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已知把二次三项式$x^2 - 4x + m$分解因式后有一个因式是$x + 3$，求其另一个因式及$m$的值。
答案
解：设二次三项式$x^2 - 4x + m$的另一个因式为$x + a$，
则 $x^2 - 4x + m = (x + 3)(x + a)$
将等式右边展开，得：
$(x + 3)(x + a) = x^2 + (a + 3)x + 3a$
比较等式两边对应项的系数，可得：
$\begin{cases} a + 3 = -4 \\ m = 3a \end{cases}$
解得 $a = -7$，$m = -21$。
答：另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$。
则 $x^2 - 4x + m = (x + 3)(x + a)$
将等式右边展开，得：
$(x + 3)(x + a) = x^2 + (a + 3)x + 3a$
比较等式两边对应项的系数，可得：
$\begin{cases} a + 3 = -4 \\ m = 3a \end{cases}$
解得 $a = -7$，$m = -21$。
答：另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$。
解析
【分析】
解题时可利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系推导：已知该二次三项式的二次项系数为1，其中一个因式是一次式$x+3$，因此另一个因式也为一次式且一次项系数为1，可设其为$x+a$。将两个因式相乘展开后，得到的多项式与原二次三项式完全相等，对应项的系数也相等，据此列方程即可求出$a$和$m$的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设二次三项式$x^2 - 4x + m$的另一个因式为$x + a$，
则 $x^2 - 4x + m = (x + 3)(x + a)$
将等式右边展开，得：
$(x + 3)(x + a) = x^2 + (a + 3)x + 3a$
比较等式两边对应项的系数，可得：
$\begin{cases} a + 3 = -4 \\ m = 3a \end{cases}$
解得 $a = -7$，代入$m=3a$得$m=-21$，因此另一个因式为$x-7$。
【答案】
另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$
【知识点】
因式分解与整式乘法互逆，多项式对应系数相等，整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解模块的典型基础题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，通过待定系数法建立方程求解，熟练掌握多项式相等时对应系数相等的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系推导：已知该二次三项式的二次项系数为1，其中一个因式是一次式$x+3$，因此另一个因式也为一次式且一次项系数为1，可设其为$x+a$。将两个因式相乘展开后，得到的多项式与原二次三项式完全相等，对应项的系数也相等，据此列方程即可求出$a$和$m$的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设二次三项式$x^2 - 4x + m$的另一个因式为$x + a$，
则 $x^2 - 4x + m = (x + 3)(x + a)$
将等式右边展开，得：
$(x + 3)(x + a) = x^2 + (a + 3)x + 3a$
比较等式两边对应项的系数，可得：
$\begin{cases} a + 3 = -4 \\ m = 3a \end{cases}$
解得 $a = -7$，代入$m=3a$得$m=-21$，因此另一个因式为$x-7$。
【答案】
另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$
【知识点】
因式分解与整式乘法互逆，多项式对应系数相等，整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解模块的典型基础题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，通过待定系数法建立方程求解，熟练掌握多项式相等时对应系数相等的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1.分别写出下列各多项式的公因式：
(1)$3x^3y^4 + 12x^2y$:________;
(2)$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$:________;
(3)$m(x - y) + n(y - x)$:________.
(1)$3x^3y^4 + 12x^2y$:________;
(2)$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$:________;
(3)$m(x - y) + n(y - x)$:________.
答案
解：
(1) 多项式$3x^3y^4 + 12x^2y$各项系数的最大公约数是3，相同字母$x$的最低次数为2，相同字母$y$的最低次数为1，因此公因式为$3x^2y$；
(2) 多项式$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$各项系数的最大公约数是1，各项都含有的字母$a$、$x$、$y$的最低次数均为1，因此公因式为$axy$；
(3) 先变形得$m(x-y) + n(y-x) = m(x-y) - n(x-y)$，两项共有的因式为$x-y$，因此公因式为$x-y$。
答案依次为：(1)$\boldsymbol{3x^2y}$；(2)$\boldsymbol{axy}$；(3)$\boldsymbol{x-y}$。
(1) 多项式$3x^3y^4 + 12x^2y$各项系数的最大公约数是3，相同字母$x$的最低次数为2，相同字母$y$的最低次数为1，因此公因式为$3x^2y$；
(2) 多项式$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$各项系数的最大公约数是1，各项都含有的字母$a$、$x$、$y$的最低次数均为1，因此公因式为$axy$；
(3) 先变形得$m(x-y) + n(y-x) = m(x-y) - n(x-y)$，两项共有的因式为$x-y$，因此公因式为$x-y$。
答案依次为：(1)$\boldsymbol{3x^2y}$；(2)$\boldsymbol{axy}$；(3)$\boldsymbol{x-y}$。
解析
【分析】
找多项式的公因式遵循固定思路：第一步找各项系数的最大公约数（系数为整数时）；第二步找各项都含有的相同字母或整体因式；第三步取相同字母、整体因式的最低次幂，三者相乘即为公因式。若多项式中存在互为相反数的因式，先统一变形为相同因式再判断。
【解析】
(1) 多项式$3x^3y^4 + 12x^2y$中，系数3和12的最大公约数是3，共有相同字母为x、y，x的最低次数为2，y的最低次数为1，因此公因式为$3x^2y$；
(2) 多项式$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$中，系数1、1、-4的最大公约数是1，共有相同字母为a、x、y，三个字母的最低次数均为1，因此公因式为$axy$；
(3) 先对多项式变形：$m(x - y) + n(y - x) = m(x - y) - n(x - y)$，两项共有的整体因式为$x-y$，因此公因式为$x-y$。
【答案】
(1)$3x^2y$；(2)$axy$；(3)$x-y$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法，整式变形
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，重点考查公因式的构成规律，需注意互为相反数的因式要先统一形式，是后续学习提公因式法分解因式的核心基础。
【难度系数】
0.8
找多项式的公因式遵循固定思路：第一步找各项系数的最大公约数（系数为整数时）；第二步找各项都含有的相同字母或整体因式；第三步取相同字母、整体因式的最低次幂，三者相乘即为公因式。若多项式中存在互为相反数的因式，先统一变形为相同因式再判断。
【解析】
(1) 多项式$3x^3y^4 + 12x^2y$中，系数3和12的最大公约数是3，共有相同字母为x、y，x的最低次数为2，y的最低次数为1，因此公因式为$3x^2y$；
(2) 多项式$ax^3y + axy^3 - 4ax^2y^2$中，系数1、1、-4的最大公约数是1，共有相同字母为a、x、y，三个字母的最低次数均为1，因此公因式为$axy$；
(3) 先对多项式变形：$m(x - y) + n(y - x) = m(x - y) - n(x - y)$，两项共有的整体因式为$x-y$，因此公因式为$x-y$。
【答案】
(1)$3x^2y$；(2)$axy$；(3)$x-y$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法，整式变形
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，重点考查公因式的构成规律，需注意互为相反数的因式要先统一形式，是后续学习提公因式法分解因式的核心基础。
【难度系数】
0.8
2.分解因式：
(1)$x^2 - 3x =$；
(2)$x^2 - 2x + (x - 2) =$.
(1)$x^2 - 3x =$；
(2)$x^2 - 2x + (x - 2) =$.
答案
(1) $\boldsymbol{x(x-3)}$；(2) $\boldsymbol{(x+1)(x-2)}$
解析
【分析】
(1) 本题是二项式因式分解，首先观察多项式的两项，$x^2$和$-3x$都含有公因式$x$，直接提取公因式$x$即可完成分解。
(2) 本题可分步处理：先对前两项$x^2-2x$提取公因式$x$，得到$x(x-2)$，此时原式变形为$x(x-2)+(x-2)$，可发现两项的公因式为$(x-2)$，再次提取公因式后合并剩余项即可得到结果。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x$提取公因式$x$：
$x^2 - 3x = x· x - 3· x = x(x-3)$
(2) 先处理前两项，再提取整体公因式：
$x^2 - 2x + (x - 2)$
$=x(x-2) + 1·(x-2)$
$=(x+1)(x-2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x(x-3)}$；(2) $\boldsymbol{(x+1)(x-2)}$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意核对剩余项，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
(1) 本题是二项式因式分解，首先观察多项式的两项，$x^2$和$-3x$都含有公因式$x$，直接提取公因式$x$即可完成分解。
(2) 本题可分步处理：先对前两项$x^2-2x$提取公因式$x$，得到$x(x-2)$，此时原式变形为$x(x-2)+(x-2)$，可发现两项的公因式为$(x-2)$，再次提取公因式后合并剩余项即可得到结果。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x$提取公因式$x$：
$x^2 - 3x = x· x - 3· x = x(x-3)$
(2) 先处理前两项，再提取整体公因式：
$x^2 - 2x + (x - 2)$
$=x(x-2) + 1·(x-2)$
$=(x+1)(x-2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x(x-3)}$；(2) $\boldsymbol{(x+1)(x-2)}$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意核对剩余项，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
3. 在多项式$-12ab^{3}c - 8a^{3}b$中应提取的公因式是。
答案
$\boldsymbol{-4ab}$
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按固定思路逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，若多项式首项为负，公因式的系数通常带负号；第二步找所有项都共同含有的字母；第三步取相同字母的最低次幂，将三部分组合即可得到公因式。本题按照这三步逐一分析两个项的特征，就能求出正确的公因式。
【解析】
1. 确定公因式的系数：
多项式两个项的系数为-12和-8，12和8的最大公约数是4，由于两项首项系数均为负数，因此公因式的系数取-4。
2. 确定公因式包含的字母：
观察两个项，共同含有的字母是a和b，字母c仅在第一项中出现，因此公因式不含字母c。
3. 确定相同字母的指数：
字母a在第一项的次数是1，在第二项的次数是3，取最低次幂1次；字母b在第一项的次数是3，在第二项的次数是1，取最低次幂1次。
将三部分组合，得到公因式为$-4ab$。
【答案】
$\boldsymbol{-4ab}$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是提公因式法的基础考查题型，解题关键是熟练掌握公因式的确定规则，特别注意当多项式首项系数为负时，通常要在公因式中提取负号，避免后续分解因式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需按固定思路逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，若多项式首项为负，公因式的系数通常带负号；第二步找所有项都共同含有的字母；第三步取相同字母的最低次幂，将三部分组合即可得到公因式。本题按照这三步逐一分析两个项的特征，就能求出正确的公因式。
【解析】
1. 确定公因式的系数：
多项式两个项的系数为-12和-8，12和8的最大公约数是4，由于两项首项系数均为负数，因此公因式的系数取-4。
2. 确定公因式包含的字母：
观察两个项，共同含有的字母是a和b，字母c仅在第一项中出现，因此公因式不含字母c。
3. 确定相同字母的指数：
字母a在第一项的次数是1，在第二项的次数是3，取最低次幂1次；字母b在第一项的次数是3，在第二项的次数是1，取最低次幂1次。
将三部分组合，得到公因式为$-4ab$。
【答案】
$\boldsymbol{-4ab}$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是提公因式法的基础考查题型，解题关键是熟练掌握公因式的确定规则，特别注意当多项式首项系数为负时，通常要在公因式中提取负号，避免后续分解因式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4.若多项式$x^2 - ax -1$可分解为$(x-2)(x+b)$，则$a-b=$.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题的核心思路是利用因式分解与整式乘法的互逆关系：因式分解后的式子乘开后应与原多项式完全相等。首先将右侧的$(x-2)(x+b)$按多项式乘多项式的法则展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别列出关于$a$、$b$的方程，求解得到$a$、$b$的值后代入$a-b$计算即可。
【解析】
第一步：展开右侧的乘积式
根据多项式乘多项式的法则：
$(x-2)(x+b) = x· x + x· b - 2· x - 2· b = x^2 + (b-2)x - 2b$
第二步：根据多项式相等对应系数相等列方程
已知$x^2 - ax -1 = x^2 + (b-2)x - 2b$，两个多项式相等则对应项系数相等：
① 常数项相等：$-2b = -1$，解得$b = \frac{1}{2}$
② 一次项系数相等：$-a = b - 2$
将$b=\frac{1}{2}$代入上式：$-a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$，解得$a = \frac{3}{2}$
第三步：计算$a-b$的值
$a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；多项式对应系数相等；代数式求值
【点评】
本题是因式分解部分的基础常考题，解题关键是掌握因式分解和整式乘法的互逆关系，利用对应系数相等建立方程求解，计算难度较低，掌握对应知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路是利用因式分解与整式乘法的互逆关系：因式分解后的式子乘开后应与原多项式完全相等。首先将右侧的$(x-2)(x+b)$按多项式乘多项式的法则展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别列出关于$a$、$b$的方程，求解得到$a$、$b$的值后代入$a-b$计算即可。
【解析】
第一步：展开右侧的乘积式
根据多项式乘多项式的法则：
$(x-2)(x+b) = x· x + x· b - 2· x - 2· b = x^2 + (b-2)x - 2b$
第二步：根据多项式相等对应系数相等列方程
已知$x^2 - ax -1 = x^2 + (b-2)x - 2b$，两个多项式相等则对应项系数相等：
① 常数项相等：$-2b = -1$，解得$b = \frac{1}{2}$
② 一次项系数相等：$-a = b - 2$
将$b=\frac{1}{2}$代入上式：$-a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$，解得$a = \frac{3}{2}$
第三步：计算$a-b$的值
$a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；多项式对应系数相等；代数式求值
【点评】
本题是因式分解部分的基础常考题，解题关键是掌握因式分解和整式乘法的互逆关系，利用对应系数相等建立方程求解，计算难度较低，掌握对应知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是()
A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$m^2 -2m -3 = m(m-2)-3$
C.$x^2 -5x +6=(x-2)(x-3)$
D.$(a-b)(x-y)=(b-a)(y-x)$
A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$m^2 -2m -3 = m(m-2)-3$
C.$x^2 -5x +6=(x-2)(x-3)$
D.$(a-b)(x-y)=(b-a)(y-x)$
答案
C
解析
【分析】
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，需同时满足两个条件：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积形式。解题时对照这两个条件逐一分析选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一判断：
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不符合因式分解定义，排除；
选项B：变形后的结果是$m(m-2)-3$，为差的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，排除；
选项C：左边$x^2-5x+6$是多项式，右边是$(x-2)$和$(x-3)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确；
选项D：左右两边均为两个整式的乘积，没有将多项式化为整式乘积的过程，仅为符号的恒等变形，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确掌握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，只要抓住“结果是几个整式的乘积”这一关键要点就能快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，需同时满足两个条件：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积形式。解题时对照这两个条件逐一分析选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一判断：
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不符合因式分解定义，排除；
选项B：变形后的结果是$m(m-2)-3$，为差的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，排除；
选项C：左边$x^2-5x+6$是多项式，右边是$(x-2)$和$(x-3)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确；
选项D：左右两边均为两个整式的乘积，没有将多项式化为整式乘积的过程，仅为符号的恒等变形，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确掌握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，只要抓住“结果是几个整式的乘积”这一关键要点就能快速判断。
【难度系数】
0.8
6.利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99，下列各计算正确的是()
A.99×(57＋44)=99×101=9 999
B.99×(57＋44－1)=99×100=9 900
C.99×(57＋44＋1)=99×102=10 098
D.99×(57＋44－99)=99×2=198
A.99×(57＋44)=99×101=9 999
B.99×(57＋44－1)=99×100=9 900
C.99×(57＋44＋1)=99×102=10 098
D.99×(57＋44－99)=99×2=198
答案
B
解析
【分析】
观察算式可知，三个运算项中均含有公因数99，因此可利用提公因式法简化计算。需注意最后一项“-99”可以改写为“-1×99”，提取公因式99后，剩余的项要包含这个-1，不能遗漏，再先计算括号内的加减，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
首先对原式变形，将单独的-99改写为-1×99：
原式=57×99 + 44×99 - 1×99
提取公因式99，可得：
=99×(57 + 44 - 1)
先计算括号内的运算：57+44=101，101-1=100
再计算乘法：99×100=9900
因此计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题主要考查利用提公因式法进行简便运算，解题的关键是准确找到公因式，尤其注意单独成项的部分提取公因式后不要遗漏系数1，掌握提公因式的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，三个运算项中均含有公因数99，因此可利用提公因式法简化计算。需注意最后一项“-99”可以改写为“-1×99”，提取公因式99后，剩余的项要包含这个-1，不能遗漏，再先计算括号内的加减，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
首先对原式变形，将单独的-99改写为-1×99：
原式=57×99 + 44×99 - 1×99
提取公因式99，可得：
=99×(57 + 44 - 1)
先计算括号内的运算：57+44=101，101-1=100
再计算乘法：99×100=9900
因此计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题主要考查利用提公因式法进行简便运算，解题的关键是准确找到公因式，尤其注意单独成项的部分提取公因式后不要遗漏系数1，掌握提公因式的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.已知$x^2 - 2x - 3=0$,则$2x^2 -4x$的值为()
A.$-6$
B.$6$
C.$-2$或$6$
D.$-2$或$30$
A.$-6$
B.$6$
C.$-2$或$6$
D.$-2$或$30$
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察已知方程和所求代数式的结构特征，发现所求代数式的二次项、一次项是已知方程中二次项、一次项的2倍，因此无需先求解x的值，可先通过移项求出$x^2-2x$的值，再将所求代数式提取公因式变形为含有$x^2-2x$的形式，最后整体代入计算即可得到结果，比直接解方程更简便。
【解析】
解：由已知方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，移项可得：
$x^2 - 2x = 3$
对所求代数式$2x^2 - 4x$提取公因式2，得：
$2x^2 - 4x = 2(x^2 - 2x)$
将$x^2 - 2x = 3$代入上式计算：
$2×3=6$
因此$2x^2 -4x$的值为6。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是代数式求值的常考基础题，解题核心是抓住已知条件和所求代数式的内在关联，运用整体代入思想简化运算，无需解出方程的根即可快速得到结果，能有效考查学生对因式分解和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知方程和所求代数式的结构特征，发现所求代数式的二次项、一次项是已知方程中二次项、一次项的2倍，因此无需先求解x的值，可先通过移项求出$x^2-2x$的值，再将所求代数式提取公因式变形为含有$x^2-2x$的形式，最后整体代入计算即可得到结果，比直接解方程更简便。
【解析】
解：由已知方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，移项可得：
$x^2 - 2x = 3$
对所求代数式$2x^2 - 4x$提取公因式2，得：
$2x^2 - 4x = 2(x^2 - 2x)$
将$x^2 - 2x = 3$代入上式计算：
$2×3=6$
因此$2x^2 -4x$的值为6。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是代数式求值的常考基础题，解题核心是抓住已知条件和所求代数式的内在关联，运用整体代入思想简化运算，无需解出方程的根即可快速得到结果，能有效考查学生对因式分解和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
8.整式$a^2(a^2 - 1) - a^2 + 1$的值（）
A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.结果的符号不能确定
A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.结果的符号不能确定
答案
A
解析
【分析】
要判断该整式的值的符号，需先对整式进行化简。首先观察式子结构，可将原式后两项变形为$-(a^2-1)$，此时式子中出现公因式$(a^2-1)$，用提公因式法分解因式后，将原式转化为平方的形式，再结合平方的非负性即可判断整式的取值范围。
【解析】
先对原式进行变形、因式分解：
$\begin{aligned}a^2(a^2 - 1) - a^2 + 1&=a^2(a^2-1)-(a^2-1)\\&=(a^2-1)(a^2-1)\\&=(a^2-1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，即$(a^2-1)^2≥0$，所以该整式的值不是负数。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，平方的非负性
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题关键是通过观察式子结构准确提取公因式，将原式化简为平方的形式，再结合平方的非负性判断代数式的符号，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.8
要判断该整式的值的符号，需先对整式进行化简。首先观察式子结构，可将原式后两项变形为$-(a^2-1)$，此时式子中出现公因式$(a^2-1)$，用提公因式法分解因式后，将原式转化为平方的形式，再结合平方的非负性即可判断整式的取值范围。
【解析】
先对原式进行变形、因式分解：
$\begin{aligned}a^2(a^2 - 1) - a^2 + 1&=a^2(a^2-1)-(a^2-1)\\&=(a^2-1)(a^2-1)\\&=(a^2-1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，即$(a^2-1)^2≥0$，所以该整式的值不是负数。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，平方的非负性
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题关键是通过观察式子结构准确提取公因式，将原式化简为平方的形式，再结合平方的非负性判断代数式的符号，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.8
9.已知长方形的长、宽分别为a,b,周长为16，面积为15，则$a^2b + ab^2$的值为（）
A.120
B.128
C.240
D.250
A.120
B.128
C.240
D.250
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，发现两项都含有公因式ab，因此先利用提公因式法对其因式分解，将待求式转化为含a+b和ab的形式；再结合长方形周长、面积公式求出a+b与ab的值，最后整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
1. 先对$a^2b + ab^2$因式分解：
提取公因式$ab$，可得$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$。
2. 根据已知条件求$a+b$和$ab$的值：
已知长方形周长为16，由长方形周长公式$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$；
已知长方形面积为15，由长方形面积公式得$ab=15$。
3. 整体代入计算：
把$a+b=8$，$ab=15$代入$ab(a + b)$，得$15×8=120$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值、长方形周长与面积计算
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是通过因式分解将待求式转化为可利用已知条件直接计算的形式，采用整体代入的方法可避免求解单个未知数，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求代数式的结构，发现两项都含有公因式ab，因此先利用提公因式法对其因式分解，将待求式转化为含a+b和ab的形式；再结合长方形周长、面积公式求出a+b与ab的值，最后整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
1. 先对$a^2b + ab^2$因式分解：
提取公因式$ab$，可得$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$。
2. 根据已知条件求$a+b$和$ab$的值：
已知长方形周长为16，由长方形周长公式$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$；
已知长方形面积为15，由长方形面积公式得$ab=15$。
3. 整体代入计算：
把$a+b=8$，$ab=15$代入$ab(a + b)$，得$15×8=120$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值、长方形周长与面积计算
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是通过因式分解将待求式转化为可利用已知条件直接计算的形式，采用整体代入的方法可避免求解单个未知数，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
