登录
三、解答题(共65分)
8.(20分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点,直线$y=x+2$交$y$轴于点$A$,交$x$轴于点$B$,与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$在第一、三象限分别交于$C$,$D$两点,点$D$的纵坐标为$-2$,$AB=\dfrac{1}{2}BC$,连接$CO$,$DO$.
求:(1)$k$的值;
(2)$△ CDO$的面积.
8.(20分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点,直线$y=x+2$交$y$轴于点$A$,交$x$轴于点$B$,与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$在第一、三象限分别交于$C$,$D$两点,点$D$的纵坐标为$-2$,$AB=\dfrac{1}{2}BC$,连接$CO$,$DO$.
求:(1)$k$的值;
(2)$△ CDO$的面积.
答案
8.解:(1)在$y=x+2$中,令$x=0$,得$y=2$,
令$y=0$,得$x=-2$,
$\therefore A(0,2),B(-2,0).$
$\because AB=\dfrac{1}{2}BC,$
$\therefore A$为$BC$的中点,
$\therefore C(2,4).$
把点$C(2,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$4=\dfrac{k}{2}$,
解得$k=8.$
(2)$\because$点$D$的纵坐标为$-2$,$\therefore$将$y=-2$代入$y=\dfrac{8}{x}$,得
$-2=\dfrac{8}{x},\therefore x=-4,$
$\therefore D(-4,-2),$
$\therefore S_{△ DOC}=S_{△ DOB}+S_{△ COB}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=2+4=6,$
$\therefore△ CDO$的面积是$6.$
令$y=0$,得$x=-2$,
$\therefore A(0,2),B(-2,0).$
$\because AB=\dfrac{1}{2}BC,$
$\therefore A$为$BC$的中点,
$\therefore C(2,4).$
把点$C(2,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$4=\dfrac{k}{2}$,
解得$k=8.$
(2)$\because$点$D$的纵坐标为$-2$,$\therefore$将$y=-2$代入$y=\dfrac{8}{x}$,得
$-2=\dfrac{8}{x},\therefore x=-4,$
$\therefore D(-4,-2),$
$\therefore S_{△ DOC}=S_{△ DOB}+S_{△ COB}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=2+4=6,$
$\therefore△ CDO$的面积是$6.$
9. (20 分)(2025·苏州期末)某项研究表明:人的眼睛疲劳系数 y 与睡眠时间 t 之间成函数关系,它们之间的关系如图所示. 其中,当睡眠时间不超过 4 小时($0＜t≤4$)时,眼睛疲劳系数 y 是睡眠时间 t 的反比例函数; 当睡眠时间不少于 4 小时($4≤ t≤6$)时,眼睛疲劳系数 y 是睡眠时间 t的一次函数,且当睡眠时间达到 6 小时后,眼睛疲劳系数为 0. 根据图象,解答下列问题:
(1)当$0＜t≤4$时,求眼睛疲劳系数 y 关于睡眠时间 t 的函数表达式;
(2)如果某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了 3 小时,此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了 3,求 t 的值.
(1)当$0＜t≤4$时,求眼睛疲劳系数 y 关于睡眠时间 t 的函数表达式;
(2)如果某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了 3 小时,此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了 3,求 t 的值.
答案
9.解:(1)当$0＜t≤4$时,眼睛疲劳系数$y$是睡眠时间$t$的反比例函数,
设这个反比例函数为$y=\dfrac{k}{t}$,
$\because$反比例函数的图象经过点$(4,2)$,
$\therefore k=8$,
$\therefore$眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式$y=\dfrac{8}{t}$$(0＜t≤4).$
(2)根据题意,设当$4≤t≤6$时,眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式为$y=mt+b(m≠0).$
$\because$经过点$(4,2)$和$(6,0)$,
$\therefore \begin{cases}4m+b=2,\\6m+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\b=6,\end{cases}$
$\therefore$当睡眠时间不少于4小时,眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式是$y=-t+6.$
$\because$某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了3小时,此时眼睛疲劳系数恰好减少了3,
$\therefore \dfrac{8}{t}-[-(t+3)+6]=3$,
整理,得$t^2-6t+8=0$,
解得$t_1=2,t_2=4$,
经检验,$t_1=2,t_2=4$是原方程的解,$t_2=4$不符合题意舍去,
$\therefore t$的值是$2.$
设这个反比例函数为$y=\dfrac{k}{t}$,
$\because$反比例函数的图象经过点$(4,2)$,
$\therefore k=8$,
$\therefore$眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式$y=\dfrac{8}{t}$$(0＜t≤4).$
(2)根据题意,设当$4≤t≤6$时,眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式为$y=mt+b(m≠0).$
$\because$经过点$(4,2)$和$(6,0)$,
$\therefore \begin{cases}4m+b=2,\\6m+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\b=6,\end{cases}$
$\therefore$当睡眠时间不少于4小时,眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数表达式是$y=-t+6.$
$\because$某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了3小时,此时眼睛疲劳系数恰好减少了3,
$\therefore \dfrac{8}{t}-[-(t+3)+6]=3$,
整理,得$t^2-6t+8=0$,
解得$t_1=2,t_2=4$,
经检验,$t_1=2,t_2=4$是原方程的解,$t_2=4$不符合题意舍去,
$\therefore t$的值是$2.$
10. (25 分) 如图①,$A(-4,n),B(3,4)$是一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$的图象的两个交点,过点$D(t,0)(0＜t＜3)$作$x$轴的垂线,分别交双曲线$y_2=\dfrac{m}{x}$和直线$y_1=kx+b$于$P,Q$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接$AP,BP$,当$t$为何值时,$S_{△ BPQ}=\dfrac{1}{2}S_{△ APQ}$;
(3)如图②,以$PQ$为边在直线$PQ$的右侧作正方形$PQMN$,试说明:边$QM$与双曲线$y_2=\dfrac{m}{x}(x＞0)$始终有交点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接$AP,BP$,当$t$为何值时,$S_{△ BPQ}=\dfrac{1}{2}S_{△ APQ}$;
(3)如图②,以$PQ$为边在直线$PQ$的右侧作正方形$PQMN$,试说明:边$QM$与双曲线$y_2=\dfrac{m}{x}(x＞0)$始终有交点.
答案
10.解:(1)将$B(3,4)$代入$y_2=\dfrac{m}{x}$,得$m=3×4=12$,
$\therefore$反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{12}{x}.$
将$A(-4,n)$代入反比例函数表达式,得$n=-3$,
$\therefore A(-4,-3).$
$\because$直线$y_1=kx+b$过点$A$和点$B$,
$\therefore \begin{cases}-3=-4k+b,\\4=3k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=x+1.$
(2)$\because PQ⊥ x$轴,
$\therefore S_{△ BPQ}=\dfrac{1}{2}PQ· (x_B-x_D)=\dfrac{1}{2}PQ· (3-t),$
$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}PQ· (x_D-x_A)=\dfrac{1}{2}PQ· (t+4).$
又$\because S_{△ BPQ}=\dfrac{1}{2}S_{△ APQ},\therefore \dfrac{S_{△ BPQ}}{S_{△ APQ}}=\dfrac{1}{2},$
$\therefore \dfrac{\dfrac{1}{2}PQ×(3-t)}{\dfrac{1}{2}PQ×(t+4)}=\dfrac{1}{2},即\dfrac{3-t}{t+4}=\dfrac{1}{2},解得t=\dfrac{2}{3}.$
经检验,$t=\dfrac{2}{3}$是原方程的解且符合题意,
故$t$的值为$\dfrac{2}{3}.$
(3)设直线$QM$与双曲线交于点$C.$
根据题意可知,$P(t,\dfrac{12}{t}),Q(t,t+1),C(\dfrac{12}{t+1},t+1),$
$\therefore QM=PQ=\dfrac{12}{t}-t-1,QC=\dfrac{12}{t+1}-t,$
$\therefore QM-QC=\dfrac{12}{t}-t-1-(\dfrac{12}{t+1}-t)=\dfrac{12}{t(t+1)}-1.$
$\because 0＜t＜3,\therefore 0＜t(t+1)＜12,\therefore \dfrac{12}{t(t+1)}＞1,$
即$QM-QC＞0,\therefore QM＞QC$,即边$QM$与双曲线$y_2=\dfrac{m}{x}$始终有交点.
$\therefore$反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{12}{x}.$
将$A(-4,n)$代入反比例函数表达式,得$n=-3$,
$\therefore A(-4,-3).$
$\because$直线$y_1=kx+b$过点$A$和点$B$,
$\therefore \begin{cases}-3=-4k+b,\\4=3k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=x+1.$
(2)$\because PQ⊥ x$轴,
$\therefore S_{△ BPQ}=\dfrac{1}{2}PQ· (x_B-x_D)=\dfrac{1}{2}PQ· (3-t),$
$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}PQ· (x_D-x_A)=\dfrac{1}{2}PQ· (t+4).$
又$\because S_{△ BPQ}=\dfrac{1}{2}S_{△ APQ},\therefore \dfrac{S_{△ BPQ}}{S_{△ APQ}}=\dfrac{1}{2},$
$\therefore \dfrac{\dfrac{1}{2}PQ×(3-t)}{\dfrac{1}{2}PQ×(t+4)}=\dfrac{1}{2},即\dfrac{3-t}{t+4}=\dfrac{1}{2},解得t=\dfrac{2}{3}.$
经检验,$t=\dfrac{2}{3}$是原方程的解且符合题意,
故$t$的值为$\dfrac{2}{3}.$
(3)设直线$QM$与双曲线交于点$C.$
根据题意可知,$P(t,\dfrac{12}{t}),Q(t,t+1),C(\dfrac{12}{t+1},t+1),$
$\therefore QM=PQ=\dfrac{12}{t}-t-1,QC=\dfrac{12}{t+1}-t,$
$\therefore QM-QC=\dfrac{12}{t}-t-1-(\dfrac{12}{t+1}-t)=\dfrac{12}{t(t+1)}-1.$
$\because 0＜t＜3,\therefore 0＜t(t+1)＜12,\therefore \dfrac{12}{t(t+1)}＞1,$
即$QM-QC＞0,\therefore QM＞QC$,即边$QM$与双曲线$y_2=\dfrac{m}{x}$始终有交点.
