10. 有两张相同大小的矩形纸片ABCD和EFGH，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形IJKL，连接IK，LJ。若IK=4，JL=3，则AB的长是。

$\boldsymbol{\dfrac{12}{5}}$

解：
由矩形性质得：$AD// BC$，$EF// GH$，$AB$是平行线$AD$、$BC$间的距离，也是平行线$EF$、$GH$间的距离。
因此$LI// JK$，$IJ// LK$，四边形$IJKL$是平行四边形。
平行四边形$IJKL$的面积可表示为$S=LI· AB=IJ· AB$，可得$LI=IJ$，因此平行四边形$IJKL$是菱形。
菱形对角线互相垂直平分，已知$IK=4$，$JL=3$，则菱形边长为：
$\sqrt{(\frac{IK}{2})^2+(\frac{JL}{2})^2}=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$
菱形面积为：
$S=\frac{1}{2}· IK· JL=\frac{1}{2}×4×3=6$
又菱形面积$S=$边长$· AB$，代入得：
$6=\frac{5}{2}· AB$
解得$AB=\frac{12}{5}$。
最终

11. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止. 设点P运动的路程为x，$△ ABP$的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则矩形ABCD的周长是.

$\boldsymbol{18}$

解：
由函数图象可知：
当动点P运动到点C时，运动路程x=4，因此$BC=4$。
当动点P在CD边上运动时，$△ ABP$的面积保持不变，对应x的取值范围是$4≤ x≤9$，因此$CD=9-4=5$。
矩形ABCD的周长为$2×(BC + CD)=2×(4+5)=18$。
最终

12. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF相交于点O，D，B是对角线EF所在直线上两点，且$DE = BF$，连接AD，AB，CD，CB.
(1)证明：$△ ABF ≌ △ CDE$.
(2)若$∠ ADO = 45°$，则四边形ABCD是怎样的特殊四边形？请说明理由.

(1) 证明：
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ $AF = CE$，$AF // CE$，
∴ $∠ AFE = ∠ CEF$，
∴ $180° - ∠ AFE = 180° - ∠ CEF$，即 $∠ AFB = ∠ CED$。
又∵ $BF = DE$，
∴ $△ ABF ≌ △ CDE$（SAS）。
---
(2) 解：四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ $AO = OC$，$EO = OF$，$AC ⊥ EF$。
∵ $DE = BF$，
∴ $DE + EO = BF + OF$，即 $DO = BO$。
又∵ $AO = OC$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
∵ $∠ ADO = 45°$，$∠ AOD = 90°$，
∴ $∠ OAD = 180° - 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠ OAD = ∠ ADO$，得 $AO = DO$。
∵ $AC = 2AO$，$BD = 2DO$，
∴ $AC = BD$。
∴ 菱形ABCD是正方形（对角线相等的菱形是正方形）。

13. 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形. 现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD=$\sqrt{5}+1$. 如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开.
(1)求AB的长.
(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形.
(3)如图2，G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q. 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.

解：(1) ∵ 四边形ABCD是黄金矩形，$AD = \sqrt{5} + 1$，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $AB = AD · \frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\sqrt{5}+1) × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{5-1}{2} = 2$。
(2) 证明：由折叠的性质得，$AE = AB = 2$，$∠ AEF = ∠ B = 90°$，
又∵ $∠ A = 90°$，
∴ 四边形ABFE是正方形，
∴ $EF = AB = 2$，
∴ $ED = AD - AE = (\sqrt{5}+1) - 2 = \sqrt{5}-1$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD = AB = 2$，$∠ C = ∠ D = 90°$，
又∵ $∠ DEF = 90°$，
∴ 四边形CDEF是矩形，
∵ $\frac{ED}{EF} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ 四边形CDEF是黄金矩形。
(3) 四边形BFQP是黄金矩形，证明如下：
∵ G是AE的中点，$AE = 2$，
∴ $AG = GE = 1$，
在$Rt△ GEF$中，$FG = \sqrt{GE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
由折叠的性质可知：$FH = BF = 2$，$PH = BP$，$∠ PHF = ∠ B = 90°$，
∴ $HG = FG - FH = \sqrt{5} - 2$，$∠ PHG = 90°$，
设$BP = x$，则$PH = x$，$AP = AB - BP = 2 - x$，
在$Rt△ PHG$中，$PG^2 = PH^2 + HG^2 = x^2 + (\sqrt{5}-2)^2$，
在$Rt△ PAG$中，$∠ A = 90°$，$PG^2 = AP^2 + AG^2 = (2-x)^2 + 1^2$，
∴ $x^2 + (\sqrt{5}-2)^2 = (2-x)^2 + 1$，
展开整理得：$x^2 + 9 - 4\sqrt{5} = x^2 - 4x + 5$，
解得$x = \sqrt{5}-1$，即$BP = \sqrt{5}-1$，
∵ $PQ ⊥ EF$，$∠ B = ∠ BFE = 90°$，
∴ 四边形BFQP的四个内角均为直角，即四边形BFQP是矩形，
∴ $\frac{BP}{BF} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ 四边形BFQP是黄金矩形。