登录
1. 一把剪刀的示意图如图所示,在使用过程中,若$∠COD$增加$20°$,则$∠AOB$()
A.减少$20°$
B.增加$20°$
C.不变
D.增加$40°$
A.减少$20°$
B.增加$20°$
C.不变
D.增加$40°$
答案
B
解析
由图可知，直线AB、CD相交于点O，∠COD与∠AOB是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠COD=∠AOB，因此当∠COD增加20°时，∠AOB也增加20°。
2.在同一个平面内,经过一点能作与已知直线垂直的直线()
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
答案
B
解析
根据同一平面内垂线的基本性质：在同一个平面内，经过一点有且只有1条直线与已知直线垂直，因此符合要求的直线只能作出1条。
3.如图,在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口 A,B 和村庄 M,N.小强要从道口 A 到公路 BN,他选择的路线为公路 AN,其理由为()
A.两点确定一条直线
B.两点之间,线段最短
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A.两点确定一条直线
B.两点之间,线段最短
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
答案
C
解析
由图可得AN⊥BN，AN是点A到直线BN的垂线段，从点A到公路BN选择路线AN，依据是垂线段最短。
4. 如图，A,B,C是直线$ l $上的三点，点$ P $在直线$ l $外，$ PA ⊥ l $，垂足为$ A $。若$ PA=4 \ \mathrm{cm} $，$ PB=6 \ \mathrm{cm} $，$ PC=5 \ \mathrm{cm} $，则点$ P $到直线$ l $的距离是 cm。
答案
4
解析
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到该直线的距离。已知$PA ⊥ l$，垂足为点$A$，因此线段$PA$的长度就是点$P$到直线$l$的距离，结合已知$PA=4\ \mathrm{cm}$，即可得出结果。
5. 如图,点A,O,B在同一条直线上.若$OC⊥OD,∠BOC=19°$,则$∠AOD=$.
答案
109°
解析
1. 由点A，O，B在同一条直线上，根据平角的定义，可得∠AOB=180°。
2. 已知OC⊥OD，根据垂直的定义，得∠COD=90°。
3. 先计算∠BOD的度数：∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 90° - 19° = 71°。
4. 最终计算∠AOD的度数：∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 180° - 71° = 109°。
2. 已知OC⊥OD，根据垂直的定义，得∠COD=90°。
3. 先计算∠BOD的度数：∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 90° - 19° = 71°。
4. 最终计算∠AOD的度数：∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 180° - 71° = 109°。
6. 如图,点 O 在直线 AB 上,OD 平分$∠ AOC$,$∠ COE=\frac{1}{3}∠ BOE$,$∠ DOE=70°$.设$∠ COE=α$,利用方程思想,可求得$α=$.
答案
$20°$
解析
已知∠COE=α，由∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOE，可得∠BOE=3α，
因此∠BOC = ∠COE + ∠BOE = α + 3α = 4α。
因为点O在直线AB上，∠AOB为平角，所以∠AOC + ∠BOC = 180°，
则∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 4α。
又因为OD平分∠AOC，根据角平分线定义，得∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}(180° - 4α)$ = 90° - 2α。
已知∠DOE = 70°，且∠DOE = ∠COD + ∠COE，代入得方程：
$90° - 2α + α = 70°$
化简得$90° - α =70°$，解得$α=20°$。
因此∠BOC = ∠COE + ∠BOE = α + 3α = 4α。
因为点O在直线AB上，∠AOB为平角，所以∠AOC + ∠BOC = 180°，
则∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 4α。
又因为OD平分∠AOC，根据角平分线定义，得∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}(180° - 4α)$ = 90° - 2α。
已知∠DOE = 70°，且∠DOE = ∠COD + ∠COE，代入得方程：
$90° - 2α + α = 70°$
化简得$90° - α =70°$，解得$α=20°$。
7.作图并解答问题：
(1)如图,点 P 在$∠AOB$的边 OA 上.
①过点 P 作 OA 的垂线交 OB 于点 C；
②作点 P 到 OB 的垂线段 PM.
(2)上述作图中,线段的长度表示点 P 到 OB 的距离.
(3)线段 PM,PC 与 OC 的大小关系是(用“＜”连接),判断依据:.
(1)如图,点 P 在$∠AOB$的边 OA 上.
①过点 P 作 OA 的垂线交 OB 于点 C；
②作点 P 到 OB 的垂线段 PM.
(2)上述作图中,线段的长度表示点 P 到 OB 的距离.
(3)线段 PM,PC 与 OC 的大小关系是(用“＜”连接),判断依据:.
答案
(1) 按上述步骤完成作图即可；
(2) PM；
(3) $PM＜PC＜OC$；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(2) PM；
(3) $PM＜PC＜OC$；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
解析
(1) 作图操作：① 将三角板的一条直角边与OA重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边过P作直线，与OB交于点C，即可得到垂直于OA的线段PC；② 将三角板的一条直角边与OB重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，从P向OB作垂线段，垂足标记为M，即可得到点P到OB的垂线段PM。
(2) 根据点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，因此线段PM的长度表示点P到OB的距离。
(3) 依据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。PM是点P到OB的垂线段，PC是点P到OB的斜线段，可得PM＜PC；又因为PC⊥OA，PC是点C到OA的垂线段，OC是点C到OA的斜线段，可得PC＜OC，因此三者大小关系为PM＜PC＜OC。
(2) 根据点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，因此线段PM的长度表示点P到OB的距离。
(3) 依据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。PM是点P到OB的垂线段，PC是点P到OB的斜线段，可得PM＜PC；又因为PC⊥OA，PC是点C到OA的垂线段，OC是点C到OA的斜线段，可得PC＜OC，因此三者大小关系为PM＜PC＜OC。
