17.两条平行直线上各有$n$个点,用这$n$对点按如下的规则连接成线段:
①平行线之间的点在连成线段时,可以有共同的端点,但不能有其他交点;
②符合①中要求的线段必须全部画出。
图①展示了当$n=1$时的情况,此时图中三角形的个数为0;
图②展示了当$n=2$时的一种情况,此时图中三角形的个数为2。
(1)当$n=3$时,请在图③中画出使三角形个数最少的图形,此时图中三角形的个数为。
(2)试猜想:当有$n$对点时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
(3)当$n=2025$时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
第17题图
假期作业15
年月日 星期

17.解:(1)（画法不唯一） 4
(2)当有$n$对点时,最少有$2(n-1)$个三角形。
(3)$2×(2\ 025-1)=4\ 048$(个),即最少有4 048个三角形。

【分析】
我们先从题目给出的已知情况入手分析，先观察n=1、n=2时的最少三角形个数，寻找数值变化规律。对于n=3的情况，要使三角形个数最少，连线时需尽量让相邻线段共用端点，避免额外产生三角形，画出图形后数出个数即可。再对比n=1、2、3对应的最少三角形个数，归纳出n对点时的一般规律，最后将n=2025代入规律式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按照“连线无内部交点、尽量共用端点”的原则画图（画法不唯一），数得此时三角形的个数为4；
(2) 观察已知数据：当n=1时，最少三角形个数为$0=2×(1-1)$；当n=2时，最少三角形个数为$2=2×(2-1)$；当n=3时，最少三角形个数为$4=2×(3-1)$，由此可归纳得出：当有n对点时，最少有$2(n-1)$个三角形；
(3) 将$n=2025$代入$2(n-1)$计算，可得$2×(2025-1)=2×2024=4048$（个）。
【答案】
(1)（画法不唯一） 4
(2)当有$n$对点时，最少有$2(n-1)$个三角形。
(3)最少有4048个三角形。
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，三角形计数
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，需要从特殊的简单情况入手，通过观察、归纳得到一般性规律，再应用规律求解具体数值，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7