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1. 若关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}x - a ≤ 0, \\x - 1 ＜ 1\end{cases}$的解集是 $ x ＜ 2 $，则 $ a $ 的取值范围是（ ）
A.$ a ≥ 2 $
B.$ a ＞ 2 $
C.$ a ＜ 2 $
D.$ a ≤ 2 $
A.$ a ≥ 2 $
B.$ a ＞ 2 $
C.$ a ＜ 2 $
D.$ a ≤ 2 $
答案
1. A
2. 若关于$ x $的不等式组$\begin{cases}2x - 1 ≤ a, \\x + 3 ＞ 2\end{cases}$无解，则$ a $的取值范围是 （ ）
A.$ a ≤ -3 $
B.$ a ＞ -3 $
C.$ -3 ＜ a ≤ 2 $
D.$ -1 ≤ a ＜ 3 $
A.$ a ≤ -3 $
B.$ a ＞ -3 $
C.$ -3 ＜ a ≤ 2 $
D.$ -1 ≤ a ＜ 3 $
答案
2. A
3. 不等式$3(x-2) ≤ x-1$的非负整数解的个数有________个.
答案
3. 3
4. 若三个代数式满足:只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1,则称这三个代数式构成“雅礼不等式”.
例如:有三个代数式$2x-5,2-x,-2$,当$2x-5+2-x＞-2$时的解集为$x＞1$,则称$2x-5,2-x,-2$构成“雅礼不等式”.若$mx+m,-2nx,n$构成“雅礼不等式”,则关于$x$的不等式组$\begin{cases}2nx-n＜mx-m,\\2mx＞n+m\end{cases}$的解集为________.
例如:有三个代数式$2x-5,2-x,-2$,当$2x-5+2-x＞-2$时的解集为$x＞1$,则称$2x-5,2-x,-2$构成“雅礼不等式”.若$mx+m,-2nx,n$构成“雅礼不等式”,则关于$x$的不等式组$\begin{cases}2nx-n＜mx-m,\\2mx＞n+m\end{cases}$的解集为________.
答案
4. $x＞\frac{3}{5}$或$x＜\frac{1}{6}$或$-1＜x＜\frac{5}{6}$
三、解答题
5. 解不等式组：$\begin{cases}2x+3＞3x-7,\\\dfrac{4x-2}{3}＜2x-4.\end{cases}$
5. 解不等式组：$\begin{cases}2x+3＞3x-7,\\\dfrac{4x-2}{3}＜2x-4.\end{cases}$
答案
5. $5＜x＜10$
6. 若一个不等式组 $ M $ 有解且解集为 $ a＜x＜b $（$ a＜b $），则称 $ b-a $ 为 $ M $ 的“绝对距离”；若 $ M $ 的绝对距离是不等式组 $ N $ 的解，则称不等式组 $ N $ 对于不等式组 $ M $“绝对包含”。
（1）已知关于 $ x $ 的不等式组 $ A $：$\begin{cases}2x - 4 ＜ 0, \\1 + x ＞ 0\end{cases}$ 以及不等式组 $ B $：$-3 ＜ x ≤ 3$，判断不等式组 $ B $ 是否对于不等式组 $ A $“绝对包含”，并写出判断过程。
（2）已知关于 $ x $ 的不等式组 $ C $：$\begin{cases}x ＞ n, \\x ＜ m\end{cases}$ 和关于 $ x $ 的不等式组 $ D $：$\begin{cases}x + n ＜ 8, \\2x + n ＞ m.\end{cases}$ 若不等式组 $ D $ 对于不等式组 $ C $“绝对包含”，当 $-3 ≤ n ＜ -2$ 时，求满足条件的所有整数 $ m $ 的和。
（3）已知关于 $ x $ 的不等式组 $ E $：$\begin{cases}x + 5 ＞ 0, \\2x - 1 ＜ 4m + 5\end{cases}$ 以及不等式组 $ F $：$\begin{cases}x + 2 ＞ m, \\2x - m ＜ 2m + 20,\end{cases}$ 且不等式组 $ F $ 对于不等式组 $ E $“绝对包含”，求 $ m $ 的取值范围。
（1）已知关于 $ x $ 的不等式组 $ A $：$\begin{cases}2x - 4 ＜ 0, \\1 + x ＞ 0\end{cases}$ 以及不等式组 $ B $：$-3 ＜ x ≤ 3$，判断不等式组 $ B $ 是否对于不等式组 $ A $“绝对包含”，并写出判断过程。
（2）已知关于 $ x $ 的不等式组 $ C $：$\begin{cases}x ＞ n, \\x ＜ m\end{cases}$ 和关于 $ x $ 的不等式组 $ D $：$\begin{cases}x + n ＜ 8, \\2x + n ＞ m.\end{cases}$ 若不等式组 $ D $ 对于不等式组 $ C $“绝对包含”，当 $-3 ≤ n ＜ -2$ 时，求满足条件的所有整数 $ m $ 的和。
（3）已知关于 $ x $ 的不等式组 $ E $：$\begin{cases}x + 5 ＞ 0, \\2x - 1 ＜ 4m + 5\end{cases}$ 以及不等式组 $ F $：$\begin{cases}x + 2 ＞ m, \\2x - m ＜ 2m + 20,\end{cases}$ 且不等式组 $ F $ 对于不等式组 $ E $“绝对包含”，求 $ m $ 的取值范围。
答案
6. (1) 解不等式组A得$-1＜x＜2$,其绝对距离为$2-(-1)=3$.因为不等式组B的解集为$-3＜x≤3$,3是不等式组B的解,所以不等式组B对于不等式组A“绝对包含”.
(2) 因为不等式组C有解,所以$m＞n$,其绝对距离为$m-n$;解不等式组D得$\frac{m-n}{2}＜x＜8-n$.因为不等式组D对于不等式组C“绝对包含”,所以$m-n$是D的解,即$\begin{cases}\frac{m-n}{2}＜m-n,①\\m-n＜8-n.②\end{cases}$由不等式①得$\frac{m-n}{2}＞0$,解得$m-n＞0$,因为$m＞n$,所以$m-n＞0$,此条件与不等式组C有解的条件一致;由不等式②得$m＜8$.又因为$m＞n$,且$-3≤n＜-2$,所以整数$m$的取值为$-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7$,这些整数的和为$-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7=25$.
(3) 解不等式组E得$-5＜x＜2m+3$,因为不等式组E有解,所以$2m+3＞-5$,解得$m＞-4$,其“绝对距离”为$(2m+3)-(-5)=2m+8$;解不等式组F得$m-2＜x＜\frac{3m+20}{2}$.因为不等式组F有解,所以$m-2＜\frac{3m+20}{2}$,解得$m＞-24$,该条件在$m＞-4$时自动满足.因为不等式组F对于不等式组E绝对包含,所以$2m+8$是F的解,即$\begin{cases}m-2＜2m+8.\\2m+8＜\frac{3m+20}{2}.\end{cases}$解得$-10＜m＜4$,结合$m＞-4$,所以$m$的取值范围为$-4＜m＜4$.
(2) 因为不等式组C有解,所以$m＞n$,其绝对距离为$m-n$;解不等式组D得$\frac{m-n}{2}＜x＜8-n$.因为不等式组D对于不等式组C“绝对包含”,所以$m-n$是D的解,即$\begin{cases}\frac{m-n}{2}＜m-n,①\\m-n＜8-n.②\end{cases}$由不等式①得$\frac{m-n}{2}＞0$,解得$m-n＞0$,因为$m＞n$,所以$m-n＞0$,此条件与不等式组C有解的条件一致;由不等式②得$m＜8$.又因为$m＞n$,且$-3≤n＜-2$,所以整数$m$的取值为$-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7$,这些整数的和为$-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7=25$.
(3) 解不等式组E得$-5＜x＜2m+3$,因为不等式组E有解,所以$2m+3＞-5$,解得$m＞-4$,其“绝对距离”为$(2m+3)-(-5)=2m+8$;解不等式组F得$m-2＜x＜\frac{3m+20}{2}$.因为不等式组F有解,所以$m-2＜\frac{3m+20}{2}$,解得$m＞-24$,该条件在$m＞-4$时自动满足.因为不等式组F对于不等式组E绝对包含,所以$2m+8$是F的解,即$\begin{cases}m-2＜2m+8.\\2m+8＜\frac{3m+20}{2}.\end{cases}$解得$-10＜m＜4$,结合$m＞-4$,所以$m$的取值范围为$-4＜m＜4$.
