1. 分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算可以统一为
运算。

乘法

2. 分式的乘方
分式乘方要把分子、分母分别。
用式子表示为$(\dfrac{a}{b})^n =$（$n$是正整数）。

乘方；$\dfrac{a^n}{b^n}$

1. 分式的乘除混合运算
典例1 计算：
(1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$；
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}$。

解：
(1) 原式$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$
(2) 原式$=\dfrac{m^2-n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}$
$=\dfrac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}$
$=\dfrac{m-n}{mn^2}$

举一反三 计算：
$\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{1}{a^2 -1}$

解 $\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2-4}{a^2-2a+1} ÷ \dfrac{1}{a^2-1}$
$=\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)·(a-1)$
$=(a+2)(a+1)$
$=a^2+3a+2$。

典例2 计算：
(1) $( \dfrac{a^2 b}{c^2} )^3 · ( \dfrac{-c^2}{a^2 b} ) ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4$；
(2) $\dfrac{a - b}{a} · ( \dfrac{b}{b - a} )^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2}$.
规律方法 在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先进行因式分解，再约分。

解：
(1) 先计算分式的乘方：
$( \dfrac{a^2 b}{c^2} )^3 = \dfrac{a^6 b^3}{c^6}$，$( \dfrac{bc}{a} )^4 = \dfrac{b^4 c^4}{a^4}$
将除法运算转化为乘法运算：
原式$= \dfrac{a^6 b^3}{c^6} · \dfrac{-c^2}{a^2 b} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4}$
$= \dfrac{-a^{10} b^3 c^2}{a^2 b^5 c^{10}}$
$= -\dfrac{a^8}{b^2 c^8}$
(2) 先计算分式的乘方：
$( \dfrac{b}{b-a} )^2 = \dfrac{b^2}{(b-a)^2} = \dfrac{b^2}{(a-b)^2}$
将除法运算转化为乘法运算：
原式$= \dfrac{a-b}{a} · \dfrac{b^2}{(a-b)^2} · \dfrac{a^2}{b^2}$
$= \dfrac{(a-b) · b^2 · a^2}{a · (a-b)^2 · b^2}$
$= \dfrac{a}{a-b}$

举一反三 计算:
(1) $(\dfrac{a^2 b}{-c})^2 · (\dfrac{c^2}{-ab})^3 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(2) $\dfrac{m - m^2}{m^2 -1} ÷ \dfrac{m}{m -1} · (\dfrac{m +1}{m -1})^2$。
典例解析
典例1
解 (1) $-\dfrac{x - y}{x + 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 +4xy +4y^2} · \dfrac{x - y}{x +2y} = -\dfrac{x - y}{x +2y} · \dfrac{(x +2y)^2}{(x + y)(x - y)} · \dfrac{x - y}{x +2y} = -\dfrac{x - y}{x + y}$。
(2) $\dfrac{m^2 -n^2}{(m -n)^2} · \dfrac{(n -m)^2}{m^2 n^2} ÷ \dfrac{m +n}{m} = \dfrac{(m +n)(m -n)}{(m -n)^2} · \dfrac{(m -n)^2}{m^2 n^2} · \dfrac{m}{m +n} = \dfrac{m -n}{mn^2}$。
典例2
解 (1) $(\dfrac{a^2 b}{c^2})^3 · (\dfrac{-c^2}{a^2 b}) ÷ (\dfrac{bc}{a})^4 = -\dfrac{a^6 b^3}{c^6} · \dfrac{c^2}{a^2 b} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4} = -\dfrac{a^{10} b^3 c^2}{a^2 b^5 c^{10}} = -\dfrac{a^8}{b^2 c^8}$。
(2) $\dfrac{a -b}{a} · (\dfrac{b}{b -a})^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{a -b}{a} · \dfrac{b^2}{(a -b)^2} · \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a}{a -b}$。

(1) 原式$=\dfrac{a^4 b^2}{c^2} · \dfrac{c^6}{(-a)^3 b^3} · \dfrac{a^4}{b^4 c^4}=-\dfrac{a^5}{b^5}$。
(2) 原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{-m}{m+1} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = -\dfrac{m+1}{m-1}$。