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4. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DC=AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则AD的长为
10
。答案
4. 10
解析
【分析】
解题时首先结合平行线的性质和角平分线的定义，推导得到两个等腰三角形，求出对应等线段的长度，再根据线段的和差关系计算AD的长。第一步：由AD//BC可得内错角相等，结合角平分线的定义，可证△ABF和△DCE均为等腰三角形，得到AF=AB、DE=DC；第二步：分析线段的重叠关系，AF与DE相加时，中间的EF被重复计算了1次，因此AD=AF+DE-EF，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB=6（等角对等边）。
同理，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
又
∵DC=AB=6，
∴DE=6。
观察线段和差关系：$AF + DE = (AE + EF) + (EF + FD) = AD + EF$，
∴$AD = AF + DE - EF = 6 + 6 - 2 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何基础计算题，核心考查“平行线+角平分线”的经典模型，该模型通常可推导出等腰三角形，再结合线段和差关系即可求解，熟练掌握这类常用模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行线的性质和角平分线的定义，推导得到两个等腰三角形，求出对应等线段的长度，再根据线段的和差关系计算AD的长。第一步：由AD//BC可得内错角相等，结合角平分线的定义，可证△ABF和△DCE均为等腰三角形，得到AF=AB、DE=DC；第二步：分析线段的重叠关系，AF与DE相加时，中间的EF被重复计算了1次，因此AD=AF+DE-EF，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB=6（等角对等边）。
同理，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
又
∵DC=AB=6，
∴DE=6。
观察线段和差关系：$AF + DE = (AE + EF) + (EF + FD) = AD + EF$，
∴$AD = AF + DE - EF = 6 + 6 - 2 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何基础计算题，核心考查“平行线+角平分线”的经典模型，该模型通常可推导出等腰三角形，再结合线段和差关系即可求解，熟练掌握这类常用模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知点 D 在射线 BC 上运动，∠ABC=40°，当∠A 的度数为
第5题图 第6题图
40°或70°或100°
时，△ABD 为等腰三角形.第5题图 第6题图
答案
5. 40°或70°或100°
解析
【分析】
本题未明确等腰△ABD的腰和底，需结合等腰三角形“等边对等角”的性质，分三种情况讨论求解：①AB=AD；②AB=BD；③AD=BD，再搭配三角形内角和为180°的定理，分别计算对应∠BAD的度数即可。
【解析】
△ABD为等腰三角形，分三类讨论：
1. 当AD=BD时，等腰三角形两底角相等，可得∠BAD=∠ABC=40°；
2. 当AB=BD时，等腰三角形两底角相等，可得∠BAD=∠ADB，结合三角形内角和：$∠ BAD=(180°-∠ ABC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
3. 当AB=AD时，等腰三角形两底角相等，可得∠ADB=∠ABC=40°，结合三角形内角和：$∠ BAD=180°-∠ ADB-∠ ABC=180°-40°-40°=100°$。
综上，∠A的度数为40°或70°或100°。
【答案】
40°或70°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形腰的不确定性，未分类讨论导致漏解，解题时要牢记等腰三角形未明确腰、底的情况需分类讨论，同时注意验证每种情况是否符合三角形的内角和规则。
【难度系数】
0.7
本题未明确等腰△ABD的腰和底，需结合等腰三角形“等边对等角”的性质，分三种情况讨论求解：①AB=AD；②AB=BD；③AD=BD，再搭配三角形内角和为180°的定理，分别计算对应∠BAD的度数即可。
【解析】
△ABD为等腰三角形，分三类讨论：
1. 当AD=BD时，等腰三角形两底角相等，可得∠BAD=∠ABC=40°；
2. 当AB=BD时，等腰三角形两底角相等，可得∠BAD=∠ADB，结合三角形内角和：$∠ BAD=(180°-∠ ABC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
3. 当AB=AD时，等腰三角形两底角相等，可得∠ADB=∠ABC=40°，结合三角形内角和：$∠ BAD=180°-∠ ADB-∠ ABC=180°-40°-40°=100°$。
综上，∠A的度数为40°或70°或100°。
【答案】
40°或70°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形腰的不确定性，未分类讨论导致漏解，解题时要牢记等腰三角形未明确腰、底的情况需分类讨论，同时注意验证每种情况是否符合三角形的内角和规则。
【难度系数】
0.7
6. 在如图的3×3正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数是
3
。答案
6. 3
解析
【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论：首先用勾股定理计算AB的长度，再分两类找符合条件的点C：①AB为等腰三角形的腰，分别以A、B为圆心、AB长为半径画弧，找与网格顶点的交点；②AB为等腰三角形的底边，作AB的垂直平分线，找线上的网格顶点。最后排除无法构成三角形的情况，统计点的总数即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
分两种情况讨论：
1. 若AB为等腰三角形的腰：
① 以A为圆心、AB长为半径画弧，与网格顶点的交点中，除点B外，符合条件的点C有1个；
② 以B为圆心、AB长为半径画弧，与网格顶点的交点中，除点A外，符合条件的点C有1个；
2. 若AB为等腰三角形的底边：
作AB的垂直平分线，与网格顶点的交点中，满足CA=CB的点C有1个。
综上，符合条件的点C总个数为$1+1+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形判定、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要注意按腰和底边分类讨论，结合网格特点寻找顶点，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论：首先用勾股定理计算AB的长度，再分两类找符合条件的点C：①AB为等腰三角形的腰，分别以A、B为圆心、AB长为半径画弧，找与网格顶点的交点；②AB为等腰三角形的底边，作AB的垂直平分线，找线上的网格顶点。最后排除无法构成三角形的情况，统计点的总数即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
分两种情况讨论：
1. 若AB为等腰三角形的腰：
① 以A为圆心、AB长为半径画弧，与网格顶点的交点中，除点B外，符合条件的点C有1个；
② 以B为圆心、AB长为半径画弧，与网格顶点的交点中，除点A外，符合条件的点C有1个；
2. 若AB为等腰三角形的底边：
作AB的垂直平分线，与网格顶点的交点中，满足CA=CB的点C有1个。
综上，符合条件的点C总个数为$1+1+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形判定、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要注意按腰和底边分类讨论，结合网格特点寻找顶点，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
7. 已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE//BC. 求证：△ABC是等腰三角形. 
答案
7. 证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C.
∵AE 是△ABC 外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC 是等腰三角形.
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C.
∵AE 是△ABC 外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，核心是证明该三角形的两个底角∠B=∠C。首先结合已知的AE//BC的条件，利用平行线的性质可以得到∠B与∠DAE、∠C与∠EAC的等量关系；再结合AE是外角平分线的性质，可得∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，最后利用等角对等边即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AE是△ABC外角∠DAC的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
【答案】
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C。
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是借助平行线的性质完成角的等量转化，结合角平分线的定义得到三角形两个内角相等，即可判定三角形为等腰三角形，熟练掌握相关基础定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，核心是证明该三角形的两个底角∠B=∠C。首先结合已知的AE//BC的条件，利用平行线的性质可以得到∠B与∠DAE、∠C与∠EAC的等量关系；再结合AE是外角平分线的性质，可得∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，最后利用等角对等边即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AE是△ABC外角∠DAC的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
【答案】
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C。
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是借助平行线的性质完成角的等量转化，结合角平分线的定义得到三角形两个内角相等，即可判定三角形为等腰三角形，熟练掌握相关基础定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
