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二、拓展性作业
1. 三等分角仪能三等分任一角。它由两根有槽的棒 $OA$，$OB$ 组成（如图 5 - 2 - 6），两根棒在 $O$ 点相连并可绕 $O$ 转动，点 $C$ 固定，$OC = CD = DE$，点 $D$，$E$ 可在槽中滑动，若 $∠ BDE = 78°$，求 $∠ CDE$ 的度数。
1. 三等分角仪能三等分任一角。它由两根有槽的棒 $OA$，$OB$ 组成（如图 5 - 2 - 6），两根棒在 $O$ 点相连并可绕 $O$ 转动，点 $C$ 固定，$OC = CD = DE$，点 $D$，$E$ 可在槽中滑动，若 $∠ BDE = 78°$，求 $∠ CDE$ 的度数。
答案
1. 解：因为OC=CD=DE，
所以∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC。
又∠DCE=180°−∠OCD=180°−(180°−∠O−∠ODC)=∠O+∠ODC，
所以∠DCE=2∠ODC，
所以∠O+∠OED=3∠ODC=180°−∠ODE=180°−(180°−∠BDE)=∠BDE=78°，
所以∠ODC=26°。
因为∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=102°，
所以∠CDE=102°−∠ODC=76°。
所以∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC。
又∠DCE=180°−∠OCD=180°−(180°−∠O−∠ODC)=∠O+∠ODC，
所以∠DCE=2∠ODC，
所以∠O+∠OED=3∠ODC=180°−∠ODE=180°−(180°−∠BDE)=∠BDE=78°，
所以∠ODC=26°。
因为∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=102°，
所以∠CDE=102°−∠ODC=76°。
2. 如图 5 - 2 - 7，已知等腰三角形 $ABC$，$AB = AC$，$D$ 是边 $AB$ 上一点（不与点 $A$，$B$ 重合），$E$ 是线段 $CD$ 延长线上一点，$∠ BEC = ∠ BAC$。
(1)说明 $∠ EBA = ∠ DCA$ 的理由。
(2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点 $D$ 在运动的过程中，$∠ AEC$ 和 $∠ ABC$ 是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段 $CE$ 上取一点 $H$，使得 $CH = BE$，连接 $AH$，然后通过学过的知识就能得到 $∠ AEC$ 和 $∠ ABC$ 相等。你能否根据小丽同学的想法，说明 $∠ AEC = ∠ ABC$ 的理由？
(1)说明 $∠ EBA = ∠ DCA$ 的理由。
(2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点 $D$ 在运动的过程中，$∠ AEC$ 和 $∠ ABC$ 是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段 $CE$ 上取一点 $H$，使得 $CH = BE$，连接 $AH$，然后通过学过的知识就能得到 $∠ AEC$ 和 $∠ ABC$ 相等。你能否根据小丽同学的想法，说明 $∠ AEC = ∠ ABC$ 的理由？
答案
2. 解：（1）因为∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°，
所以∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+∠ADC+∠DCA。
又因为∠BEC=∠BAC，∠BDE=∠ADC，
所以∠EBA=∠DCA。
（2）在线段CE上取一点H，使得CH=BE，连接AH，如答图5-2-1所示：
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)。
由（1）可知：∠EBA=∠DCA。
在△ABE和△ACH中，
$\begin{cases}AB=AC，\\∠EBA=∠HCA，\\BE=CH，\end{cases}$
所以△ABE≌△ACH(SAS)，
所以AE=AH，∠BAE=∠CAH，
所以∠BAE+∠DAH=∠CAH+∠DAH，
即∠EAH=∠BAC。
因为AE=AH，
所以∠AEC=∠AHD=$\frac{1}{2}$(180°−∠EAH)=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)，
所以∠AEC=∠ABC。
3. 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”。
(1)如图 5 - 2 - 8①，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$∠ A = 36°$，$CD$ 平分 $∠ ACB$，请说明 $△ ABC$ 是“钻石三角形”。
(2)如图 5 - 2 - 8②，已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，$∠ C = 60°$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC$
(3)如图 5 - 2 - 8③，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 20°$，若存在过点 $C$ 的“钻石分割线”，使 $△ ABC$ 是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的 $∠ B$ 的度数。
(1)如图 5 - 2 - 8①，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$∠ A = 36°$，$CD$ 平分 $∠ ACB$，请说明 $△ ABC$ 是“钻石三角形”。
(2)如图 5 - 2 - 8②，已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，$∠ C = 60°$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC$
是
“钻石三角形”(填“是”或“不是”)。若是，其“钻石分割线”必过顶点B
(填“$A$”“$B$”或“$C$”)；若不是，请说明理由。(3)如图 5 - 2 - 8③，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 20°$，若存在过点 $C$ 的“钻石分割线”，使 $△ ABC$ 是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的 $∠ B$ 的度数。
答案
3. 解：（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
所以∠ABC=∠ACB=72°。
因为CD平分∠ACB，
所以∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°。
因为∠A=∠ACD=36°，
所以△ACD是等腰三角形。
因为∠A=∠ACD=36°，
所以∠BDC=180°−∠ADC=180°−(180°−∠A−∠ACD)=∠A+∠ACD=72°。
因为∠B=72°，
所以∠B=∠BDC，
所以△BDC是等腰三角形，
所以△ABC是“钻石三角形”。
（2）是 B 解析：如答图5-2-2，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则AD=BD，∠DBA=∠A。
又因为∠DBA+∠CBD=∠A+∠C=90°，
所以∠C=∠CBD，
所以CD=BD，
所以BD=CD=AD，
所以△BCD和△ABD都是等腰三角形，
所以Rt△ABC是“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B。
故答案为是，B。
（3）如答图5-2-3①，
当AD=CD时，∠ACD=∠A=20°，
所以∠CDB=180°−∠ADC=180°−(180°−∠A−∠ACD)=∠A+∠ACD=40°。
①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；
②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；
③当BD=BC时，∠B=180°−40°−40°=100°。
如答图5-2-3②，
当AC=AE，CE=BE时，
因为∠A=20°，
所以∠ACE=∠AEC=80°，
所以∠B=∠BCE=$\frac{1}{2}$[180°−(180°−80°)]=40°。
如答图5-2-3③，
当AC=CE，CE=BE时，
因为∠A=20°，
所以∠AEC=∠A=20°，
所以∠B=$\frac{1}{2}$[180°−(180°−20°)]=10°。
综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°。
