8. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°.若AB=5，BC=8，则EF的长为.

第8题图 第9题图 第10题图

8.1.5

【分析】
解题时先结合已知条件定位适用的几何性质：首先由DE是△ABC的中位线，可利用中位线定理求出DE的长度，同时得到D是AB中点；再结合∠AFB=90°，在Rt△AFB中利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出DF的长度；最后通过线段的差计算EF的长度即可。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4，且D为AB的中点。
又
∵∠AFB=90°，AB=5，在Rt△AFB中，DF是斜边AB的中线，
∴DF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×5 = 2.5，
∴EF = DE - DF = 4 - 2.5 = 1.5。
【答案】
1.5
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查对三角形中位线和直角三角形相关性质的理解与运用，解题的核心是找到中点与线段长度的对应关系，再通过线段差计算结果。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,$E$是边$BC$的中点,$ED=3$,$AD=4$,则$DC$的长是.

9.2

【分析】
解题时可先利用直角三角形斜边中线的性质得到相等线段，再结合勾股定理计算相关边长，最终求出DC的长度：首先，△ABC是直角三角形，E为斜边BC的中点，可得AE与EC长度相等；其次，AD垂直BC，△AED为直角三角形，已知AD、ED的长度，可通过勾股定理求出AE的长度，即得到EC的长度；最后用EC减去ED即可得到DC的长。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，E是斜边BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：$AE=BE=EC$。
2. 因为$AD⊥ BC$，所以$△ ADE$是直角三角形，已知$AD=4$，$ED=3$，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2+ED^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$，因此$EC=AE=5$。
3. 计算DC的长度：$DC=EC-ED=5-3=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用直角三角形斜边中线的性质建立线段等量关系，结合勾股定理即可求解，解题思路清晰，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$□ ABCD$的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$，$E$是直线$CD$上的一点，且$CE=\frac{1}{2}CD$，则$△ ACE$的面积为$\ \mathrm{cm}^2$。

10.9

【分析】
解题思路如下：1. 首先利用平行四边形的性质，对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形，先求出△ACD的面积；2. 观察△ACE和△ACD，二者的高都是点A到直线DE的距离，属于等高三角形，等高三角形的面积比等于对应底的长度比；3. 结合已知CE和CD的比例关系，即可求出△ACE的面积。
【解析】
连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC将平行四边形分为面积相等的两个三角形，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×36=18\ \mathrm{cm}^2$。
△ACE与△ACD的高均为点A到直线DE的垂线段长度，即两三角形等高，
已知$CE=\frac{1}{2}CD$，等高三角形的面积比等于底的比，
∴$\frac{S_{△ ACE}}{S_{△ ACD}}=\frac{CE}{CD}=\frac{1}{2}$，
则$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
9
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，等高三角形面积规律
【点评】
本题是基础几何面积计算题，解题的核心是抓住等高三角形面积与底的比例关系，结合平行四边形的性质快速推导，有助于巩固几何图形面积的相关计算方法。
【难度系数】
0.7

11.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是直线AC上的点,且AP=CQ.
求证:四边形PBQD是平行四边形.

11.证明:连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.又
∵AP=CQ,
∴AP+AO=CQ+CO,即PO=QO.
∴四边形PBQD是平行四边形.

【分析】
要证明四边形PBQD是平行四边形，结合已知条件中四边形ABCD是平行四边形，优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法解题。首先作辅助线连接BD交AC于点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得BO=DO、AO=CO，再结合已知AP=CQ，通过等式性质可推出PO=QO，即可得到四边形PBQD的对角线互相平分，完成证明。
【解析】
证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO。
又
∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO。
∵四边形PBQD的对角线BD、PQ互相平分，
∴四边形PBQD是平行四边形。
【答案】
证明:连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.又
∵AP=CQ,
∴AP+AO=CQ+CO,即PO=QO.
∴四边形PBQD是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，等式的性质
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础常考题，重点考查平行四边形性质和判定的综合应用，解题关键是结合图形特征合理作辅助线，选择简便的判定方法降低解题难度，掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12.已知:如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是边AD,BC上的一点,且$DE=BF$,连接AF,CE.求证:
(1)四边形AFCE是平行四边形.
(2)$∠ BAF=∠ DCE$.

12.证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD//BC,AD=BC.又
∵DE=BF.
∴AE=CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)
∵四边形EAFC是平行四边形,
∴∠EAF=∠ECF.又
∵在□ABCD中,
∠DAB=∠DCB,
∴∠BAF=∠DCE.

【分析】
(1)要证明四边形AFCE是平行四边形，首先结合已知的平行四边形ABCD，利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC，此时AE和CF已满足平行的关系，只需再证明AE=CF即可；已知DE=BF，通过AD-DE=BC-BF的运算即可得到AE=CF，结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可完成证明。
(2)要证明∠BAF=∠DCE，观察角的组成可知：∠BAF是∠DAB减去∠EAF所得，∠DCE是∠DCB减去∠ECF所得；根据平行四边形对角相等的性质，首先在□ABCD中可得∠DAB=∠DCB，再结合第(1)问证出的□AFCE可得∠EAF=∠ECF，两组相等的角相减差相等，即可推出要证的结论。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，
∵AE与CF平行且相等，
∴四边形AFCE是平行四边形。
(2)
∵四边形EAFC是平行四边形，
∴∠EAF=∠ECF，
又
∵在□ABCD中，
∠DAB=∠DCB，
∴∠DAB-∠EAF=∠DCB-∠ECF，即∠BAF=∠DCE。
【答案】
(1)已证四边形AFCE是平行四边形；
(2)已证∠BAF=∠DCE。
证明过程如下：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
又
∵DE=BF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
(2)
∵四边形EAFC是平行四边形，
∴∠EAF=∠ECF。
又
∵在□ABCD中，∠DAB=∠DCB，
∴∠BAF=∠DCE。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定、等量代换
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，重点考查平行四边形性质与判定的综合运用，解题时按照“由已知推导可证结论，由待证结论反推所需条件”的逻辑逐步推导即可，整体思路清晰，没有复杂的辅助线要求。
【难度系数】
0.7