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二、勾股定理的逆定理及其应用
答案
答案略
1. 下列条件能判定$△ ABC$为直角三角形的是 （
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:4$
C.$a=3^2,b=4^2,c=5^2$
D.$a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{4},c=\dfrac{1}{5}$
A
）A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:4$
C.$a=3^2,b=4^2,c=5^2$
D.$a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{4},c=\dfrac{1}{5}$
答案
1.A
2. 三角形的三边长分别为 $a,b,c$，且满足等式 $(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，则此三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
2.B
3. 如图20-7,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为
(
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
(
C
)A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
3.C
4. 一个三角形的三边长为 5,12,13,则最短边上的高为
12
.答案
4.12
5. 已知在$△ ABC$中，$∠ A, ∠ B, ∠ C$的对边分别是$a, b, c$，满足$a^2 + b^2 + c^2 + 338 = 10a + 24b + 26c$. 试判断$△ ABC$的形状.
答案
5. 由题意,可得$a=5$,$b=12$,$c=13$.$\because a^2+b^2=c^2$,$\therefore △ABC$的形状是直角三角形.
6. 如图20-8,在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边长分别为$a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$,且$n＞1$.
(1)判断该三角形的形状,并说明理由；
(2)若$∠ B=60°$,求$△ ABC$的三边长.
图20-8
C. $6\ \mathrm{cm}^2$
D. $12\ \mathrm{cm}^2$
(1)判断该三角形的形状,并说明理由；
(2)若$∠ B=60°$,求$△ ABC$的三边长.
图20-8
C. $6\ \mathrm{cm}^2$
D. $12\ \mathrm{cm}^2$
答案
6.(1)$△ABC$是直角三角形. 理由如下:
$\because a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$.$\therefore a^2+b^2=c^2$.
$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠C=90°$.
(2)$\because ∠B=60°$,$∠C=90°$,$\therefore c=2a$,即$n^2+1=2(n^2-1)$.$\therefore n^2=3$,解得$n=\sqrt{3}$或$n=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去).当$n=\sqrt{3}$时,$a=n^2-1=(\sqrt{3})^2-1=2$,$b=2n=2\sqrt{3}$,$c=2a=4$.
$\because a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$.$\therefore a^2+b^2=c^2$.
$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠C=90°$.
(2)$\because ∠B=60°$,$∠C=90°$,$\therefore c=2a$,即$n^2+1=2(n^2-1)$.$\therefore n^2=3$,解得$n=\sqrt{3}$或$n=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去).当$n=\sqrt{3}$时,$a=n^2-1=(\sqrt{3})^2-1=2$,$b=2n=2\sqrt{3}$,$c=2a=4$.
