登录
3. 计算：
(1) $(-4ab)^3$；
(2) $(-3ab^2c^3)^3$；
(3) $(-x^my^{3n})^2$；
(4) $(-\dfrac{2}{3}a^4b^3)^3$。
(1) $(-4ab)^3$；
(2) $(-3ab^2c^3)^3$；
(3) $(-x^my^{3n})^2$；
(4) $(-\dfrac{2}{3}a^4b^3)^3$。
答案
(1) $-64a^3b^3$ (2) $-27a^3b^6c^9$ (3) $x^{2m}y^{6n}$ (4) $-\dfrac{8}{27}a^{12}b^9$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方运算，解题核心是牢记两个运算法则：1. 积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数）；2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数）。解题时先处理系数的乘方，注意负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正），再依次计算每个字母的幂的乘方，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 计算$(-4ab)^3$：
根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方：
$(-4ab)^3=(-4)^3 · a^3 · b^3 = -64a^3b^3$
(2) 计算$(-3ab^2c^3)^3$：
根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(-3ab^2c^3)^3=(-3)^3 · a^3 · (b^2)^3 · (c^3)^3 = -27 · a^3 · b^{2×3} · c^{3×3} = -27a^3b^6c^9$
(3) 计算$(-x^my^{3n})^2$：
负数的偶次幂为正，结合运算法则：
$(-x^my^{3n})^2=(-1)^2 · (x^m)^2 · (y^{3n})^2 =1 · x^{m×2} · y^{3n×2} =x^{2m}y^{6n}$
(4) 计算$(-\dfrac{2}{3}a^4b^3)^3$：
根据运算法则分步计算：
$(-\dfrac{2}{3}a^4b^3)^3=(-\dfrac{2}{3})^3 · (a^4)^3 · (b^3)^3 = -\dfrac{2^3}{3^3} · a^{4×3} · b^{3×3} = -\dfrac{8}{27}a^{12}b^9$
【答案】
(1) $-64a^3b^3$ (2) $-27a^3b^6c^9$ (3) $x^{2m}y^{6n}$ (4) $-\dfrac{8}{27}a^{12}b^9$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，乘方符号判断
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方法则的掌握程度，解题时容易出现符号判断错误、指数运算混淆的问题，熟练掌握运算法则、细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的乘方与积的乘方运算，解题核心是牢记两个运算法则：1. 积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数）；2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数）。解题时先处理系数的乘方，注意负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正），再依次计算每个字母的幂的乘方，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 计算$(-4ab)^3$：
根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方：
$(-4ab)^3=(-4)^3 · a^3 · b^3 = -64a^3b^3$
(2) 计算$(-3ab^2c^3)^3$：
根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(-3ab^2c^3)^3=(-3)^3 · a^3 · (b^2)^3 · (c^3)^3 = -27 · a^3 · b^{2×3} · c^{3×3} = -27a^3b^6c^9$
(3) 计算$(-x^my^{3n})^2$：
负数的偶次幂为正，结合运算法则：
$(-x^my^{3n})^2=(-1)^2 · (x^m)^2 · (y^{3n})^2 =1 · x^{m×2} · y^{3n×2} =x^{2m}y^{6n}$
(4) 计算$(-\dfrac{2}{3}a^4b^3)^3$：
根据运算法则分步计算：
$(-\dfrac{2}{3}a^4b^3)^3=(-\dfrac{2}{3})^3 · (a^4)^3 · (b^3)^3 = -\dfrac{2^3}{3^3} · a^{4×3} · b^{3×3} = -\dfrac{8}{27}a^{12}b^9$
【答案】
(1) $-64a^3b^3$ (2) $-27a^3b^6c^9$ (3) $x^{2m}y^{6n}$ (4) $-\dfrac{8}{27}a^{12}b^9$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，乘方符号判断
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方法则的掌握程度，解题时容易出现符号判断错误、指数运算混淆的问题，熟练掌握运算法则、细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
4. 计算：
(1) $-4xy^2 · (xy^2)^2 · (-2x^2)^3$；
(2) $(-a^3b^6)^2 + (-a^2b^4)^3$。
(1) $-4xy^2 · (xy^2)^2 · (-2x^2)^3$；
(2) $(-a^3b^6)^2 + (-a^2b^4)^3$。
答案
4. (1) $32x^9y^6$ (2) 0
解析
【分析】
本题考查幂的运算法则在整式运算中的应用，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
(1) 第一题是单项式连乘运算，第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则计算两个乘方项，再根据单项式乘法法则，将系数、同底数幂分别相乘即可，计算时注意符号的处理。
(2) 第二题是整式的加法运算，先分别计算两个乘方项的结果，再判断是否为同类项，合并同类项得到最终结果，计算乘方时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
$\begin{aligned}原式&=-4xy^2 · x^2y^{4} · (-8x^6) \\&=[-4×1×(-8)]·x^{1+2+6}·y^{2+4} \\&=32x^9y^6\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个乘方项：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^2·(a^3)^2·(b^6)^2 + (-1)^3·(a^2)^3·(b^4)^3 \\&=a^6b^{12} - a^6b^{12} \\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $32x^9y^6$；(2) $0$
【知识点】
积的乘方、幂的乘方、整式运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，解题时要格外注意运算顺序和符号问题，尤其是负数乘方的符号判断，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算法则在整式运算中的应用，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
(1) 第一题是单项式连乘运算，第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则计算两个乘方项，再根据单项式乘法法则，将系数、同底数幂分别相乘即可，计算时注意符号的处理。
(2) 第二题是整式的加法运算，先分别计算两个乘方项的结果，再判断是否为同类项，合并同类项得到最终结果，计算乘方时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负。
【解析】
(1) 先计算乘方项：
$\begin{aligned}原式&=-4xy^2 · x^2y^{4} · (-8x^6) \\&=[-4×1×(-8)]·x^{1+2+6}·y^{2+4} \\&=32x^9y^6\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个乘方项：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^2·(a^3)^2·(b^6)^2 + (-1)^3·(a^2)^3·(b^4)^3 \\&=a^6b^{12} - a^6b^{12} \\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $32x^9y^6$；(2) $0$
【知识点】
积的乘方、幂的乘方、整式运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，解题时要格外注意运算顺序和符号问题，尤其是负数乘方的符号判断，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 填一填：$(\quad)^3=-27a^6b^9.$
答案
$-3a^2b^3$
解析
【分析】
这道题是求立方等于$-27a^6b^9$的单项式，解题核心是运用幂的乘方、积的乘方的逆运算推导：首先拆分目标式的各部分，先找立方等于常数项$-27$的数；再分别处理字母项，根据立方运算中指数乘3的规则，用现有指数除以3得到原单项式中对应字母的指数；最后把各部分组合起来，注意符号不要遗漏。
【解析】
设所求单项式为$M$，则$M^3=-27a^6b^9$。
1. 拆分各项：
常数项：$-27=(-3)^3$；
含$a$的项：根据幂的乘方逆运算$(x^m)^n=x^{mn}$，可得$a^6=a^{2×3}=(a^2)^3$；
含$b$的项：同理可得$b^9=b^{3×3}=(b^3)^3$。
2. 合并改写：
根据积的乘方逆运算$x^n y^n z^n=(xyz)^n$，将拆分后的项合并：
$-27a^6b^9=(-3)^3·(a^2)^3·(b^3)^3=(-3a^2b^3)^3$
因此$M^3=(-3a^2b^3)^3$，即$M=-3a^2b^3$。
【答案】
$-3a^2b^3$
【知识点】
幂的乘方的逆运算；积的乘方的逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对幂的运算法则的灵活运用，解题时注意分别拆分常数项和各字母项，重点关注符号和指数的计算，避免出现符号遗漏、指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
这道题是求立方等于$-27a^6b^9$的单项式，解题核心是运用幂的乘方、积的乘方的逆运算推导：首先拆分目标式的各部分，先找立方等于常数项$-27$的数；再分别处理字母项，根据立方运算中指数乘3的规则，用现有指数除以3得到原单项式中对应字母的指数；最后把各部分组合起来，注意符号不要遗漏。
【解析】
设所求单项式为$M$，则$M^3=-27a^6b^9$。
1. 拆分各项：
常数项：$-27=(-3)^3$；
含$a$的项：根据幂的乘方逆运算$(x^m)^n=x^{mn}$，可得$a^6=a^{2×3}=(a^2)^3$；
含$b$的项：同理可得$b^9=b^{3×3}=(b^3)^3$。
2. 合并改写：
根据积的乘方逆运算$x^n y^n z^n=(xyz)^n$，将拆分后的项合并：
$-27a^6b^9=(-3)^3·(a^2)^3·(b^3)^3=(-3a^2b^3)^3$
因此$M^3=(-3a^2b^3)^3$，即$M=-3a^2b^3$。
【答案】
$-3a^2b^3$
【知识点】
幂的乘方的逆运算；积的乘方的逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对幂的运算法则的灵活运用，解题时注意分别拆分常数项和各字母项，重点关注符号和指数的计算，避免出现符号遗漏、指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
2. 用简便方法计算：
(1) $2^{100} × ( \frac{1}{2} )^{101}$；
(2) $0.75^{2026} × ( -\frac{4}{3} )^{2027}$。
(1) $2^{100} × ( \frac{1}{2} )^{101}$；
(2) $0.75^{2026} × ( -\frac{4}{3} )^{2027}$。
答案
2. (1) 0.5 (2) $-\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
观察两道算式，均为两个幂相乘的形式，且底数互为倒数（或负倒数），可通过逆用积的乘方运算性质$a^n· b^n=(ab)^n$简化计算。解题思路如下：①先将指数较大的幂拆分为与另一个幂同指数的幂乘以剩余1次幂的形式；②将同指数的两个幂结合，逆用积的乘方公式计算；③最后计算剩余部分得到结果，计算时注意符号的处理。
【解析】
(1) 对$(\frac{1}{2})^{101}$拆分变形：
$\begin{aligned}2^{100} × ( \frac{1}{2} )^{101}&=2^{100} × ( \frac{1}{2} )^{100} × \frac{1}{2}\\&=(2× \frac{1}{2})^{100} × \frac{1}{2}\\&=1^{100} × \frac{1}{2}\\&=0.5\end{aligned}$
(2) 先把小数化分数，再对$(-\frac{4}{3})^{2027}$拆分变形：
$\begin{aligned}0.75^{2026} × ( -\frac{4}{3} )^{2027}&=(\frac{3}{4})^{2026} × ( -\frac{4}{3} )^{2026} × (-\frac{4}{3})\\&=[\frac{3}{4}× (-\frac{4}{3})]^{2026} × (-\frac{4}{3})\\&=(-1)^{2026} × (-\frac{4}{3})\\&=-\frac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$；(2) $\boxed{-\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 同底数幂的拆分
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算中典型的简便计算题型，核心考查积的乘方运算性质的灵活运用，解题的关键是观察底数的倒数关系，通过拆分不同指数的幂构造同指数幂，再逆用公式简化计算，计算时要注意负数乘方的符号规则。
【难度系数】
0.75
观察两道算式，均为两个幂相乘的形式，且底数互为倒数（或负倒数），可通过逆用积的乘方运算性质$a^n· b^n=(ab)^n$简化计算。解题思路如下：①先将指数较大的幂拆分为与另一个幂同指数的幂乘以剩余1次幂的形式；②将同指数的两个幂结合，逆用积的乘方公式计算；③最后计算剩余部分得到结果，计算时注意符号的处理。
【解析】
(1) 对$(\frac{1}{2})^{101}$拆分变形：
$\begin{aligned}2^{100} × ( \frac{1}{2} )^{101}&=2^{100} × ( \frac{1}{2} )^{100} × \frac{1}{2}\\&=(2× \frac{1}{2})^{100} × \frac{1}{2}\\&=1^{100} × \frac{1}{2}\\&=0.5\end{aligned}$
(2) 先把小数化分数，再对$(-\frac{4}{3})^{2027}$拆分变形：
$\begin{aligned}0.75^{2026} × ( -\frac{4}{3} )^{2027}&=(\frac{3}{4})^{2026} × ( -\frac{4}{3} )^{2026} × (-\frac{4}{3})\\&=[\frac{3}{4}× (-\frac{4}{3})]^{2026} × (-\frac{4}{3})\\&=(-1)^{2026} × (-\frac{4}{3})\\&=-\frac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$；(2) $\boxed{-\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 同底数幂的拆分
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算中典型的简便计算题型，核心考查积的乘方运算性质的灵活运用，解题的关键是观察底数的倒数关系，通过拆分不同指数的幂构造同指数幂，再逆用公式简化计算，计算时要注意负数乘方的符号规则。
【难度系数】
0.75
【例】计算：$(-3x^3)^3 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$.
【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键。
【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键。
答案
解：原式=$-27x^9-x^6-x^6=-27x^9-2x^6$
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题时先确定运算顺序：先算乘方运算，再算乘法运算，最后合并同类项。首先回忆幂的相关运算法则：1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。按顺序分别计算每一项，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：先分别计算各项：
1. 计算$(-3x^3)^3$：根据积的乘方与幂的乘方法则，$(-3x^3)^3=(-3)^3 · (x^3)^3=-27x^{3×3}=-27x^9$；
2. 计算$x^2 · x^4$：根据同底数幂的乘法法则，$x^2 · x^4=x^{2+4}=x^6$；
3. 计算$(x^2)^3$：根据幂的乘方法则，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$；
将各项代入原式合并同类项：
原式$=-27x^9 - x^6 - x^6 = -27x^9 - 2x^6$
【答案】
$-27x^9 - 2x^6$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考查幂的三类运算法则的熟练应用，解题时要注意负数乘方的符号判断，避免因符号出错或记错幂的运算指数规则失分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算题，解题时先确定运算顺序：先算乘方运算，再算乘法运算，最后合并同类项。首先回忆幂的相关运算法则：1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。按顺序分别计算每一项，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：先分别计算各项：
1. 计算$(-3x^3)^3$：根据积的乘方与幂的乘方法则，$(-3x^3)^3=(-3)^3 · (x^3)^3=-27x^{3×3}=-27x^9$；
2. 计算$x^2 · x^4$：根据同底数幂的乘法法则，$x^2 · x^4=x^{2+4}=x^6$；
3. 计算$(x^2)^3$：根据幂的乘方法则，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$；
将各项代入原式合并同类项：
原式$=-27x^9 - x^6 - x^6 = -27x^9 - 2x^6$
【答案】
$-27x^9 - 2x^6$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考查幂的三类运算法则的熟练应用，解题时要注意负数乘方的符号判断，避免因符号出错或记错幂的运算指数规则失分。
【难度系数】
0.8
