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练习24
一、选择题
1. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半. 若每个篮球80元，每个足球50元，则共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组 （）
A. $\begin{cases}2x≥ 50 - x,\\80x + 50(50 - x) ＜ 3\ 200\end{cases}$
B. $\begin{cases}x ＞ \dfrac{1}{2}(50 - x),\\80x + 50(50 - x) ＜ 3\ 200\end{cases}$
C. $\begin{cases}x≥ \dfrac{1}{2}(50 - x),\\80x + 50(50 - x)≤ 3\ 200\end{cases}$
D. $\begin{cases}x≥ \dfrac{1}{2}(50 - x),\\50x + 80(50 - x)≤ 3\ 200\end{cases}$
2. 设$[x)$表示大于$x$的最小整数，如$[2)=3,[-1.4)=-1$. 有下列结论：①$[0)=0$；②$[x)-x$的最小值是0；③$[x)-x$的最大值是0；④存在实数$x$，使$[x)-x=0.5$成立；⑤若$x$满足不等式组$\begin{cases}\dfrac{x + 2}{2} ＜ 1,\\2 - 3x≤ 5,\end{cases}$则$[x)$的值为$-1$. 其中正确结论的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
3. 已知不等式$6x + 1 ＞ 5x - 2$的最小整数解是方程$2x - kx = 4 - 2k$的解，则$k=$.
4. 各个数位上的数字均为正整数的四位自然数$N=\overline{abcd}$，若其千位数字与个位数字的和大于百位数字与十位数字的和，且千位数字与个位数字的差的绝对值小于百位数字与十位数字的差的绝对值，即$\begin{cases}a + d ＞ b + c,\\|a - d| ＜ |b - c|,\end{cases}$则称$N$为“知行数”，并规定$H(N)=\overline{ab}+\overline{cd}$. 已知四位自然数$N=\overline{5bc4}$是“知行数”，则$3b + 2c$的最大值是 ______ ；若“知行数”$B = 1\ 000p + 100q + 10r + 2(1≤ p,q,r≤ 9$且$p,q,r$均为整数)，且满足$80 ＜ H(B) ＜ 100$，则满足条件的$B$的最大值与最小值之差为 ______ .
三、解答题
5. 定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”. 例如：已知方程$2x - 1 = 1$与不等式$x + 1 ＞ 0$，当$x = 1$时，$2x - 1 = 2×1 - 1 = 1$，$1 + 1 = 2 ＞ 0$同时成立，则称“$x = 1$”是方程$2x - 1 = 1$与不等式$x + 1 ＞ 0$的“理想解”.
(1) 若$\begin{cases}x = m,\\y = n\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x - 2y = 5 + q,\\2x - y = 2q + 1\end{cases}$与不等式$x - y ＞ 1$的“理想解”，求$q$的取值范围；
(2) 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + y = 3a + 5,\\x - y = 5a - 3\end{cases}$与不等式$x + 2y≥ a + 10$的“理想解”均为正数，直接写出$a$的取值范围.
一、选择题
1. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半. 若每个篮球80元，每个足球50元，则共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组 （）
A. $\begin{cases}2x≥ 50 - x,\\80x + 50(50 - x) ＜ 3\ 200\end{cases}$
B. $\begin{cases}x ＞ \dfrac{1}{2}(50 - x),\\80x + 50(50 - x) ＜ 3\ 200\end{cases}$
C. $\begin{cases}x≥ \dfrac{1}{2}(50 - x),\\80x + 50(50 - x)≤ 3\ 200\end{cases}$
D. $\begin{cases}x≥ \dfrac{1}{2}(50 - x),\\50x + 80(50 - x)≤ 3\ 200\end{cases}$
2. 设$[x)$表示大于$x$的最小整数，如$[2)=3,[-1.4)=-1$. 有下列结论：①$[0)=0$；②$[x)-x$的最小值是0；③$[x)-x$的最大值是0；④存在实数$x$，使$[x)-x=0.5$成立；⑤若$x$满足不等式组$\begin{cases}\dfrac{x + 2}{2} ＜ 1,\\2 - 3x≤ 5,\end{cases}$则$[x)$的值为$-1$. 其中正确结论的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
3. 已知不等式$6x + 1 ＞ 5x - 2$的最小整数解是方程$2x - kx = 4 - 2k$的解，则$k=$.
4. 各个数位上的数字均为正整数的四位自然数$N=\overline{abcd}$，若其千位数字与个位数字的和大于百位数字与十位数字的和，且千位数字与个位数字的差的绝对值小于百位数字与十位数字的差的绝对值，即$\begin{cases}a + d ＞ b + c,\\|a - d| ＜ |b - c|,\end{cases}$则称$N$为“知行数”，并规定$H(N)=\overline{ab}+\overline{cd}$. 已知四位自然数$N=\overline{5bc4}$是“知行数”，则$3b + 2c$的最大值是 ______ ；若“知行数”$B = 1\ 000p + 100q + 10r + 2(1≤ p,q,r≤ 9$且$p,q,r$均为整数)，且满足$80 ＜ H(B) ＜ 100$，则满足条件的$B$的最大值与最小值之差为 ______ .
三、解答题
5. 定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”. 例如：已知方程$2x - 1 = 1$与不等式$x + 1 ＞ 0$，当$x = 1$时，$2x - 1 = 2×1 - 1 = 1$，$1 + 1 = 2 ＞ 0$同时成立，则称“$x = 1$”是方程$2x - 1 = 1$与不等式$x + 1 ＞ 0$的“理想解”.
(1) 若$\begin{cases}x = m,\\y = n\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x - 2y = 5 + q,\\2x - y = 2q + 1\end{cases}$与不等式$x - y ＞ 1$的“理想解”，求$q$的取值范围；
(2) 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + y = 3a + 5,\\x - y = 5a - 3\end{cases}$与不等式$x + 2y≥ a + 10$的“理想解”均为正数，直接写出$a$的取值范围.
答案
1. C
2. A
3. 2
4. 23；3570
5. (1) $\begin{cases}x-2y=5+q,①\\2x-y=2q+1,②\end{cases}$②×2得$4x-2y=4q+2$③. ③-①得$x=q-1$,把$x=q-1$代入①得$y=-3$,所以方程组的解为$\begin{cases}x=q-1,\\y=-3.\end{cases}$把$\begin{cases}x=q-1,\\y=-3\end{cases}$代入$x-y＞1$得$q-1-(-3)＞1$,解得$q＞-1$.
(2) $\begin{cases}x+y=3a+5,①\\x-y=5a-3,②\end{cases}$①+②解得$x=4a+1$,把$x=4a+1$代入①解得$y=4-a$.因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=3a+5,\\x-y=5a-3\end{cases}$与不等式$x+2y≥a+10$的“理想解”均为正数,所以$\begin{cases}4a+1＞0,\\4-a＞0,\\(4a+1)+2(4-a)≥a+10.\end{cases}$解得该不等式组的解集为$1≤a＜4$.
2. A
3. 2
4. 23；3570
5. (1) $\begin{cases}x-2y=5+q,①\\2x-y=2q+1,②\end{cases}$②×2得$4x-2y=4q+2$③. ③-①得$x=q-1$,把$x=q-1$代入①得$y=-3$,所以方程组的解为$\begin{cases}x=q-1,\\y=-3.\end{cases}$把$\begin{cases}x=q-1,\\y=-3\end{cases}$代入$x-y＞1$得$q-1-(-3)＞1$,解得$q＞-1$.
(2) $\begin{cases}x+y=3a+5,①\\x-y=5a-3,②\end{cases}$①+②解得$x=4a+1$,把$x=4a+1$代入①解得$y=4-a$.因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=3a+5,\\x-y=5a-3\end{cases}$与不等式$x+2y≥a+10$的“理想解”均为正数,所以$\begin{cases}4a+1＞0,\\4-a＞0,\\(4a+1)+2(4-a)≥a+10.\end{cases}$解得该不等式组的解集为$1≤a＜4$.
