrac{n+1}{m}$，变形得：
$\dfrac{n+1}{m}=\dfrac{m-6+1}{m}=\dfrac{m-5}{m}=1-\dfrac{5}{m}$。
4. 根据不等式性质，由$m≥4$可得：
$0＜\dfrac{1}{m}≤\dfrac{1}{4}$，同乘5得$0＜\dfrac{5}{m}≤\dfrac{5}{4}$，同乘$-1$变号得$-\dfrac{5}{4}≤-\dfrac{5}{m}＜0$，两边加1得$-\dfrac{1}{4}≤1-\dfrac{5}{m}＜1$。
因此$\dfrac{n+1}{m}$有最小值，最小值为$-\dfrac{1}{4}$。
2. 将$n=m-6$代入不等式$m≥ -2n$，得：
$m≥ -2(m-6)$，展开整理得$3m≥12$，解得$m≥4$。
3. 把$n=m-6$代入$\dfrac{n+1}{m}$，变形得：
$\dfrac{n+1}{m}=\dfrac{m-6+1}{m}=\dfrac{m-5}{m}=1-\dfrac{5}{m}$。
4. 根据不等式性质，由$m≥4$可得：
$0＜\dfrac{1}{m}≤\dfrac{1}{4}$，同乘5得$0＜\dfrac{5}{m}≤\dfrac{5}{4}$，同乘$-1$变号得$-\dfrac{5}{4}≤-\dfrac{5}{m}＜0$，两边加1得$-\dfrac{1}{4}≤1-\dfrac{5}{m}＜1$。
因此$\dfrac{n+1}{m}$有最小值，最小值为$-\dfrac{1}{4}$。
4. 如果实数 $ x,y $ 满足方程组 $ \begin{cases} x + 3y = 0, \\ 2x + 3y = 3, \end{cases} $ 那么式子 $ ( \frac{xy}{x + y} + 2 ) ÷ \frac{2}{x + y} $ 的值为 $\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\frac{1}{2}$
解析
1. 先化简所求代数式：
$\begin{aligned}( \frac{xy}{x + y} + 2 ) ÷ \frac{2}{x + y} &= ( \frac{xy + 2(x+y)}{x+y} ) · \frac{x+y}{2} \\&= \frac{xy + 2x + 2y}{2}\end{aligned}$
2. 解二元一次方程组$\begin{cases} x + 3y = 0 \\ 2x + 3y = 3 \end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程，得$x=3$，将$x=3$代入$x+3y=0$，解得$y=-1$，此时$x+y=2≠0$，分式变形合法。
3. 将$x=3$，$y=-1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{3×(-1) + 2×3 + 2×(-1)}{2}=\frac{-3+6-2}{2}=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}( \frac{xy}{x + y} + 2 ) ÷ \frac{2}{x + y} &= ( \frac{xy + 2(x+y)}{x+y} ) · \frac{x+y}{2} \\&= \frac{xy + 2x + 2y}{2}\end{aligned}$
2. 解二元一次方程组$\begin{cases} x + 3y = 0 \\ 2x + 3y = 3 \end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程，得$x=3$，将$x=3$代入$x+3y=0$，解得$y=-1$，此时$x+y=2≠0$，分式变形合法。
3. 将$x=3$，$y=-1$代入化简后的式子：
原式$=\frac{3×(-1) + 2×3 + 2×(-1)}{2}=\frac{-3+6-2}{2}=\frac{1}{2}$
5.若分式方程$\frac{1}{x-2}+2=\frac{kx-1}{x-2}$有增根，则$k$的值是________。
答案
$1$
解析
1. 确定增根：分式方程的增根是使最简公分母为0的根，该方程的最简公分母为$x-2$，令$x-2=0$，解得该方程的增根为$x=2$。
2. 转化为整式方程：给原分式方程两边同时乘$(x-2)$，消去分母得到整式方程：$1 + 2(x-2) = kx - 1$。
3. 代入增根计算$k$：将增根$x=2$代入上述整式方程，得$1 + 2×(2-2) = 2k -1$，化简后解得$k=1$。
2. 转化为整式方程：给原分式方程两边同时乘$(x-2)$，消去分母得到整式方程：$1 + 2(x-2) = kx - 1$。
3. 代入增根计算$k$：将增根$x=2$代入上述整式方程，得$1 + 2×(2-2) = 2k -1$，化简后解得$k=1$。
6. 若关于$ x $的分式方程$\frac{2}{x - 3} + \frac{x + m}{3 - x} = 2$无解，则$ m = $。
答案
$-1$
解析
1. 将原分式方程变形，把分母统一为$x-3$，可得：$\frac{2}{x-3} - \frac{x+m}{x-3}=2$
2. 方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$去分母，得到整式方程：
$2 - (x + m) = 2(x - 3)$
3. 整理整式方程：
去括号得$2 - x - m = 2x - 6$，移项合并同类项后得$3x=8-m$，解得$x=\frac{8-m}{3}$
4. 分式方程无解说明方程的解是增根，该分式方程的增根为使分母为0的$x=3$，将$x=3$代入$x=\frac{8-m}{3}$，可得$3=\frac{8-m}{3}$，计算得$m=-1$。
2. 方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$去分母，得到整式方程：
$2 - (x + m) = 2(x - 3)$
3. 整理整式方程：
去括号得$2 - x - m = 2x - 6$，移项合并同类项后得$3x=8-m$，解得$x=\frac{8-m}{3}$
4. 分式方程无解说明方程的解是增根，该分式方程的增根为使分母为0的$x=3$，将$x=3$代入$x=\frac{8-m}{3}$，可得$3=\frac{8-m}{3}$，计算得$m=-1$。
7.解方程：
(1)$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2 - 1}$；
(2)$\frac{x-3}{x+3}=\frac{36}{x^2 - 9}-\frac{x+3}{3 - x}$。
(1)$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2 - 1}$；
(2)$\frac{x-3}{x+3}=\frac{36}{x^2 - 9}-\frac{x+3}{3 - x}$。
答案
(1) 原方程无解；(2) 原方程无解。
解析
(1) 该分式方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$去分母得：
$x+1=2$
解得$x=1$。
检验：将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原方程无解。
(2) 先对分母因式分解得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，该分式方程的最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$去分母得：
$(x-3)^2=36+(x+3)^2$
展开整式得：$x^2-6x+9=36+x^2+6x+9$
移项、合并同类项得：$-12x=36$
解得$x=-3$。
检验：将$x=-3$代入最简公分母$(x+3)(x-3)$，得$(-3+3)×(-3-3)=0$，因此$x=-3$是原分式方程的增根，原方程无解。
$x+1=2$
解得$x=1$。
检验：将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原方程无解。
(2) 先对分母因式分解得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，该分式方程的最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$去分母得：
$(x-3)^2=36+(x+3)^2$
展开整式得：$x^2-6x+9=36+x^2+6x+9$
移项、合并同类项得：$-12x=36$
解得$x=-3$。
检验：将$x=-3$代入最简公分母$(x+3)(x-3)$，得$(-3+3)×(-3-3)=0$，因此$x=-3$是原分式方程的增根，原方程无解。
