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题组 二次根式的加减
答案
解：
1. 计算$\sqrt{12}+\sqrt{27}$
$\sqrt{12}+\sqrt{27}$
$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$
$=(2+3)\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}$
2. 计算$\sqrt{48}-\sqrt{3}+\sqrt{18}$
$\sqrt{48}-\sqrt{3}+\sqrt{18}$
$=4\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
$=(4-1)\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
3. 计算$(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{2}$
$=(\sqrt{5}-\sqrt{5})+(\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$=2\sqrt{2}$
1. 计算$\sqrt{12}+\sqrt{27}$
$\sqrt{12}+\sqrt{27}$
$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$
$=(2+3)\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}$
2. 计算$\sqrt{48}-\sqrt{3}+\sqrt{18}$
$\sqrt{48}-\sqrt{3}+\sqrt{18}$
$=4\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
$=(4-1)\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
3. 计算$(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{2}$
$=(\sqrt{5}-\sqrt{5})+(\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$=2\sqrt{2}$
1. 计算 $ \sqrt{7}+\sqrt{2 8} $的结果是 ( )
A.$ 3 \sqrt{7} $
B.$ 5 \sqrt{7} $
C.$ \sqrt{3 5} $
D.$ \sqrt{2 8} $
A.$ 3 \sqrt{7} $
B.$ 5 \sqrt{7} $
C.$ \sqrt{3 5} $
D.$ \sqrt{2 8} $
答案
1. A
2. 已知 $ \sqrt{3 2}-\sqrt{2}=a \sqrt{2}-\sqrt{2}=b \sqrt{2} $ ，则 a+b的值是_______.
答案
2. 7
3. 规定：当 a+b=-1时，称 a与b是关于-1的平衡数.若 $ 4+2 \sqrt{3} $与 m是关于一1的平衡数，则 m=___.
答案
3. $-5-2\sqrt{3}$
4. 计算： $ a\sqrt{8 a}-2 a^{2}\sqrt{\frac{1}{8 a}}+3\sqrt{2 a^{3}}= $ ___.
答案
4. $\dfrac{9}{2}a\sqrt{2a}$
5. 在计算 $ ( \sqrt{2 4}-\sqrt{\frac{1}{2}} )-( \sqrt{\frac{1}{8}}+\sqrt{6} ) $时，小敏的解题过程如下.
解：原式 $ = ( 2 \sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2} )-( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6} ) \dots $ $ \textcircled{1} $
$ = 2 \sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6} \dots $ $ \textcircled{2} $
$ = 2 \sqrt{6}+\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4} \dots $ $ \textcircled{3} $
$ = 3 \sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{4} \dots $ $ \textcircled{4} $
(1) 老师判定小敏的解法错误，小敏从第 ___步开始出错的；
(2) 请你给出正确的解答过程.
解：原式 $ = ( 2 \sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2} )-( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6} ) \dots $ $ \textcircled{1} $
$ = 2 \sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6} \dots $ $ \textcircled{2} $
$ = 2 \sqrt{6}+\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4} \dots $ $ \textcircled{3} $
$ = 3 \sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{4} \dots $ $ \textcircled{4} $
(1) 老师判定小敏的解法错误，小敏从第 ___步开始出错的；
(2) 请你给出正确的解答过程.
答案
5. 解（1）②
（2）原式$=(2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})-(\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6})=$
$2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}-\sqrt{6}-(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+ $
$ \dfrac{\sqrt{2}}{4})=\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$.
（2）原式$=(2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})-(\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6})=$
$2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}-\sqrt{6}-(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+ $
$ \dfrac{\sqrt{2}}{4})=\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$.
6. 实数 a，b在数轴上的位置如图所示， $ M=|2 b-1|+\sqrt{(a-1)^{2}}. $
(1) 化简 M；
(2) 当 a $ = {\sqrt{2}} $ ，b $ = {\sqrt{2}}-{\sqrt{5}} $时，求 M的值.
(1) 化简 M；
(2) 当 a $ = {\sqrt{2}} $ ，b $ = {\sqrt{2}}-{\sqrt{5}} $时，求 M的值.
答案
6. 解（1）由数轴可知$1 ＜ a ＜ 2$，$-1 ＜$
$b ＜ 0$.
所以$-2 ＜ 2b ＜ 0$.
所以$a-1 ＞ 0$，$2b-1 ＜ 0$.
所以$M=|2b-1|+\sqrt{(a-1)^2}=1-$
$2b+a-1=a-2b$.
（2）当$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}-\sqrt{5}$时，$M=a-$
$2b=\sqrt{2}-2×(\sqrt{2}-\sqrt{5})=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+$
$2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
$b ＜ 0$.
所以$-2 ＜ 2b ＜ 0$.
所以$a-1 ＞ 0$，$2b-1 ＜ 0$.
所以$M=|2b-1|+\sqrt{(a-1)^2}=1-$
$2b+a-1=a-2b$.
（2）当$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}-\sqrt{5}$时，$M=a-$
$2b=\sqrt{2}-2×(\sqrt{2}-\sqrt{5})=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+$
$2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
7. 已知 a，b都是实数，m是整数，若 a+ b=2m，则称 a与b是关于m的一组“平衡数”.
(1) $ \sqrt{2} $与_______是关于1的“平衡数”；
(2) $ 3-\sqrt{2} $与_______是关于3的“平衡数”；
(3) 若 a=4+ $ \sqrt{3} $ ，b= $ \sqrt{3}-4 $ ，判断 a与b是否为关于某数的一组“平衡数”，说明理由.
(1) $ \sqrt{2} $与_______是关于1的“平衡数”；
(2) $ 3-\sqrt{2} $与_______是关于3的“平衡数”；
(3) 若 a=4+ $ \sqrt{3} $ ，b= $ \sqrt{3}-4 $ ，判断 a与b是否为关于某数的一组“平衡数”，说明理由.
答案
7. 解（1）$2-\sqrt{2}$
（2）$3+\sqrt{2}$
（3）$a$与$b$不是关于某数的一组“平
衡数”.
理由如下：$a+b=4+\sqrt{3}+\sqrt{3}-4=2\sqrt{3}$.
若$a+b=2m$，
则$2m=2\sqrt{3}$，$m=\sqrt{3}$.
$m$不是整数，
所以$a$与$b$不是关于某数的一组“平
衡数”.
（2）$3+\sqrt{2}$
（3）$a$与$b$不是关于某数的一组“平
衡数”.
理由如下：$a+b=4+\sqrt{3}+\sqrt{3}-4=2\sqrt{3}$.
若$a+b=2m$，
则$2m=2\sqrt{3}$，$m=\sqrt{3}$.
$m$不是整数，
所以$a$与$b$不是关于某数的一组“平
衡数”.
