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8.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B分别为切点，PO交圆于点C，若$∠ APB=60°$，$PC=6$，则AC的长为
$2\sqrt{3}$
。答案
8.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质和切线长定理，得到∠OAP=90°且∠APO=30°，再结合直角三角形30°角对应的直角边是斜边一半的性质，列方程求出圆的半径，最后通过角度关系推导得到AC与PA相等，计算PA的长度即可得到AC的长。
【解析】
连接OA，
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，$∠ APB=60°$，根据切线长定理，PO平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OC=r$，$OP=PC-OC=6-r$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，
∴$OA=\frac{1}{2}OP$，
即$r=\frac{1}{2}(6-r)$，解得$r=2$。
∴$OP=6-2=4$，在$Rt△ OAP$中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵在$Rt△ OAP$中，$∠ AOP=90°-∠ APO=60°$，
又
∵$OA=OC$，
∴$∠ OAC=∠ OCA$，
∵$∠ AOP$是$△ AOC$的外角，
∴$∠ AOP=∠ OAC+∠ OCA=2∠ OCA$，
∴$∠ OCA=30°$，即$∠ ACP=∠ APO=30°$，
∴$AC=PA=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，直角三角形性质，等腰三角形判定
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是连接切点与圆心构造直角三角形，结合切线长定理和特殊直角三角形的性质逐步推导边的关系，计算时要注意勾股定理的正确应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用切线的性质和切线长定理，得到∠OAP=90°且∠APO=30°，再结合直角三角形30°角对应的直角边是斜边一半的性质，列方程求出圆的半径，最后通过角度关系推导得到AC与PA相等，计算PA的长度即可得到AC的长。
【解析】
连接OA，
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，$∠ APB=60°$，根据切线长定理，PO平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OC=r$，$OP=PC-OC=6-r$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，
∴$OA=\frac{1}{2}OP$，
即$r=\frac{1}{2}(6-r)$，解得$r=2$。
∴$OP=6-2=4$，在$Rt△ OAP$中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵在$Rt△ OAP$中，$∠ AOP=90°-∠ APO=60°$，
又
∵$OA=OC$，
∴$∠ OAC=∠ OCA$，
∵$∠ AOP$是$△ AOC$的外角，
∴$∠ AOP=∠ OAC+∠ OCA=2∠ OCA$，
∴$∠ OCA=30°$，即$∠ ACP=∠ APO=30°$，
∴$AC=PA=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，直角三角形性质，等腰三角形判定
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是连接切点与圆心构造直角三角形，结合切线长定理和特殊直角三角形的性质逐步推导边的关系，计算时要注意勾股定理的正确应用。
【难度系数】
0.6
9.【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章。某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①。
【问题提出】
部件从正面看如图②所示，由于$ l $的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到$ l $的长度的方案，以检测该部件中$ l $的长度是否符合要求。
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法。
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）。
操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合。示意图如图④，$\odot O$分别与$ AC, AD $相切于点$ B, D $。用游标卡尺测量出$ CC' $的长度$ y $。
【问题解决】
已知$∠ CAD = ∠ C'A'D' = 60°$，$ l $的长度要求是1.9 cm～2.1 cm。
(1)求$∠ BAO$的度数；
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得$ y = 7.52 $ cm。根据以上信息，通过计算说明该部件$ l $的长度是否符合要求。
（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由。
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章。某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①。
【问题提出】
部件从正面看如图②所示，由于$ l $的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到$ l $的长度的方案，以检测该部件中$ l $的长度是否符合要求。
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法。
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）。
操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合。示意图如图④，$\odot O$分别与$ AC, AD $相切于点$ B, D $。用游标卡尺测量出$ CC' $的长度$ y $。
【问题解决】
已知$∠ CAD = ∠ C'A'D' = 60°$，$ l $的长度要求是1.9 cm～2.1 cm。
(1)求$∠ BAO$的度数；
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得$ y = 7.52 $ cm。根据以上信息，通过计算说明该部件$ l $的长度是否符合要求。
（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由。
答案
9.解:(1)因为$\odot O$分别与$AC$,$AD$相切于点$B$,$D$,
所以$AB=AD$,$∠ OAB=∠ OAD=\frac{1}{2}∠ CAD=30°$。
(2)因为钢柱的底面圆半径为1 cm,
所以$BC=OB=1\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ OAB=30°$,$∠ OBA=90°$,
所以$AB=\frac{OB}{\tan 30°}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
所以$AC=BC+AB=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
同理$A'C'=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$,
所以$l=7.52-2(1+\sqrt{3})\approx2.06(\mathrm{cm})$。
因为$1.9＜2.06＜2.1$,
该部件$l$的长度符合要求。
(3)能,将圆柱换成正方体(答案不唯一)。
所以$AB=AD$,$∠ OAB=∠ OAD=\frac{1}{2}∠ CAD=30°$。
(2)因为钢柱的底面圆半径为1 cm,
所以$BC=OB=1\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ OAB=30°$,$∠ OBA=90°$,
所以$AB=\frac{OB}{\tan 30°}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
所以$AC=BC+AB=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
同理$A'C'=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$,
所以$l=7.52-2(1+\sqrt{3})\approx2.06(\mathrm{cm})$。
因为$1.9＜2.06＜2.1$,
该部件$l$的长度符合要求。
(3)能,将圆柱换成正方体(答案不唯一)。
解析
【分析】
(1) 已知圆与∠CAD的两边相切，根据切线长定理可知圆心O在∠CAD的角平分线上，因此AO平分∠CAD，直接平分已知角度即可求出∠BAO的度数。
(2) 先根据切线的性质得到OB⊥AC，即△OBA是含30°角的直角三角形，已知半径OB的长度，利用正切函数求出AB的长度，再结合钢柱半径得到AC的长度，同理得到另一侧A'C'的长度，根据总长度y=AC+l+A'C'变形求出l的数值，最后和要求的长度范围比较判断是否合格。
(3) 只要选择的几何体能和角的两边紧密贴合，且有确定的可计算的边长就可以替换，比如正方体等。
【解析】
(1)
∵$\odot O$分别与$AC$、$AD$相切于点$B$、$D$，根据切线长定理可得$AO$平分$∠CAD$，
∴$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ CAD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)
∵$OB$是$\odot O$的半径，$AC$是$\odot O$的切线，
∴$OB⊥ AC$，即$∠ OBA=90°$，
已知钢柱底面半径$OB=1\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=30°$，
∴$\tan∠ BAO=\frac{OB}{AB}$，即$AB=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
由钢柱结构可知$BC=OB=1\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=AB+BC=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，
同理可得另一侧$A'C'=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，
由图可知$y=AC+l+A'C'$，
∴$l=y-2(1+\sqrt{3})\approx7.52-2×(1+1.73)=2.06\ \mathrm{cm}$，
∵$1.9＜2.06＜2.1$，
∴该部件$l$的长度符合要求。
(3) 能，可将圆柱换成正方体（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $∠ BAO=30°$；
(2) 该部件$l$的长度约为2.06cm，符合要求；
(3) 能，可换成正方体（答案不唯一）。
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合航天热点背景设置问题，将实际测量问题转化为数学几何问题，既考查了圆的切线相关性质的应用，也考查了解直角三角形的计算能力，同时体现了转化思想在实际问题中的应用，引导学生学会用数学知识解决生活中的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知圆与∠CAD的两边相切，根据切线长定理可知圆心O在∠CAD的角平分线上，因此AO平分∠CAD，直接平分已知角度即可求出∠BAO的度数。
(2) 先根据切线的性质得到OB⊥AC，即△OBA是含30°角的直角三角形，已知半径OB的长度，利用正切函数求出AB的长度，再结合钢柱半径得到AC的长度，同理得到另一侧A'C'的长度，根据总长度y=AC+l+A'C'变形求出l的数值，最后和要求的长度范围比较判断是否合格。
(3) 只要选择的几何体能和角的两边紧密贴合，且有确定的可计算的边长就可以替换，比如正方体等。
【解析】
(1)
∵$\odot O$分别与$AC$、$AD$相切于点$B$、$D$，根据切线长定理可得$AO$平分$∠CAD$，
∴$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ CAD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)
∵$OB$是$\odot O$的半径，$AC$是$\odot O$的切线，
∴$OB⊥ AC$，即$∠ OBA=90°$，
已知钢柱底面半径$OB=1\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=30°$，
∴$\tan∠ BAO=\frac{OB}{AB}$，即$AB=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
由钢柱结构可知$BC=OB=1\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=AB+BC=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，
同理可得另一侧$A'C'=(1+\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，
由图可知$y=AC+l+A'C'$，
∴$l=y-2(1+\sqrt{3})\approx7.52-2×(1+1.73)=2.06\ \mathrm{cm}$，
∵$1.9＜2.06＜2.1$，
∴该部件$l$的长度符合要求。
(3) 能，可将圆柱换成正方体（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $∠ BAO=30°$；
(2) 该部件$l$的长度约为2.06cm，符合要求；
(3) 能，可换成正方体（答案不唯一）。
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合航天热点背景设置问题，将实际测量问题转化为数学几何问题，既考查了圆的切线相关性质的应用，也考查了解直角三角形的计算能力，同时体现了转化思想在实际问题中的应用，引导学生学会用数学知识解决生活中的问题。
【难度系数】
0.7
10.生活中有多种易操作的测量光盘直径的方法。比如使用游标卡尺测量,直接读取卡尺显示的数值,即为直径;还可以选用缠绕法,用细线紧密贴合光盘最外圈缠绕一周,标记起点和终点,拉直细线,用直尺测量两标记间长度(即周长),按
周长公式反推直径。我们是否可以利用直尺和两把三角尺,测量一张光盘的直径呢?
【实践课题】利用直尺和两把三角尺,测量一张光盘的直径。
【实践工具】直尺、两把三角尺(含有30度角和45度角)。
【实践活动】
(1)如何利用工具找到光盘的圆心O,说说你的一种方案和依据;
(2)活动一:让直尺经过圆心O,读取两个刻度后,计算差值就是光盘的直径,但存在误差;
活动二:把直尺、光盘、两把三角尺($∠ CAF=45°,∠ DBG=60°$)按如图所示放置于桌面上,使得两个三角板与圆相切,切点分别为C,D,同时光盘与直尺相切于点E,连接OA,OB,OC,OD,OE,恰好量出AB为6 cm,求这张光盘的直径。(结果保留整数)(参考数据:$\sin 67.5°\approx0.9,\cos 67.5°\approx0.4,\tan 67.5°\approx2.4,\sqrt{3}\approx1.7$)
周长公式反推直径。我们是否可以利用直尺和两把三角尺,测量一张光盘的直径呢?
【实践课题】利用直尺和两把三角尺,测量一张光盘的直径。
【实践工具】直尺、两把三角尺(含有30度角和45度角)。
【实践活动】
(1)如何利用工具找到光盘的圆心O,说说你的一种方案和依据;
(2)活动一:让直尺经过圆心O,读取两个刻度后,计算差值就是光盘的直径,但存在误差;
活动二:把直尺、光盘、两把三角尺($∠ CAF=45°,∠ DBG=60°$)按如图所示放置于桌面上,使得两个三角板与圆相切,切点分别为C,D,同时光盘与直尺相切于点E,连接OA,OB,OC,OD,OE,恰好量出AB为6 cm,求这张光盘的直径。(结果保留整数)(参考数据:$\sin 67.5°\approx0.9,\cos 67.5°\approx0.4,\tan 67.5°\approx2.4,\sqrt{3}\approx1.7$)
答案
10.解:(1)将三角板如图摆放,让两条斜边都与圆相切,过切点$M$,$N$画出与斜边垂直的直线,根据圆的切线垂直于过切点的半径,两条垂线的交点即是圆心。
(2)因为$AB=6$,点$C$,$D$,$E$分别为切点,
所以根据切线长定理得$∠ CAO=∠ EAO=(180°-45°)÷2=67.5°$,$∠ EBO=∠ DBO=(180°-60°)÷2=60°$。
设$EA=x$,则$EB=6-x$,
因为$\tan∠ EAO=\frac{OE}{AE}$,$\tan∠ EBO=\frac{OE}{EB}$,
所以$OE=2.4x=1.7(6-x)$。
解得$x\approx2.49$。
所以$OE\approx5.976$。
所以$2OE\approx12$。
所以这张光盘的直径约为12 cm。
解析
【分析】
（1）找圆心思路：根据圆的切线垂直于过切点的半径的性质，只要作出两条过切点且垂直于切线的直线，两条直线的交点就是圆心。我们可以用两个三角尺的斜边作为光盘的切线，分别过切点作斜边的垂线，交点即为圆心。
（2）求直径思路：首先利用切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，据此算出∠OAE和∠OBE的度数；再设AE=x，EB=6-x，在两个直角三角形中分别用正切函数表示公共边OE（即圆的半径），建立方程求解x，进而求出半径，半径乘2即可得到光盘直径。
【解析】
(1) 方案：将三角板按图摆放，让两条斜边都与圆相切，过切点$M$、$N$分别画出与斜边垂直的直线，两条垂线的交点即为圆心$O$。
依据：圆的切线垂直于过切点的半径，因此两条过切点的垂线都是半径所在的直线，交点就是圆心。
(2) 已知$AB=6\mathrm{cm}$，点$C$、$D$、$E$均为圆的切点：
① 根据切线长定理可得：
$∠ CAO=∠ EAO=(180°-45°)÷2=67.5°$，
$∠ EBO=∠ DBO=(180°-60°)÷2=60°$。
② 设$EA=x\mathrm{cm}$，则$EB=(6-x)\mathrm{cm}$，设圆的半径$OE=r$：
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$\tan∠ EAO=\frac{OE}{AE}$，因此$r=2.4x$；
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$\tan∠ EBO=\frac{OE}{EB}$，因此$r=1.7(6-x)$。
③ 联立方程得$2.4x=1.7(6-x)$，
解方程：$2.4x=10.2-1.7x$，$4.1x=10.2$，解得$x\approx2.49$。
代入得$r\approx2.4×2.49\approx5.976\mathrm{cm}$，
因此光盘直径为$2r\approx2×5.976\approx12\mathrm{cm}$。
【答案】
10.解:(1)将三角板如图摆放,让两条斜边都与圆相切,过切点$M$,$N$画出与斜边垂直的直线,根据圆的切线垂直于过切点的半径,两条垂线的交点即是圆心。
(2)因为$AB=6$,点$C$,$D$,$E$分别为切点,
所以根据切线长定理得$∠ CAO=∠ EAO=(180°-45°)÷2=67.5°$,$∠ EBO=∠ DBO=(180°-60°)÷2=60°$。
设$EA=x$,则$EB=6-x$,
因为$\tan∠ EAO=\frac{OE}{AE}$,$\tan∠ EBO=\frac{OE}{EB}$,
所以$OE=2.4x=1.7(6-x)$。
解得$x\approx2.49$。
所以$OE\approx5.976$。
所以$2OE\approx12$。
所以这张光盘的直径约为12 cm。
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题以生活中测量光盘直径的实践活动为背景，将圆的切线相关性质和解直角三角形的知识结合考查，既检验了基础定理的掌握程度，又引导学生学会将实际问题转化为数学问题，注重理论与实践的结合。
【难度系数】
0.6
（1）找圆心思路：根据圆的切线垂直于过切点的半径的性质，只要作出两条过切点且垂直于切线的直线，两条直线的交点就是圆心。我们可以用两个三角尺的斜边作为光盘的切线，分别过切点作斜边的垂线，交点即为圆心。
（2）求直径思路：首先利用切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，据此算出∠OAE和∠OBE的度数；再设AE=x，EB=6-x，在两个直角三角形中分别用正切函数表示公共边OE（即圆的半径），建立方程求解x，进而求出半径，半径乘2即可得到光盘直径。
【解析】
(1) 方案：将三角板按图摆放，让两条斜边都与圆相切，过切点$M$、$N$分别画出与斜边垂直的直线，两条垂线的交点即为圆心$O$。
依据：圆的切线垂直于过切点的半径，因此两条过切点的垂线都是半径所在的直线，交点就是圆心。
(2) 已知$AB=6\mathrm{cm}$，点$C$、$D$、$E$均为圆的切点：
① 根据切线长定理可得：
$∠ CAO=∠ EAO=(180°-45°)÷2=67.5°$，
$∠ EBO=∠ DBO=(180°-60°)÷2=60°$。
② 设$EA=x\mathrm{cm}$，则$EB=(6-x)\mathrm{cm}$，设圆的半径$OE=r$：
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$\tan∠ EAO=\frac{OE}{AE}$，因此$r=2.4x$；
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$\tan∠ EBO=\frac{OE}{EB}$，因此$r=1.7(6-x)$。
③ 联立方程得$2.4x=1.7(6-x)$，
解方程：$2.4x=10.2-1.7x$，$4.1x=10.2$，解得$x\approx2.49$。
代入得$r\approx2.4×2.49\approx5.976\mathrm{cm}$，
因此光盘直径为$2r\approx2×5.976\approx12\mathrm{cm}$。
【答案】
10.解:(1)将三角板如图摆放,让两条斜边都与圆相切,过切点$M$,$N$画出与斜边垂直的直线,根据圆的切线垂直于过切点的半径,两条垂线的交点即是圆心。
(2)因为$AB=6$,点$C$,$D$,$E$分别为切点,
所以根据切线长定理得$∠ CAO=∠ EAO=(180°-45°)÷2=67.5°$,$∠ EBO=∠ DBO=(180°-60°)÷2=60°$。
设$EA=x$,则$EB=6-x$,
因为$\tan∠ EAO=\frac{OE}{AE}$,$\tan∠ EBO=\frac{OE}{EB}$,
所以$OE=2.4x=1.7(6-x)$。
解得$x\approx2.49$。
所以$OE\approx5.976$。
所以$2OE\approx12$。
所以这张光盘的直径约为12 cm。
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题以生活中测量光盘直径的实践活动为背景，将圆的切线相关性质和解直角三角形的知识结合考查，既检验了基础定理的掌握程度，又引导学生学会将实际问题转化为数学问题，注重理论与实践的结合。
【难度系数】
0.6
