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10.七年级学生在5名教师的带领下去动物园秋游，动物园的门票为每人40元。现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按八折收费；乙方案：师生都按七五折收费。
(1)若有m名学生，用含m的式子表示两种优惠方案各需多少元。
(2)当m=70时，采用哪种方案更优惠？
(3)当m=100时，采用哪种方案更优惠？
(1)若有m名学生，用含m的式子表示两种优惠方案各需多少元。
(2)当m=70时，采用哪种方案更优惠？
(3)当m=100时，采用哪种方案更优惠？
答案
10.解:(1)甲方案:$m×40×0.8=32m$(元),
乙方案:$(m+5)×40×0.75=30(m+5)$(元)。
(2)当$m=70$时,
按甲方案需付费$32×70=2240$(元),
按乙方案需付费$30×75=2250$(元),
所以采用甲方案更优惠。
(3)当$m=100$时,
按甲方案需付费$32×100=3200$(元),
按乙方案需付费$30×105=3150$(元),
所以采用乙方案更优惠。
乙方案:$(m+5)×40×0.75=30(m+5)$(元)。
(2)当$m=70$时,
按甲方案需付费$32×70=2240$(元),
按乙方案需付费$30×75=2250$(元),
所以采用甲方案更优惠。
(3)当$m=100$时,
按甲方案需付费$32×100=3200$(元),
按乙方案需付费$30×105=3150$(元),
所以采用乙方案更优惠。
解析
【分析】
解题时先明确两种优惠方案的收费规则：(1)列代数式阶段，甲方案仅学生付费，按门票原价的8折计算，总费用由学生人数、原价、折扣三者相乘得到；乙方案师生共同付费，按原价的7.5折计算，总人数为学生人数加教师人数，再与原价、折扣相乘即可。(2)(3)问为方案优惠对比，只需将给定的学生人数分别代入两个代数式算出具体费用，比较数值大小，费用更低的方案更优惠。
【解析】
(1) 甲方案：带队教师免费，学生按八折收费，总费用为：
$m×40×0.8=32m$（元）
乙方案：师生共$(m+5)$人，都按七五折收费，总费用为：
$(m+5)×40×0.75=30(m+5)$（元）
(2) 当$m=70$时：
甲方案费用：$32×70=2240$（元）
乙方案费用：$30×(70+5)=30×75=2250$（元）
因为$2240＜2250$，所以甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时：
甲方案费用：$32×100=3200$（元）
乙方案费用：$30×(100+5)=30×105=3150$（元）
因为$3200＞3150$，所以乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案：$32m$元，乙方案：$30(m+5)$元；
(2) 当$m=70$时，采用甲方案更优惠；
(3) 当$m=100$时，采用乙方案更优惠。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题是生活中常见的优惠方案类应用题，解题核心是准确理解优惠规则，正确列出对应费用的代数式，代入数值计算后对比大小即可，审题时注意区分两种方案的收费对象，避免漏算教师人数。
【难度系数】
0.85
解题时先明确两种优惠方案的收费规则：(1)列代数式阶段，甲方案仅学生付费，按门票原价的8折计算，总费用由学生人数、原价、折扣三者相乘得到；乙方案师生共同付费，按原价的7.5折计算，总人数为学生人数加教师人数，再与原价、折扣相乘即可。(2)(3)问为方案优惠对比，只需将给定的学生人数分别代入两个代数式算出具体费用，比较数值大小，费用更低的方案更优惠。
【解析】
(1) 甲方案：带队教师免费，学生按八折收费，总费用为：
$m×40×0.8=32m$（元）
乙方案：师生共$(m+5)$人，都按七五折收费，总费用为：
$(m+5)×40×0.75=30(m+5)$（元）
(2) 当$m=70$时：
甲方案费用：$32×70=2240$（元）
乙方案费用：$30×(70+5)=30×75=2250$（元）
因为$2240＜2250$，所以甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时：
甲方案费用：$32×100=3200$（元）
乙方案费用：$30×(100+5)=30×105=3150$（元）
因为$3200＞3150$，所以乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案：$32m$元，乙方案：$30(m+5)$元；
(2) 当$m=70$时，采用甲方案更优惠；
(3) 当$m=100$时，采用乙方案更优惠。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题是生活中常见的优惠方案类应用题，解题核心是准确理解优惠规则，正确列出对应费用的代数式，代入数值计算后对比大小即可，审题时注意区分两种方案的收费对象，避免漏算教师人数。
【难度系数】
0.85
11. 图①是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方法拼成一个边长为$m+n$的正方形。
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积。
方法一：
方法二：
(2)观察图②，写出$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$三个代数式之间的等量关系：
(3)根据(2)中你发现的等量关系，解决如下问题：若$a+b=9,ab=5$，求$(a-b)^2$的值。
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积。
方法一：
$(m+n)^2-4mn$
；方法二：
$(m-n)^2$
。(2)观察图②，写出$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$三个代数式之间的等量关系：
$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
。(3)根据(2)中你发现的等量关系，解决如下问题：若$a+b=9,ab=5$，求$(a-b)^2$的值。
答案
11.解:(1)$(m+n)^2-4mn$ $(m-n)^2$
(2)$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
(3)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=9^2-4×5=81-20=61$。
(2)$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
(3)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=9^2-4×5=81-20=61$。
解析
【分析】
(1)求阴影部分面积可从两个角度思考：方法一，先计算边长为$(m+n)$的大正方形总面积，再减去4个小长方形的总面积，即可得到阴影部分的面积；方法二，观察可知阴影部分是正方形，先确定其边长为$m-n$，直接用正方形面积公式计算即可。
(2)两种方法计算的是同一个阴影部分的面积，结果相等，据此可得到三个代数式的等量关系。
(3)将(2)得到的等量关系中的$m、n$替换为$a、b$，再把$a+b=9、ab=5$代入公式计算，即可求出$(a-b)^2$的值。
【解析】
(1)方法一：大正方形的面积为$(m+n)^2$，4个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去4个小长方形面积，即$(m+n)^2-4mn$；
方法二：阴影部分为正方形，边长为$m-n$，根据正方形面积公式可得阴影部分面积为$(m-n)^2$。
(2)两种方法表示的是同一阴影部分的面积，因此二者相等，可得等量关系：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$。
(3)根据(2)的等量关系可得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入$a+b=9$，$ab=5$计算：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=9^2-4×5\\&=81-20\\&=61\end{aligned}$
【答案】
(1) $(m+n)^2-4mn$；$(m-n)^2$
(2) $(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
(3) $61$
【知识点】
完全平方公式的几何意义，代数式求值，图形面积计算
【点评】
本题借助几何图形面积推导完全平方公式的变形关系，再利用所得关系解决代数求值问题，考查了数形结合的思想，要求学生能灵活对完全平方公式进行变形应用。
【难度系数】
0.7
(1)求阴影部分面积可从两个角度思考：方法一，先计算边长为$(m+n)$的大正方形总面积，再减去4个小长方形的总面积，即可得到阴影部分的面积；方法二，观察可知阴影部分是正方形，先确定其边长为$m-n$，直接用正方形面积公式计算即可。
(2)两种方法计算的是同一个阴影部分的面积，结果相等，据此可得到三个代数式的等量关系。
(3)将(2)得到的等量关系中的$m、n$替换为$a、b$，再把$a+b=9、ab=5$代入公式计算，即可求出$(a-b)^2$的值。
【解析】
(1)方法一：大正方形的面积为$(m+n)^2$，4个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去4个小长方形面积，即$(m+n)^2-4mn$；
方法二：阴影部分为正方形，边长为$m-n$，根据正方形面积公式可得阴影部分面积为$(m-n)^2$。
(2)两种方法表示的是同一阴影部分的面积，因此二者相等，可得等量关系：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$。
(3)根据(2)的等量关系可得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入$a+b=9$，$ab=5$计算：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=9^2-4×5\\&=81-20\\&=61\end{aligned}$
【答案】
(1) $(m+n)^2-4mn$；$(m-n)^2$
(2) $(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
(3) $61$
【知识点】
完全平方公式的几何意义，代数式求值，图形面积计算
【点评】
本题借助几何图形面积推导完全平方公式的变形关系，再利用所得关系解决代数求值问题，考查了数形结合的思想，要求学生能灵活对完全平方公式进行变形应用。
【难度系数】
0.7
