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8. 某同学为了测量碎玻璃和沙石的密度，用一个质量为1 kg的空桶装满水，测得桶和水的总质量为11 kg，再将1 kg的碎玻璃放入盛满水的水桶中，水溢出后测得剩余质量为11.6 kg。另取一个完全相同的空桶，在桶里装满沙石，测得桶和沙石的总质量为29 kg。已知$\rho_{水}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，下列说法错误的是（
A.沙石的密度比水的大
B.桶的容积是$0.01\ \mathrm{m}^3$
C.碎玻璃的密度为$2.5× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
D.沙石的密度小于$2.8× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
D
）。A.沙石的密度比水的大
B.桶的容积是$0.01\ \mathrm{m}^3$
C.碎玻璃的密度为$2.5× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
D.沙石的密度小于$2.8× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
答案
8. D 解析 桶的容积等于装满水时水的体积，故桶的容积$V=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{11\ \mathrm{kg}-1\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.01\ \mathrm{m}^3$。在桶里装满沙石，测得桶和沙石的总质量为29 kg，则沙石的质量$m_{\mathrm{沙石}}=29\ \mathrm{kg}-1\ \mathrm{kg}=28\ \mathrm{kg}$，沙石的体积等于桶的容积，则沙石的密度$\rho_{\mathrm{沙石}}=\frac{m_{\mathrm{沙石}}}{V_{\mathrm{沙石}}}=\frac{28\ \mathrm{kg}}{0.01\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，所以沙石的密度大于水的密度。碎玻璃的体积等于其排开水的体积，即$V_{\mathrm{玻璃}}=V_{\mathrm{排}}=\frac{m_{\mathrm{排}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{11\ \mathrm{kg}+1\ \mathrm{kg}-11.6\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，碎玻璃的密度$\rho_{\mathrm{玻璃}}=\frac{m_{\mathrm{玻璃}}}{V_{\mathrm{玻璃}}}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。因为沙石之间存在间隙，所以沙石的实际体积小于桶的容积，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，沙石的实际密度会大于$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
要解决这道题，需分步骤理清各物理量的关系：
1. 计算桶的容积：空桶装满水时，桶的容积等于水的体积，通过水的质量和密度可求出桶的容积；
2. 计算碎玻璃的密度：碎玻璃放入盛满水的桶中，溢出的水的体积等于碎玻璃的体积，先算出溢出水的质量，再求其体积（即碎玻璃体积），最后结合碎玻璃质量计算密度；
3. 分析沙石的密度：先算出沙石的质量，沙石体积等于桶的容积，但需注意沙石间存在间隙，实际体积小于桶容积，结合密度公式判断选项对错，最终选出错误选项。
【解析】
解：
① 计算桶的容积：
空桶质量$m_{桶}=1\ \mathrm{kg}$，桶和水总质量$m_{总1}=11\ \mathrm{kg}$，则水的质量$m_{水}=m_{总1}-m_{桶}=11\ \mathrm{kg}-1\ \mathrm{kg}=10\ \mathrm{kg}$；
桶的容积$V=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{10\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.01\ \mathrm{m}^3$，故选项B正确。
② 计算碎玻璃的密度：
放入碎玻璃后，溢出的水的质量$m_{溢}=m_{总1}+m_{玻璃}-m_{总2}=11\ \mathrm{kg}+1\ \mathrm{kg}-11.6\ \mathrm{kg}=0.4\ \mathrm{kg}$；
碎玻璃体积$V_{玻璃}=V_{溢}=\frac{m_{溢}}{\rho_{水}}=\frac{0.4\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
碎玻璃密度$\rho_{玻璃}=\frac{m_{玻璃}}{V_{玻璃}}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，故选项C正确。
③ 分析沙石的密度：
桶和沙石总质量$m_{总3}=29\ \mathrm{kg}$，则沙石质量$m_{沙石}=29\ \mathrm{kg}-1\ \mathrm{kg}=28\ \mathrm{kg}$；
若沙石体积等于桶容积，密度$\rho_{沙石}=\frac{m_{沙石}}{V}=\frac{28\ \mathrm{kg}}{0.01\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
但沙石间存在间隙，实际沙石体积小于桶容积，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，实际密度大于$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，故选项D错误；同时，水的密度为$1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，沙石密度大于$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，比水大，选项A正确。
综上，错误的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
密度的计算、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题是密度知识的综合应用题，核心是运用密度公式分析体积、质量、密度的关系，关键在于明确碎玻璃体积等于排开水的体积，以及沙石间存在间隙导致实际体积与桶容积的差异，易因忽略间隙误判选项，考查学生对密度概念的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分步骤理清各物理量的关系：
1. 计算桶的容积：空桶装满水时，桶的容积等于水的体积，通过水的质量和密度可求出桶的容积；
2. 计算碎玻璃的密度：碎玻璃放入盛满水的桶中，溢出的水的体积等于碎玻璃的体积，先算出溢出水的质量，再求其体积（即碎玻璃体积），最后结合碎玻璃质量计算密度；
3. 分析沙石的密度：先算出沙石的质量，沙石体积等于桶的容积，但需注意沙石间存在间隙，实际体积小于桶容积，结合密度公式判断选项对错，最终选出错误选项。
【解析】
解：
① 计算桶的容积：
空桶质量$m_{桶}=1\ \mathrm{kg}$，桶和水总质量$m_{总1}=11\ \mathrm{kg}$，则水的质量$m_{水}=m_{总1}-m_{桶}=11\ \mathrm{kg}-1\ \mathrm{kg}=10\ \mathrm{kg}$；
桶的容积$V=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{10\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.01\ \mathrm{m}^3$，故选项B正确。
② 计算碎玻璃的密度：
放入碎玻璃后，溢出的水的质量$m_{溢}=m_{总1}+m_{玻璃}-m_{总2}=11\ \mathrm{kg}+1\ \mathrm{kg}-11.6\ \mathrm{kg}=0.4\ \mathrm{kg}$；
碎玻璃体积$V_{玻璃}=V_{溢}=\frac{m_{溢}}{\rho_{水}}=\frac{0.4\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
碎玻璃密度$\rho_{玻璃}=\frac{m_{玻璃}}{V_{玻璃}}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，故选项C正确。
③ 分析沙石的密度：
桶和沙石总质量$m_{总3}=29\ \mathrm{kg}$，则沙石质量$m_{沙石}=29\ \mathrm{kg}-1\ \mathrm{kg}=28\ \mathrm{kg}$；
若沙石体积等于桶容积，密度$\rho_{沙石}=\frac{m_{沙石}}{V}=\frac{28\ \mathrm{kg}}{0.01\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
但沙石间存在间隙，实际沙石体积小于桶容积，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，实际密度大于$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，故选项D错误；同时，水的密度为$1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，沙石密度大于$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，比水大，选项A正确。
综上，错误的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
密度的计算、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题是密度知识的综合应用题，核心是运用密度公式分析体积、质量、密度的关系，关键在于明确碎玻璃体积等于排开水的体积，以及沙石间存在间隙导致实际体积与桶容积的差异，易因忽略间隙误判选项，考查学生对密度概念的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
9. 小州同学带来他在乒乓球比赛中获得的一枚金牌，想测量金牌的密度，发现金牌无法放入量筒中。同学们共同设计了如下测该金牌密度的实验方案：
①用天平测出金牌的质量$m$；
②将金牌浸没到装满水的溢水杯中，溢出的水流入质量为$m_1$的空烧杯中；
③测得烧杯和溢出水的总质量为$m_2$。
金牌密度的表达式$\rho=$
①用天平测出金牌的质量$m$；
②将金牌浸没到装满水的溢水杯中，溢出的水流入质量为$m_1$的空烧杯中；
③测得烧杯和溢出水的总质量为$m_2$。
金牌密度的表达式$\rho=$
$\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$
（水的密度为$\rho_{\mathrm{水}}$，用$m$、$m_1$、$m_2$、$\rho_{\mathrm{水}}$表示）。答案
9. $\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$
解析 由题意知，溢出水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_2 - m_1$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可知，溢出水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$。由于金牌浸没在水中，则其排出水的体积等于金牌的体积，即$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$。已知金牌的质量为$m$，由$\rho=\frac{m}{V}$可得，金牌密度$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{金}}}=\frac{m}{\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$。
解析 由题意知，溢出水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_2 - m_1$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可知，溢出水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$。由于金牌浸没在水中，则其排出水的体积等于金牌的体积，即$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$。已知金牌的质量为$m$，由$\rho=\frac{m}{V}$可得，金牌密度$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{金}}}=\frac{m}{\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$。
解析
【分析】
要计算金牌的密度，需先明确密度公式为$\rho=\frac{m}{V}$，因此需要确定金牌的质量和体积。已知金牌质量已测出为$m$，体积无法直接测量，故采用溢水法：金牌浸没在装满水的溢水杯中时，溢出的水的体积等于金牌的体积。先通过烧杯和溢出水的总质量与空烧杯质量的差得到溢出水的质量，再结合水的密度算出溢出水的体积（即金牌体积），最后代入密度公式即可推导金牌密度的表达式。
【解析】
1. 计算溢出水的质量：空烧杯质量为$m_1$，烧杯和溢出水的总质量为$m_2$，因此溢出水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_2 - m_1$；
2. 计算溢出水的体积：根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得溢出水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$；
3. 确定金牌体积：由于金牌浸没在水中，其体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$；
4. 推导金牌密度：将金牌质量$m$和体积$V_{\mathrm{金}}$代入密度公式，得金牌密度$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{金}}}=\frac{m}{\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$。
【答案】
$\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$
【知识点】
密度的测量、密度公式的应用、溢水法测体积
【点评】
本题利用溢水法解决了不规则物体体积无法直接测量的问题，结合密度公式推导密度表达式，是密度测量的典型变形题，考查学生对密度公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算金牌的密度，需先明确密度公式为$\rho=\frac{m}{V}$，因此需要确定金牌的质量和体积。已知金牌质量已测出为$m$，体积无法直接测量，故采用溢水法：金牌浸没在装满水的溢水杯中时，溢出的水的体积等于金牌的体积。先通过烧杯和溢出水的总质量与空烧杯质量的差得到溢出水的质量，再结合水的密度算出溢出水的体积（即金牌体积），最后代入密度公式即可推导金牌密度的表达式。
【解析】
1. 计算溢出水的质量：空烧杯质量为$m_1$，烧杯和溢出水的总质量为$m_2$，因此溢出水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_2 - m_1$；
2. 计算溢出水的体积：根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得溢出水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$；
3. 确定金牌体积：由于金牌浸没在水中，其体积等于溢出水的体积，即$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$；
4. 推导金牌密度：将金牌质量$m$和体积$V_{\mathrm{金}}$代入密度公式，得金牌密度$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{金}}}=\frac{m}{\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$。
【答案】
$\frac{m \rho_{\mathrm{水}}}{m_2 - m_1}$
【知识点】
密度的测量、密度公式的应用、溢水法测体积
【点评】
本题利用溢水法解决了不规则物体体积无法直接测量的问题，结合密度公式推导密度表达式，是密度测量的典型变形题，考查学生对密度公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
