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9. 如图,某人驱车从离A地10 km的P地出发,向B地匀速行驶,30 min后离P地50 km,设出发$x$ h后,汽车离A地$y$ km(未到达B地前),则$y$与$x$之间的关系式为(
A.$y=50x$
B.$y=100x$
C.$y=50x-10$
D.$y=100x+10$
D
)。A.$y=50x$
B.$y=100x$
C.$y=50x-10$
D.$y=100x+10$
答案
9.D
解析
【分析】
要解这道题，首先需要先求出汽车的行驶速度，再理清离A地的距离的构成：出发地P本身离A地10km，之后汽车匀速行驶，x小时行驶的路程加上初始的10km，就是x小时后离A地的距离y。解题时先统一时间单位，将30分钟换算为0.5小时，用行驶的50km除以对应时间得到速度，再根据“总距离=初始距离+行驶路程”的等量关系，即可列出y与x的关系式。
【解析】
首先统一单位：$ 30\ \mathrm{min} = 0.5\ \mathrm{h} $。
1. 计算汽车行驶速度：根据行程公式$ \mathrm{速度}=\mathrm{路程}÷\mathrm{时间} $，可得$ v = 50÷0.5 = 100\ \mathrm{km/h} $。
2. 列函数关系式：出发x小时后，汽车行驶的路程为$ 100x\ \mathrm{km} $，加上P地到A地的初始距离10km，可得离A地的距离$ y = 100x + 10 $。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；行程问题公式；列函数关系式
【点评】
本题考查一次函数在行程问题中的实际应用，解题核心是先求出行驶速度，明确所求距离的组成部分，计算时注意时间单位要统一，属于基础类题目，掌握行程基本公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要先求出汽车的行驶速度，再理清离A地的距离的构成：出发地P本身离A地10km，之后汽车匀速行驶，x小时行驶的路程加上初始的10km，就是x小时后离A地的距离y。解题时先统一时间单位，将30分钟换算为0.5小时，用行驶的50km除以对应时间得到速度，再根据“总距离=初始距离+行驶路程”的等量关系，即可列出y与x的关系式。
【解析】
首先统一单位：$ 30\ \mathrm{min} = 0.5\ \mathrm{h} $。
1. 计算汽车行驶速度：根据行程公式$ \mathrm{速度}=\mathrm{路程}÷\mathrm{时间} $，可得$ v = 50÷0.5 = 100\ \mathrm{km/h} $。
2. 列函数关系式：出发x小时后，汽车行驶的路程为$ 100x\ \mathrm{km} $，加上P地到A地的初始距离10km，可得离A地的距离$ y = 100x + 10 $。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；行程问题公式；列函数关系式
【点评】
本题考查一次函数在行程问题中的实际应用，解题核心是先求出行驶速度，明确所求距离的组成部分，计算时注意时间单位要统一，属于基础类题目，掌握行程基本公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10. 一根蜡烛长 20 cm，每分钟燃烧的长度是2 cm，蜡烛剩余长度 y(cm)与燃烧时间 x(min)之间的关系式为
$y=20-2x$
。（不需要写出自变量的取值范围）答案
10.$y=20-2x$
解析
【分析】
解题时首先要明确蜡烛剩余长度的计算逻辑：剩余长度等于蜡烛的总长度减去已经燃烧掉的长度。已知蜡烛燃烧速度为每分钟2cm，先求出x分钟燃烧的总长度，再结合蜡烛原长代入等量关系，就能推导得到y与x的关系式。
【解析】
首先确定等量关系：蜡烛剩余长度 = 蜡烛原长 - 已燃烧的长度
已知蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧2cm，燃烧x分钟时，已燃烧的长度为$2× x=2x\ \mathrm{cm}$
将已知量代入等量关系，可得$y=20-2x$
【答案】
$y=20-2x$
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系，明确总量、消耗量与剩余量三者的关联，即可快速列出对应的函数关系式。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确蜡烛剩余长度的计算逻辑：剩余长度等于蜡烛的总长度减去已经燃烧掉的长度。已知蜡烛燃烧速度为每分钟2cm，先求出x分钟燃烧的总长度，再结合蜡烛原长代入等量关系，就能推导得到y与x的关系式。
【解析】
首先确定等量关系：蜡烛剩余长度 = 蜡烛原长 - 已燃烧的长度
已知蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧2cm，燃烧x分钟时，已燃烧的长度为$2× x=2x\ \mathrm{cm}$
将已知量代入等量关系，可得$y=20-2x$
【答案】
$y=20-2x$
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系，明确总量、消耗量与剩余量三者的关联，即可快速列出对应的函数关系式。
【难度系数】
0.9
11. 周长为10 cm的等腰三角形，腰长 y(cm)与底边长 x(cm)的关系式为
$y=5-\dfrac{1}{2}x$
，自变量的取值范围是 $0＜x＜5$
。答案
11.$y=5-\dfrac{1}{2}x$，$0＜x＜5$
解析
【分析】
首先根据等腰三角形周长=底边长+2×腰长的公式，代入已知周长建立等式，变形即可得到y与x的关系式。求自变量x的取值范围时，需兼顾两个条件：一是线段长度为正数，二是满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），联立两个条件即可求出x的取值范围。
【解析】
1. 求腰长y与底边长x的关系式：
等腰三角形周长为10cm，由周长公式可得：
$x + 2y = 10$
移项整理得：$2y = 10 - x$，即$y = 5 - \dfrac{1}{2}x$。
2. 求自变量x的取值范围：
① 底边长为线段，长度为正，因此$x ＞ 0$；
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于底边长，即$2y ＞ x$，将$y = 5 - \dfrac{1}{2}x$代入得：
$2(5 - \dfrac{1}{2}x) ＞ x$
化简得$10 - x ＞ x$，解得$x ＜ 5$。
综合两个条件，可得自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$y=5-\dfrac{1}{2}x$，$0＜x＜5$
【知识点】
等腰三角形周长公式；三角形三边关系；函数自变量取值范围
【点评】
本题是结合几何性质的函数基础题，解题关键是利用周长公式建立函数关系，易错点是求自变量范围时容易遗漏三角形三边关系的限制，仅考虑边长为正而得到错误的取值范围。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形周长=底边长+2×腰长的公式，代入已知周长建立等式，变形即可得到y与x的关系式。求自变量x的取值范围时，需兼顾两个条件：一是线段长度为正数，二是满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），联立两个条件即可求出x的取值范围。
【解析】
1. 求腰长y与底边长x的关系式：
等腰三角形周长为10cm，由周长公式可得：
$x + 2y = 10$
移项整理得：$2y = 10 - x$，即$y = 5 - \dfrac{1}{2}x$。
2. 求自变量x的取值范围：
① 底边长为线段，长度为正，因此$x ＞ 0$；
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于底边长，即$2y ＞ x$，将$y = 5 - \dfrac{1}{2}x$代入得：
$2(5 - \dfrac{1}{2}x) ＞ x$
化简得$10 - x ＞ x$，解得$x ＜ 5$。
综合两个条件，可得自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$y=5-\dfrac{1}{2}x$，$0＜x＜5$
【知识点】
等腰三角形周长公式；三角形三边关系；函数自变量取值范围
【点评】
本题是结合几何性质的函数基础题，解题关键是利用周长公式建立函数关系，易错点是求自变量范围时容易遗漏三角形三边关系的限制，仅考虑边长为正而得到错误的取值范围。
【难度系数】
0.7
12. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形边上的一个动点，以C为起点，沿C-B-A的路径移动，设点P经过的路径为x，△APD的面积为y，当点P在边AB上时，y与x之间的关系式为
$y=-2x+16(4≤ x＜8)$
。答案
12.$y=-2x+16(4≤ x＜8)$
解析
【分析】
解题时首先确定点P在AB上时路径x的取值范围，再推导△APD的边长表达式，最后结合三角形面积公式得到函数关系式。首先，正方形边长为4，动点P从C出发沿C-B-A移动，CB段长度为4，BA段长度为4，因此当P在AB上时，x的范围是4≤x＜8（x=8时P到达A点，三点共线无法构成三角形）；接下来求△APD的直角边长度：AD为正方形边长，长度是4，P在AB上走过的长度为x减去CB段的4，即PB=x-4，因此AP=AB-PB=8-x；最后代入直角三角形面积公式即可求出y与x的关系式。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=BC=4，∠DAB=90°，
当点P在边AB上时，路径x的取值范围为：$BC≤x＜BC+AB$，即$4≤ x＜8$，
此时PB的长度为：$PB=x-BC=x-4$，
∴AP的长度为：$AP=AB-PB=4-(x-4)=8-x$，
根据直角三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} × AD × AP=\frac{1}{2} × 4 × (8-x)=-2x+16$，
综上，y与x的关系式为$y=-2x+16(4≤ x＜8)$。
【答案】
$y=-2x+16(4≤ x＜8)$
【知识点】
一次函数解析式确定，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与函数结合的基础题，解题的核心是准确表示出动点在对应区间内的线段长度，结合几何面积公式推导函数关系，注意不要漏写自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定点P在AB上时路径x的取值范围，再推导△APD的边长表达式，最后结合三角形面积公式得到函数关系式。首先，正方形边长为4，动点P从C出发沿C-B-A移动，CB段长度为4，BA段长度为4，因此当P在AB上时，x的范围是4≤x＜8（x=8时P到达A点，三点共线无法构成三角形）；接下来求△APD的直角边长度：AD为正方形边长，长度是4，P在AB上走过的长度为x减去CB段的4，即PB=x-4，因此AP=AB-PB=8-x；最后代入直角三角形面积公式即可求出y与x的关系式。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=BC=4，∠DAB=90°，
当点P在边AB上时，路径x的取值范围为：$BC≤x＜BC+AB$，即$4≤ x＜8$，
此时PB的长度为：$PB=x-BC=x-4$，
∴AP的长度为：$AP=AB-PB=4-(x-4)=8-x$，
根据直角三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} × AD × AP=\frac{1}{2} × 4 × (8-x)=-2x+16$，
综上，y与x的关系式为$y=-2x+16(4≤ x＜8)$。
【答案】
$y=-2x+16(4≤ x＜8)$
【知识点】
一次函数解析式确定，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与函数结合的基础题，解题的核心是准确表示出动点在对应区间内的线段长度，结合几何面积公式推导函数关系，注意不要漏写自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P。若点P的坐标为$(3x,y+1)$，则y与x之间的关系式为
$y=-3x-1$
。答案
13.$y=-3x-1$
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图为作第二象限的角平分线，因此点P在第二象限的角平分线上。第二象限角平分线上的点的坐标特征为横纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0，将点P的坐标代入该特征列出等式，再整理等式即可得到y与x的关系式。
【解析】
1. 根据尺规作图的步骤可判断，点P在第二象限的角平分线上；
2. 第二象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0；
3. 将点$P(3x,y+1)$的坐标代入上述特征，列等式：
$3x+(y+1)=0$
4. 整理等式得：$y=-3x-1$
【答案】
$y=-3x-1$
【知识点】
角平分线的尺规作图；象限角平分线坐标特征；等式变形
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是正确识别尺规作图的类型，结合平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征列式计算，考查对基础作图和坐标性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先识别题中的尺规作图为作第二象限的角平分线，因此点P在第二象限的角平分线上。第二象限角平分线上的点的坐标特征为横纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0，将点P的坐标代入该特征列出等式，再整理等式即可得到y与x的关系式。
【解析】
1. 根据尺规作图的步骤可判断，点P在第二象限的角平分线上；
2. 第二象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0；
3. 将点$P(3x,y+1)$的坐标代入上述特征，列等式：
$3x+(y+1)=0$
4. 整理等式得：$y=-3x-1$
【答案】
$y=-3x-1$
【知识点】
角平分线的尺规作图；象限角平分线坐标特征；等式变形
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是正确识别尺规作图的类型，结合平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征列式计算，考查对基础作图和坐标性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
14.【数学应用】某商店出售一种瓜子，其售价y(元)与瓜子的质量x(kg)之间的关系如下表：
其中，售价中的0.2元是包装费。
(1)在这个变化的过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)写出7 kg瓜子的售价。
(3)写出y与x之间的关系式。
(4)商店规定，当一次性购买100 kg及以上瓜子时所购瓜子全部打九折。八(1)班、八(2)班正好要搞一次“党庆活动”，两个班级一共94人，每人买1 kg瓜子，包装费全免。要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
其中，售价中的0.2元是包装费。
(1)在这个变化的过程中，自变量与因变量各是什么？
(2)写出7 kg瓜子的售价。
(3)写出y与x之间的关系式。
(4)商店规定，当一次性购买100 kg及以上瓜子时所购瓜子全部打九折。八(1)班、八(2)班正好要搞一次“党庆活动”，两个班级一共94人，每人买1 kg瓜子，包装费全免。要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
答案
解:(1)根据题意可知,在这个变化的过程中,自变量是瓜子的质量,因变量是售价。
(2)根据题意得$3.6×7+0.2=25.2+0.2=25.4$(元),所以7 kg瓜子的售价为25.4元。
(3)$y=3.6x+0.2$。
(4)当购买94 kg瓜子时,所需要的费用为$3.6×94=338.4$(元),
当购买100 kg瓜子时所需要的费用为$3.6×0.9×100=324$(元),
因为$338.4＞324$,
所以要买够两个班的瓜子,正常情况下最少要花324元。
(2)根据题意得$3.6×7+0.2=25.2+0.2=25.4$(元),所以7 kg瓜子的售价为25.4元。
(3)$y=3.6x+0.2$。
(4)当购买94 kg瓜子时,所需要的费用为$3.6×94=338.4$(元),
当购买100 kg瓜子时所需要的费用为$3.6×0.9×100=324$(元),
因为$338.4＞324$,
所以要买够两个班的瓜子,正常情况下最少要花324元。
解析
【分析】
(1) 根据自变量和因变量的定义判断：主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，本题中瓜子质量主动变化，售价随质量变化，据此可得出结果。
(2) 观察表格可知每千克瓜子单价为3.6元，另加固定0.2元包装费，7kg瓜子的售价即总瓜子费用加包装费，代入数值计算即可。
(3) 结合售价的构成：x kg瓜子的费用为3.6x元，加0.2元包装费，即可推导得到y与x的关系式。
(4) 需考虑两种购买方案：方案一购买刚好需要的94kg，不满足打折条件，按原价计算（包装费全免无需加0.2）；方案二购买100kg满足打折条件，按原价打九折计算，分别算出两种方案的费用后比较大小，选择花费更低的方案即可。
【解析】
(1) 由自变量、因变量的定义可知，瓜子的质量主动变化，售价随瓜子质量的变化而变化，因此自变量是瓜子的质量，因变量是售价。
(2) 根据表格呈现的售价规律，7kg瓜子的售价为：
$3.6×7+0.2=25.2+0.2=25.4$（元）
(3) x kg瓜子的本身售价为3.6x元，另加0.2元包装费，因此y与x的关系式为：
$y=3.6x+0.2$
(4) 分两种情况计算所需费用：
① 购买94kg瓜子，不满足打折条件，包装费全免，费用为：$3.6×94=338.4$（元）
② 购买100kg瓜子，满足一次性购买100kg及以上打九折的规则，包装费全免，费用为：$3.6×0.9×100=324$（元）
因为$338.4＞324$，因此最少花费324元。
【答案】
(1) 自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
(2) 25.4元；
(3) $y=3.6x+0.2$；
(4) 324元
【知识点】
自变量与因变量；一次函数关系式；最优方案选择
【点评】
本题结合生活消费场景考查函数的实际应用，前3问较为基础，理清售价的构成即可解答；第4问是易错点，不要局限于仅购买所需的94kg，需结合商家优惠规则考虑多买凑折扣的情况，有助于培养结合实际选择最优方案的思维。
【难度系数】
0.7
(1) 根据自变量和因变量的定义判断：主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，本题中瓜子质量主动变化，售价随质量变化，据此可得出结果。
(2) 观察表格可知每千克瓜子单价为3.6元，另加固定0.2元包装费，7kg瓜子的售价即总瓜子费用加包装费，代入数值计算即可。
(3) 结合售价的构成：x kg瓜子的费用为3.6x元，加0.2元包装费，即可推导得到y与x的关系式。
(4) 需考虑两种购买方案：方案一购买刚好需要的94kg，不满足打折条件，按原价计算（包装费全免无需加0.2）；方案二购买100kg满足打折条件，按原价打九折计算，分别算出两种方案的费用后比较大小，选择花费更低的方案即可。
【解析】
(1) 由自变量、因变量的定义可知，瓜子的质量主动变化，售价随瓜子质量的变化而变化，因此自变量是瓜子的质量，因变量是售价。
(2) 根据表格呈现的售价规律，7kg瓜子的售价为：
$3.6×7+0.2=25.2+0.2=25.4$（元）
(3) x kg瓜子的本身售价为3.6x元，另加0.2元包装费，因此y与x的关系式为：
$y=3.6x+0.2$
(4) 分两种情况计算所需费用：
① 购买94kg瓜子，不满足打折条件，包装费全免，费用为：$3.6×94=338.4$（元）
② 购买100kg瓜子，满足一次性购买100kg及以上打九折的规则，包装费全免，费用为：$3.6×0.9×100=324$（元）
因为$338.4＞324$，因此最少花费324元。
【答案】
(1) 自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
(2) 25.4元；
(3) $y=3.6x+0.2$；
(4) 324元
【知识点】
自变量与因变量；一次函数关系式；最优方案选择
【点评】
本题结合生活消费场景考查函数的实际应用，前3问较为基础，理清售价的构成即可解答；第4问是易错点，不要局限于仅购买所需的94kg，需结合商家优惠规则考虑多买凑折扣的情况，有助于培养结合实际选择最优方案的思维。
【难度系数】
0.7
