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13. 如图，$□ ABCD$与$□ DCFE$的周长相等，且$∠ BAD=60°$，$∠ F=100°$，则$∠ DAE$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30$
D.$35°$
A
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30$
D.$35°$
答案
13.A
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，结合两个平行四边形周长相等且有公共边CD，推导出AD=DE，即△ADE为等腰三角形。再利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，分别求出∠ADC和∠CDE的度数，结合周角为360°算出等腰△ADE的顶角∠ADE，最后根据等腰三角形两底角相等、内角和为180°的性质，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形邻角互补，可得：
$∠ ADC=180°-∠ BAD=180°-60°=120°$，且$AD=BC$，$AB=CD$。
2. 已知四边形DCFE是平行四边形，根据平行四边形对角相等，可得：
$∠ CDE=∠ F=100°$，且$DE=CF$，$CD=EF$。
3. 因为两个平行四边形周长相等，且公共边为CD，所以$2(AD+CD)=2(DE+CD)$，化简得$AD=DE$，即$△ ADE$是等腰三角形。
4. 绕点D的周角和为$360°$，因此：
$∠ ADE=360°-∠ ADC-∠ CDE=360°-120°-100°=140°$。
5. 等腰$△ ADE$中，两个底角相等，因此：
$∠ DAE=\frac{180°-∠ ADE}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查平行四边形和等腰三角形的核心性质，解题的关键是理清图形中边、角的数量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，结合两个平行四边形周长相等且有公共边CD，推导出AD=DE，即△ADE为等腰三角形。再利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，分别求出∠ADC和∠CDE的度数，结合周角为360°算出等腰△ADE的顶角∠ADE，最后根据等腰三角形两底角相等、内角和为180°的性质，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形邻角互补，可得：
$∠ ADC=180°-∠ BAD=180°-60°=120°$，且$AD=BC$，$AB=CD$。
2. 已知四边形DCFE是平行四边形，根据平行四边形对角相等，可得：
$∠ CDE=∠ F=100°$，且$DE=CF$，$CD=EF$。
3. 因为两个平行四边形周长相等，且公共边为CD，所以$2(AD+CD)=2(DE+CD)$，化简得$AD=DE$，即$△ ADE$是等腰三角形。
4. 绕点D的周角和为$360°$，因此：
$∠ ADE=360°-∠ ADC-∠ CDE=360°-120°-100°=140°$。
5. 等腰$△ ADE$中，两个底角相等，因此：
$∠ DAE=\frac{180°-∠ ADE}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查平行四边形和等腰三角形的核心性质，解题的关键是理清图形中边、角的数量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
14.如图，$□ ABCD$的周长为60 cm，AC，BD相交于点O，$EO⊥ BD$交AD于点E，则$△ ABE$的周长为 （
A.30 cm
B.60 cm
C.40 cm
D.20 cm
A
）A.30 cm
B.60 cm
C.40 cm
D.20 cm
答案
14.A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件关联相关性质：第一步，根据平行四边形周长先求出相邻两边AB与AD的和；第二步，由平行四边形对角线互相平分可得O是BD中点，结合EO⊥BD可知EO是BD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得BE=DE；第三步，将△ABE周长中的BE替换为DE，即可把周长转化为AB+AD，进而求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，
∴$AB+AD=\frac{1}{2}×60=30\mathrm{cm}$，
∵EO⊥BD，且OB=OD，
∴EO是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=30 cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考察平行四边形性质与线段垂直平分线性质的综合应用，解题关键是通过垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将所求三角形的周长转化为平行四边形的邻边之和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件关联相关性质：第一步，根据平行四边形周长先求出相邻两边AB与AD的和；第二步，由平行四边形对角线互相平分可得O是BD中点，结合EO⊥BD可知EO是BD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得BE=DE；第三步，将△ABE周长中的BE替换为DE，即可把周长转化为AB+AD，进而求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，
∴$AB+AD=\frac{1}{2}×60=30\mathrm{cm}$，
∵EO⊥BD，且OB=OD，
∴EO是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=30 cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考察平行四边形性质与线段垂直平分线性质的综合应用，解题关键是通过垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将所求三角形的周长转化为平行四边形的邻边之和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点。若∠DAC=20°，∠ACB=60°，则∠FEG的度数为
$20°$
。答案
15.$20°$
解析
【分析】
遇到包含多个中点的几何题，优先考虑三角形中位线定理。首先观察到E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，可得FG是△ADC的中位线，EG是△ABC的中位线，利用中位线的性质可得到FG与AD、EG与BC的位置和数量关系，结合AD=BC可推出△FGE是等腰三角形，再结合已知角度求出顶角∠FGE的度数，最后利用等腰三角形内角和性质计算底角∠FEG即可。
【解析】
解：
∵F、G分别是CD、AC的中点，
∴FG是△ADC的中位线，
∴FG//AD，$FG=\frac{1}{2}AD$，
∴∠FGC=∠DAC=20°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC，$EG=\frac{1}{2}BC$，
∴∠EGC+∠ACB=180°，
∴∠EGC=180°-60°=120°，
∴∠EGF=∠FGC+∠EGC=20°+120°=140°，
又
∵AD=BC，
∴FG=EG，即△FGE是等腰三角形，
∴$∠ FEG=\frac{180°-∠ EGF}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何中常见的中点类题型，解题关键是利用中点构造中位线，通过平行线的性质转化角度，再结合等腰三角形性质求解，综合性不强，解题思路清晰。
【难度系数】
0.6
遇到包含多个中点的几何题，优先考虑三角形中位线定理。首先观察到E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，可得FG是△ADC的中位线，EG是△ABC的中位线，利用中位线的性质可得到FG与AD、EG与BC的位置和数量关系，结合AD=BC可推出△FGE是等腰三角形，再结合已知角度求出顶角∠FGE的度数，最后利用等腰三角形内角和性质计算底角∠FEG即可。
【解析】
解：
∵F、G分别是CD、AC的中点，
∴FG是△ADC的中位线，
∴FG//AD，$FG=\frac{1}{2}AD$，
∴∠FGC=∠DAC=20°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC，$EG=\frac{1}{2}BC$，
∴∠EGC+∠ACB=180°，
∴∠EGC=180°-60°=120°，
∴∠EGF=∠FGC+∠EGC=20°+120°=140°，
又
∵AD=BC，
∴FG=EG，即△FGE是等腰三角形，
∴$∠ FEG=\frac{180°-∠ EGF}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何中常见的中点类题型，解题关键是利用中点构造中位线，通过平行线的性质转化角度，再结合等腰三角形性质求解，综合性不强，解题思路清晰。
【难度系数】
0.6
16.如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$AB=AD$，$E$，$F$分别是$AC$，$BD$的中点，$EF=3$，则$AC$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
16.6
解析
【分析】
首先观察已知条件：AB=AD说明△ABD是等腰三角形，F是BD的中点，根据等腰三角形常用辅助线思路，连接AF，利用“三线合一”可得AF垂直BD，即△AFC为直角三角形；再结合E是AC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，即可得到EF和AC的数量关系，进而求出AC的长度。
【解析】
连接AF，
∵ AB=AD，F是BD的中点，
∴ AF⊥BD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合，即三线合一），
∴ ∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
又
∵ E是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ EF=\frac{1}{2}AC $。
已知EF=3，代入得：$ AC=2EF=2×3=6 $。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的关键是通过连接AF构造直角三角形，结合等腰三角形和直角三角形的性质推导线段关系，熟练掌握特殊三角形的性质和常用辅助线做法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件：AB=AD说明△ABD是等腰三角形，F是BD的中点，根据等腰三角形常用辅助线思路，连接AF，利用“三线合一”可得AF垂直BD，即△AFC为直角三角形；再结合E是AC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，即可得到EF和AC的数量关系，进而求出AC的长度。
【解析】
连接AF，
∵ AB=AD，F是BD的中点，
∴ AF⊥BD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合，即三线合一），
∴ ∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
又
∵ E是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ EF=\frac{1}{2}AC $。
已知EF=3，代入得：$ AC=2EF=2×3=6 $。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的关键是通过连接AF构造直角三角形，结合等腰三角形和直角三角形的性质推导线段关系，熟练掌握特殊三角形的性质和常用辅助线做法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
17.在$□ ABCD$中，$AD=BD$，$BE$是$AD$边上的高，$∠ EBD=20°$，则$∠ A$的度数为________.
答案
17.$55°$或$35°$
解析
【分析】
解题时先根据高的定义得到△BED是直角三角形，结合已知∠EBD=20°可先求出∠BDE的度数。由于高的位置不确定，需要分两种情况讨论：①当点E在线段AD上时，∠ADB与∠BDE相等；②当点E在AD的延长线上时，∠ADB与∠BDE互补。再结合AD=BD可知△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求出∠A的度数。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高BE在△ABD内部，即点E在线段AD上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠ADB=∠BDE=90°-20°=70°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
∴∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-70°)÷2=55°
2. 当高BE在△ABD外部，即点E在AD的延长线上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠BDE=90°-20°=70°
∴∠ADB=180°-∠BDE=180°-70°=110°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
∴∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-110°)÷2=35°
综上，∠A的度数为55°或35°。
【答案】
$55°$或$35°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题容易出现漏解的错误，解题时要注意三角形的高既可能在图形内部，也可能在图形外部，需结合分类讨论思想完整分析所有情况。
【难度系数】
0.6
解题时先根据高的定义得到△BED是直角三角形，结合已知∠EBD=20°可先求出∠BDE的度数。由于高的位置不确定，需要分两种情况讨论：①当点E在线段AD上时，∠ADB与∠BDE相等；②当点E在AD的延长线上时，∠ADB与∠BDE互补。再结合AD=BD可知△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求出∠A的度数。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高BE在△ABD内部，即点E在线段AD上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠ADB=∠BDE=90°-20°=70°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
∴∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-70°)÷2=55°
2. 当高BE在△ABD外部，即点E在AD的延长线上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠BDE=90°-20°=70°
∴∠ADB=180°-∠BDE=180°-70°=110°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
∴∠A=(180°-∠ADB)÷2=(180°-110°)÷2=35°
综上，∠A的度数为55°或35°。
【答案】
$55°$或$35°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题容易出现漏解的错误，解题时要注意三角形的高既可能在图形内部，也可能在图形外部，需结合分类讨论思想完整分析所有情况。
【难度系数】
0.6
18. 如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB。
(1)求证:四边形DBFC是平行四边形。
(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长。
(1)求证:四边形DBFC是平行四边形。
(2)如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长。
答案
18.解:(1)证明:
∵AC⊥BD,∠FCA=90°,
∠CBF=∠DCB.
∴BD//CF,CD//BF.
∴四边形DBFC是平行四边形.
(2)
∵四边形DBFC是
平行四边形,
∴CF=
BD=2.
∵AB=BC,AC
⊥BD,
∴AE=CE.如
图,作CM⊥BF,垂足为M.
∵BC平分
∠DBF,
∴CE=CM.
∵∠F=45°,
∴△CFM是等腰直角三角形.
∴CM=
$\frac{\sqrt{2}}{2}CF=\sqrt{2}$.
∴AE=CE=$\sqrt{2}$.
∴AC=2$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证四边形DBFC是平行四边形，需证两组对边分别平行：首先由AC⊥BD、∠FCA=90°，可得BD和CF都垂直于AC，推出BD//CF；再由∠CBF=∠DCB，内错角相等推出CD//BF，即可判定该四边形是平行四边形。
(2) 先利用平行四边形对边相等的性质得到CF=BD=2；再由AB=BC且AC⊥BD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=CE；过C作CM⊥BF，结合BC平分∠DBF，根据角平分线的性质可得CE=CM；已知∠F=45°，可推出△CMF是等腰直角三角形，求出CM长度后即可得到CE的长，进而求出AC的总长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AC⊥BD，∠FCA=90°，
∴BD⊥AC，CF⊥AC，
∴BD//CF，
又
∵∠CBF=∠DCB，
∴CD//BF，
∴四边形DBFC是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AE=CE，
过点C作CM⊥BF，垂足为M，
∵BC平分∠DBF，AC⊥BD，CM⊥BF，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得CE=CM，
∵∠F=45°，∠CMF=90°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴CE=CM=$\sqrt{2}$，AE=CE=$\sqrt{2}$，
∴AC=AE+CE=2$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形DBFC是平行四边形；
(2) AC的长为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，主要考察平行四边形、等腰三角形、角平分线相关定理的应用，解题的关键是结合已知条件逐步推导边、角关系，第二问构造辅助线利用角平分线的性质是解题突破口，掌握相关基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证四边形DBFC是平行四边形，需证两组对边分别平行：首先由AC⊥BD、∠FCA=90°，可得BD和CF都垂直于AC，推出BD//CF；再由∠CBF=∠DCB，内错角相等推出CD//BF，即可判定该四边形是平行四边形。
(2) 先利用平行四边形对边相等的性质得到CF=BD=2；再由AB=BC且AC⊥BD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=CE；过C作CM⊥BF，结合BC平分∠DBF，根据角平分线的性质可得CE=CM；已知∠F=45°，可推出△CMF是等腰直角三角形，求出CM长度后即可得到CE的长，进而求出AC的总长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AC⊥BD，∠FCA=90°，
∴BD⊥AC，CF⊥AC，
∴BD//CF，
又
∵∠CBF=∠DCB，
∴CD//BF，
∴四边形DBFC是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AE=CE，
过点C作CM⊥BF，垂足为M，
∵BC平分∠DBF，AC⊥BD，CM⊥BF，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得CE=CM，
∵∠F=45°，∠CMF=90°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴CE=CM=$\sqrt{2}$，AE=CE=$\sqrt{2}$，
∴AC=AE+CE=2$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形DBFC是平行四边形；
(2) AC的长为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，主要考察平行四边形、等腰三角形、角平分线相关定理的应用，解题的关键是结合已知条件逐步推导边、角关系，第二问构造辅助线利用角平分线的性质是解题突破口，掌握相关基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
