17.【激活经验】
小明在学习有理数运算时,通过具体运算发现:
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},...$
在学习二次根式运算时,小明根据学习有理数运算积累的活动经验,类比探究了二次根式的运算规律,请将探究过程补充完整:
特例1:$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1×2}=1+1-\frac{1}{2}$;
特例2:$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2×3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$;
特例3:$\underline{\hspace{5cm}}$(填写一个符合上述运算特征的式子)。
【发现规律】
$\sqrt{1+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}}=\underline{\hspace{6cm}}$。($n>2$,且$n$为整数)
【应用规律】
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2023^2}+\frac{1}{2024^2}}=\underline{\hspace{5cm}}$;
(2)如果$\sqrt{1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}}$的小数部分是0.1,那么整数部分为$\underline{\hspace{2cm}}$。
小明在学习有理数运算时,通过具体运算发现:
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},...$
在学习二次根式运算时,小明根据学习有理数运算积累的活动经验,类比探究了二次根式的运算规律,请将探究过程补充完整:
特例1:$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1×2}=1+1-\frac{1}{2}$;
特例2:$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2×3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$;
特例3:$\underline{\hspace{5cm}}$(填写一个符合上述运算特征的式子)。
【发现规律】
$\sqrt{1+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}}=\underline{\hspace{6cm}}$。($n>2$,且$n$为整数)
【应用规律】
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2023^2}+\frac{1}{2024^2}}=\underline{\hspace{5cm}}$;
(2)如果$\sqrt{1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}}$的小数部分是0.1,那么整数部分为$\underline{\hspace{2cm}}$。
答案
17. 【激活经验】$\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$
【发现规律】$1+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$
【应用规律】(1) $2023\dfrac{2023}{2024}$ (2) $5$
【发现规律】$1+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$
【应用规律】(1) $2023\dfrac{2023}{2024}$ (2) $5$
18.【阅读材料】
对于形如$\sqrt{x^2+2x+1}$的式子,可先将被开方数配方:
$x^2+2x+1=(x+1)^2$,则$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$。
【问题解决】
(1)化简:$\sqrt{x^2-8x+16}$(写出过程);
(2)若$\sqrt{x^2-8x+16}=4-x$,求$x$的取值范围。
对于形如$\sqrt{x^2+2x+1}$的式子,可先将被开方数配方:
$x^2+2x+1=(x+1)^2$,则$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$。
【问题解决】
(1)化简:$\sqrt{x^2-8x+16}$(写出过程);
(2)若$\sqrt{x^2-8x+16}=4-x$,求$x$的取值范围。
答案
18. (1) $\sqrt{x^2-8x+16}=\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$ (2) $x≤4$
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