6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$BD=CF$，$BE=CD$，$∠ EDF=α$，则下列结论正确的是 （）

A.$2α+∠ A=180°$
B.$α+∠ A=90°$
C.$2α+∠ A=90°$
D.$α+∠ A=180°$

6.A

【分析】
解题时首先观察已知条件，有两组边相等、一组角相等，优先考虑利用SAS证明△BED和△CDF全等，得到对应角相等；再结合三角形内角和与平角的性质，推导∠EDF与∠B的等量关系；最后利用△ABC的内角和定理，将∠B替换为α，即可得到α和∠A的数量关系，从而选出正确选项。
【解析】
1. 证明三角形全等：在$△ BED$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} BE=CD \\ ∠ B=∠ C \\ BD=CF \end{cases}$
$\therefore △ BED ≌ △ CDF$（SAS），
$\therefore ∠ BED=∠ CDF$。
2. 推导$α$与$∠ B$的关系：
在$△ BED$中，由三角形内角和得：$∠ B + ∠ BED + ∠ BDE = 180°$，
又$\because$点$D$在$BC$上，$∠ BDE + ∠ EDF + ∠ CDF = 180°$，且$∠ EDF=α$，
将$∠ CDF$替换为$∠ BED$，可得：$∠ BDE + α + ∠ BED = 180°$，
对比两式可得：$∠ B = α$。
3. 结合$△ ABC$内角和推导最终关系：
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\because ∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ A + 2∠ B = 180°$，
将$∠ B=α$代入得：$2α + ∠ A = 180°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等与角度计算的综合题，解题核心是先通过全等实现角的等量代换，再结合内角和定理建立所求角的关系，是三角形部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7

7. 如图，$AB⊥ BC$，$BE⊥ AC$，垂足分别为$B,E$，$∠1=∠2$，$AD=AB$，则下列结论正确的是（）

A.$∠1=∠ EFD$
B.$BE=EC$
C.$BF=CD$
D.$FD// BC$

7.D

【分析】
解题思路：首先结合已知的边相等、角相等条件，优先利用SAS判定△ADF和△ABF全等，得到对应角相等；再结合两组垂直的条件，利用同角的余角相等推导角的等量关系，进而判断直线平行；最后逐一验证其余选项，排除没有条件支撑的错误结论即可。
第一步：梳理全等条件，已知AD=AB、∠1=∠2，AF为公共边，可证△ADF≌△ABF；第二步：由全等性质得∠ADF=∠ABF；第三步：结合垂直条件推导∠ABF与∠C相等，进而得到∠ADF=∠C，根据同位角相等判定两直线平行；第四步：排除错误选项，确定正确答案。
【解析】
1. 证明△ADF≌△ABF：
在△ADF和△ABF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB（已知）\\ ∠ 1=∠ 2（已知）\\ AF=AF（公共边）\end{array} $
∴△ADF≌△ABF（SAS）
∴∠ADF=∠ABF（全等三角形对应角相等）
2. 推导角的等量关系：
∵AB⊥BC，BE⊥AC
∴∠ABC=∠BEC=90°
∴∠ABF + ∠FBC = 90°，∠C + ∠FBC = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠ABF=∠C（同角的余角相等）
3. 判定平行并验证选项：
由∠ADF=∠ABF、∠ABF=∠C，可得∠ADF=∠C
∴FD//BC（同位角相等，两直线平行），故D选项正确。
其余选项验证：A选项无条件可推出∠1=∠EFD，错误；B选项BE=EC需满足AB=BC，题目未给出该条件，错误；C选项无依据可推出BF=CD，错误。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查了三角形全等、角度关系推导和平行线判定的相关知识，解题核心是先通过已知条件证明三角形全等得到角的等量关系，再结合垂直条件推导同位角相等，需要学生理清角与角之间的逻辑关系，熟练运用相关判定和性质。
【难度系数】
0.7

8. 如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,小丽两脚在地面上用力一蹬,妈妈在B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若点B距离地面的高度为1.5 m,点B到OA的距离BD为1.7 m,点C距离地面的高度是1.6 m,∠BOC=90°,则点C到OA的距离CE为 m.

8.1.8

【分析】
解题时先观察图形特征：已知∠BOC=90°，BD、CE都垂直于OA，可得两个直角三角形△BDO和△OEC。首先利用同角的余角相等推出两个三角形的一组锐角相等，再结合秋千绳长OB=OC，可证两个三角形全等，得到对应边相等。接着结合B、C两点的地面高度，先算出O点到地面的总高度，再求出OD的长度，即可得到CE的长度。
【解析】
∵ $BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，
∴ $∠ BDO=∠ OEC=90°$，
∴ $∠ B+∠ BOD=90°$。
∵ $∠ BOC=90°$，
∴ $∠ BOD+∠ COE=90°$，
∴ $∠ B=∠ COE$。
又
∵ $OB=OC$（秋千绳长度相等），
∴ $△ BDO≌△ OEC$（AAS），
∴ $BD=OE$，$OD=CE$。
已知$BD=1.7\mathrm{m}$，则$OE=1.7\mathrm{m}$。
设O点到地面的高度为$h$，
∵ C点距离地面高度为$1.6\mathrm{m}$，
∴ $h=OE+1.6=1.7+1.6=3.3\mathrm{m}$。
∵ B点距离地面高度为$1.5\mathrm{m}$，
∴ $OD=h-1.5=3.3-1.5=1.8\mathrm{m}$，
∴ $CE=OD=1.8\mathrm{m}$。
【答案】
$1.8$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 全等三角形的性质
3. 同角的余角相等
【点评】
本题结合秋千的生活场景考查全等三角形的应用，解题的关键是从图形中挖掘隐含的全等关系，将已知的高度、水平距离条件和全等三角形的对应边关系结合求解，侧重考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在四边形ABCD中,E为BC边的中点.若AE平分∠BAD,∠AED=90°,F为AD上一点,AF=AB.
求证:(1)$△ ABE ≌ △ AFE$;
(2)$AD=AB+CD$.

9.证明:(1)
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE和△AFE中,$\begin{cases} AB=AF, \\ ∠BAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(SAS).
(2)由(1)知,△ABE≌△AFE,
∴EB=EF,∠AEB=∠AEF.
∵∠BEC=180°,∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠DEC=∠DEF.
∵E为BC的中点,
∴EB=EC,
∴EF=EC.
在△ECD和△EFD中,$\begin{cases} EC=EF, \\ ∠DEC=∠DEF, \\ ED=ED, \end{cases}$
∴△ECD≌△EFD(SAS),
∴DC=DF.
∵AD=AF+DF,AB=AF,
∴AD=AB+CD.

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△AFE，可结合已知条件找全等判定所需的条件：已知AE平分∠BAD，可得对应角∠BAE=∠FAE，题目直接给出AB=AF，还有公共边AE，刚好满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明AD=AB+CD，观察图形可得AD=AF+FD，已知AB=AF，因此只需证明CD=FD即可。首先由(1)的全等结论可推出EB=EF、∠AEB=∠AEF，结合E是BC中点可得到EF=EC；再根据∠AED=90°，通过角的和差关系推导得出∠DEC=∠DEF，结合公共边ED，可利用SAS证明△ECD≌△EFD，得到CD=DF，最后代入线段和的关系即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE。
在△ABE和△AFE中，
$\begin{cases} AB=AF, \\ ∠BAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(SAS)。
(2) 由(1)知，△ABE≌△AFE，
∴EB=EF，∠AEB=∠AEF。
∵∠BEC=180°，∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，∠AEF+∠DEF=90°，
∴∠DEC=∠DEF。
∵E为BC的中点，
∴EB=EC，
∴EF=EC。
在△ECD和△EFD中，
$\begin{cases} EC=EF, \\ ∠DEC=∠DEF, \\ ED=ED, \end{cases}$
∴△ECD≌△EFD(SAS)，
∴DC=DF。
∵AD=AF+DF，AB=AF，
∴AD=AB+CD。
【答案】
(1) 已证△ABE≌△AFE；
(2) 已证AD=AB+CD。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 全等三角形的SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用题型，第一问是基础的全等证明，直接对应已知条件即可推导；第二问属于线段和差类证明，核心是通过全等实现线段的等量转化，用到的“截长补短”转化思想是几何证明的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$△ ABC$中,$BE$,$CF$分别是$AC$,$AB$两边上的高,在$BE$上截取$BD=AC$,在$CF$的延长线上截取$CG=AB$,连接$AD$,$AG$.
(1)求证:$AD=AG$;
(2)$AD$与$AG$的位置关系如何?请说明理由.

10.(1)证明:
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠HFB=∠HEC=90°.又
∵∠BHF=∠CHE,
∴∠ABD=∠ACG.
在△ABD和△GCA中,$\begin{cases} AB=CG, \\ ∠ABD=∠GCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△GCA(SAS),
∴AD=AG.
(2)解:位置关系是$AD⊥AG$.
理由:
∵△ABD≌△GCA,
∴∠ADB=∠GAC.
又
∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠AED=∠GAD=90°,
∴$AD⊥AG$.

【分析】
(1)要证明AD=AG，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现：观察图形可知AD在△ABD中，AG在△GCA中，已知条件给出AB=CG、BD=AC，只需证明两组边的夹角∠ABD=∠ACG即可。结合BE、CF是三角形的高可得对应直角相等，再结合对顶角相等，即可推出这组角相等，进而用SAS判定两个三角形全等，得到对应边相等。
(2)判断AD与AG的位置关系，结合图形可猜想为垂直关系，即要证∠GAD=90°。利用(1)中全等三角形的对应角相等，可得∠ADB=∠GAC，再结合三角形外角的性质，将∠ADB拆分为∠AED+∠DAE，∠GAC拆分为∠GAD+∠DAE，结合BE是高可得∠AED=90°，通过等量代换即可得到∠GAD=90°，证明垂直关系。
【解析】
(1)证明：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB=∠HEC=90°，
又
∵∠BHF=∠CHE（对顶角相等），
∴∠ABD=∠ACG（等角的余角相等）。
在△ABD和△GCA中：
$\begin{cases} AB=CG, \\ ∠ABD=∠GCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴AD=AG。
(2)解：AD与AG的位置关系是$AD⊥AG$，理由如下：
∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB=∠GAC，
又
∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，且BE⊥AC即∠AED=90°，
∴∠GAD=∠AED=90°，
∴$AD⊥AG$。
【答案】
(1)AD=AG，证明成立；
(2)$AD⊥AG$，理由如上。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题的关键是结合三角形高的性质找到全等所需的等角，通过证明三角形全等得到线段的数量关系，再利用全等的性质结合外角性质推导垂直关系，有效考查了逻辑推理能力和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65