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10.设符号 * 表示两个实数 $a$ 和 $b$ 的算术平均数的运算, 即 $a * b = \frac{a + b}{2}$.有下列等式:
① $a + (b * c) = (a + b) * (a + c)$;② $a * (b + c) = (a + b) * c$;③ $a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$;
④ $(a * b) + c = \frac{a}{2} + (b * 2c)$.其中对任意 $a, b, c$ 都成立的是(
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②④
① $a + (b * c) = (a + b) * (a + c)$;② $a * (b + c) = (a + b) * c$;③ $a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$;
④ $(a * b) + c = \frac{a}{2} + (b * 2c)$.其中对任意 $a, b, c$ 都成立的是(
B
).A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②④
答案
10.B
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算“*”的规则：两个数作*运算，结果等于两数之和除以2。要判断给出的4个等式是否对任意实数a,b,c都成立，只需将每个等式的左右两边都按照*的运算规则展开、化简，对比左右两边化简后的结果是否完全一致即可，若一致则等式恒成立，反之不成立，解题时按照顺序逐个验证4个等式即可。
【解析】
首先明确运算规则：$a*b=\frac{a+b}{2}$，我们逐个验证等式：
1. 验证等式①：
左边：$a+(b*c)=a+\frac{b+c}{2}=\frac{2a + b + c}{2}$
右边：$(a+b)*(a+c)=\frac{(a+b)+(a+c)}{2}=\frac{2a + b + c}{2}$
左边=右边，故①恒成立。
2. 验证等式②：
左边：$a*(b+c)=\frac{a+(b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
右边：$(a+b)*c=\frac{(a+b)+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
左边=右边，故②恒成立。
3. 验证等式③：
左边：$a*(b+c)=\frac{a+b+c}{2}$
右边：$(a*b)+(a*c)=\frac{a+b}{2}+\frac{a+c}{2}=\frac{2a + b + c}{2}$
只有当a=0时左右两边相等，不是对任意a,b,c都成立，故③不成立。
4. 验证等式④：
左边：$(a*b)+c=\frac{a+b}{2}+c=\frac{a + b + 2c}{2}$
右边：$\frac{a}{2}+(b*2c)=\frac{a}{2}+\frac{b+2c}{2}=\frac{a + b + 2c}{2}$
左边=右边，故④恒成立。
综上，恒成立的是①②④。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，整式化简，等式恒等判断
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题的关键是严格按照给定的运算规则展开代数式，通过整式加减化简后对比两边是否相等，运算时要注意运算顺序，避免漏乘或计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算“*”的规则：两个数作*运算，结果等于两数之和除以2。要判断给出的4个等式是否对任意实数a,b,c都成立，只需将每个等式的左右两边都按照*的运算规则展开、化简，对比左右两边化简后的结果是否完全一致即可，若一致则等式恒成立，反之不成立，解题时按照顺序逐个验证4个等式即可。
【解析】
首先明确运算规则：$a*b=\frac{a+b}{2}$，我们逐个验证等式：
1. 验证等式①：
左边：$a+(b*c)=a+\frac{b+c}{2}=\frac{2a + b + c}{2}$
右边：$(a+b)*(a+c)=\frac{(a+b)+(a+c)}{2}=\frac{2a + b + c}{2}$
左边=右边，故①恒成立。
2. 验证等式②：
左边：$a*(b+c)=\frac{a+(b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
右边：$(a+b)*c=\frac{(a+b)+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
左边=右边，故②恒成立。
3. 验证等式③：
左边：$a*(b+c)=\frac{a+b+c}{2}$
右边：$(a*b)+(a*c)=\frac{a+b}{2}+\frac{a+c}{2}=\frac{2a + b + c}{2}$
只有当a=0时左右两边相等，不是对任意a,b,c都成立，故③不成立。
4. 验证等式④：
左边：$(a*b)+c=\frac{a+b}{2}+c=\frac{a + b + 2c}{2}$
右边：$\frac{a}{2}+(b*2c)=\frac{a}{2}+\frac{b+2c}{2}=\frac{a + b + 2c}{2}$
左边=右边，故④恒成立。
综上，恒成立的是①②④。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，整式化简，等式恒等判断
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题的关键是严格按照给定的运算规则展开代数式，通过整式加减化简后对比两边是否相等，运算时要注意运算顺序，避免漏乘或计算错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.绝对值最小的负整数是
11.绝对值最小的负整数是
-1
.答案
11.-1
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是负整数的定义（小于0的整数），二是绝对值的含义（数轴上某点到原点的距离）。先梳理负整数的取值范围，再分别计算它们的绝对值，比较绝对值的大小，找到绝对值最小时对应的负整数即可。
【解析】
步骤1：确定负整数的范围：负整数是小于0的整数，按从大到小的顺序依次为-1、-2、-3、-4……
步骤2：计算各负整数的绝对值：根据绝对值的定义，|-1|=1，|-2|=2，|-3|=3，以此类推。
步骤3：比较绝对值的大小：可得1＜2＜3＜……，可知负整数的绝对值里最小的是1，对应的负整数为-1。
【答案】
-1
【知识点】
绝对值的定义；负整数的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，只要熟练掌握整数的分类和绝对值的含义，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个核心概念：一是负整数的定义（小于0的整数），二是绝对值的含义（数轴上某点到原点的距离）。先梳理负整数的取值范围，再分别计算它们的绝对值，比较绝对值的大小，找到绝对值最小时对应的负整数即可。
【解析】
步骤1：确定负整数的范围：负整数是小于0的整数，按从大到小的顺序依次为-1、-2、-3、-4……
步骤2：计算各负整数的绝对值：根据绝对值的定义，|-1|=1，|-2|=2，|-3|=3，以此类推。
步骤3：比较绝对值的大小：可得1＜2＜3＜……，可知负整数的绝对值里最小的是1，对应的负整数为-1。
【答案】
-1
【知识点】
绝对值的定义；负整数的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，只要熟练掌握整数的分类和绝对值的含义，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
12.将 3.149 精确到十分位为
3.1
.答案
12.3.1
解析
【分析】
要将一个数精确到十分位，首先明确十分位是小数点后第一位，取值遵循四舍五入规则：仅需要观察十分位的后一位（即百分位）上的数字，若百分位数字≥5则向十分位进1，若＜5则直接舍去十分位之后的所有数字，不需要考虑更低位的数字。
【解析】
第一步：确定3.149的十分位对应数字为1，十分位的下一位是百分位，对应数字为4；
第二步：根据四舍五入规则，4小于5，因此直接舍去十分位之后的所有数字，不需要考虑千分位的9，最终得到近似值3.1。
【答案】
3.1
【知识点】
近似数的精确度，四舍五入法
【点评】
本题考查近似数的取值，属于基础类题型，易错点是容易误将千分位的9先后进位得到错误结果，需牢记精确到某一数位时，仅判断该位后紧邻的一位数字即可。
【难度系数】
0.9
要将一个数精确到十分位，首先明确十分位是小数点后第一位，取值遵循四舍五入规则：仅需要观察十分位的后一位（即百分位）上的数字，若百分位数字≥5则向十分位进1，若＜5则直接舍去十分位之后的所有数字，不需要考虑更低位的数字。
【解析】
第一步：确定3.149的十分位对应数字为1，十分位的下一位是百分位，对应数字为4；
第二步：根据四舍五入规则，4小于5，因此直接舍去十分位之后的所有数字，不需要考虑千分位的9，最终得到近似值3.1。
【答案】
3.1
【知识点】
近似数的精确度，四舍五入法
【点评】
本题考查近似数的取值，属于基础类题型，易错点是容易误将千分位的9先后进位得到错误结果，需牢记精确到某一数位时，仅判断该位后紧邻的一位数字即可。
【难度系数】
0.9
13.如果数轴上的点A表示的有理数为－1，那么与点A相距2个单位长度的点表示的有理数为
1或－3
。答案
13.1或－3
解析
【分析】
解决本题需要先明确数轴上点的位置关系：与一个定点相距固定单位长度的点有两种情况，分别位于该定点的左侧和右侧。已知点A表示的有理数是-1，位于右侧的点对应的数比-1大，位于左侧的点对应的数比-1小，分两类计算即可得到结果，注意不要遗漏其中任意一种情况。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 若所求点在点A的右侧：该点表示的数比-1大2，列算式计算：$-1+2=1$；
2. 若所求点在点A的左侧：该点表示的数比-1小2，列算式计算：$-1-2=-3$。
综上，与点A相距2个单位长度的点表示的有理数为1或-3。
【答案】
1或－3
【知识点】
数轴的认识、数轴上两点距离、有理数加减运算
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，解题核心是具备分类讨论的意识，清楚数轴上与定点距离固定的点有左右两个，避免因漏看情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确数轴上点的位置关系：与一个定点相距固定单位长度的点有两种情况，分别位于该定点的左侧和右侧。已知点A表示的有理数是-1，位于右侧的点对应的数比-1大，位于左侧的点对应的数比-1小，分两类计算即可得到结果，注意不要遗漏其中任意一种情况。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 若所求点在点A的右侧：该点表示的数比-1大2，列算式计算：$-1+2=1$；
2. 若所求点在点A的左侧：该点表示的数比-1小2，列算式计算：$-1-2=-3$。
综上，与点A相距2个单位长度的点表示的有理数为1或-3。
【答案】
1或－3
【知识点】
数轴的认识、数轴上两点距离、有理数加减运算
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，解题核心是具备分类讨论的意识，清楚数轴上与定点距离固定的点有左右两个，避免因漏看情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
14.有六张卡片，卡片正面分别写有六个数字，背面分别写有六个字母，如下表所示.
将卡片正面的数由大到小排列，然后将卡片翻转，卡片上的字母组成的单词是
将卡片正面的数由大到小排列，然后将卡片翻转，卡片上的字母组成的单词是
thanks
.答案
14.thanks
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先化简计算卡片正面每个有理数的具体数值，第二步将所有数值按从大到小的顺序排列，第三步依次取出排序后每个数值对应的背面字母，组合即可得到单词。
【解析】
首先计算卡片正面各数的结果：
1. 根据去括号法则，$-(-1)=1$，对应背面字母$a$；
2. 根据绝对值的性质，$|-2|=2$，对应背面字母$h$；
3. 根据乘方的定义，$(-1)^3=(-1)×(-1)×(-1)=-1$，对应背面字母$k$；
4. 数字$0$对应背面字母$n$；
5. 数字$-3$对应背面字母$s$；
6. 数字$+5$对应背面字母$t$。
将上述结果从大到小排列：$+5＞|-2|＞-(-1)＞0＞(-1)^3＞-3$
对应背面的字母依次为$t、h、a、n、k、s$，组合为$thanks$。
【答案】
thanks
【知识点】
有理数大小比较、绝对值化简、有理数乘方
【点评】
本题属于基础题，核心是要准确计算各有理数的结果，再按要求排序，考查有理数基础运算的掌握程度，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步先化简计算卡片正面每个有理数的具体数值，第二步将所有数值按从大到小的顺序排列，第三步依次取出排序后每个数值对应的背面字母，组合即可得到单词。
【解析】
首先计算卡片正面各数的结果：
1. 根据去括号法则，$-(-1)=1$，对应背面字母$a$；
2. 根据绝对值的性质，$|-2|=2$，对应背面字母$h$；
3. 根据乘方的定义，$(-1)^3=(-1)×(-1)×(-1)=-1$，对应背面字母$k$；
4. 数字$0$对应背面字母$n$；
5. 数字$-3$对应背面字母$s$；
6. 数字$+5$对应背面字母$t$。
将上述结果从大到小排列：$+5＞|-2|＞-(-1)＞0＞(-1)^3＞-3$
对应背面的字母依次为$t、h、a、n、k、s$，组合为$thanks$。
【答案】
thanks
【知识点】
有理数大小比较、绝对值化简、有理数乘方
【点评】
本题属于基础题，核心是要准确计算各有理数的结果，再按要求排序，考查有理数基础运算的掌握程度，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
15.已知一个两位数M的个位上的数字是a，十位上的数字是b，交换这个两位数的个位与十位上的数字的位置，所得的新数记为N，则$2M - 3N =$
$17b-28a$
（用含a和b的式子表示）。答案
15.$17b-28a$
解析:$M=10b+a,N=10a+b$,
$2M-3N=2(10b+a)-3(10a+b)=17b-28a$.
解析:$M=10b+a,N=10a+b$,
$2M-3N=2(10b+a)-3(10a+b)=17b-28a$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确两位数的表示规则：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字。解题思路分为三步：第一步根据数位表示规则，分别写出原两位数M和交换数位后的新数N的代数式；第二步将M、N代入待求式2M-3N中；第三步按照整式加减的运算法则，先去括号，再合并同类项，最终得到化简结果。
【解析】
解：由题意得，原两位数M的十位数字是b、个位数字是a，因此：
$M = 10b + a$
交换个位和十位数字后，新数N的十位数字是a、个位数字是b，因此：
$N = 10a + b$
将M、N代入$2M-3N$中计算：
$\begin{aligned}2M-3N&=2(10b+a)-3(10a+b)\\&=20b+2a-30a-3b\\&=(20b-3b)+(2a-30a)\\&=17b-28a\end{aligned}$
【答案】
$17b-28a$
【知识点】
两位数的表示；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题主要考察数位的意义和整式加减的基础运算，解题核心是正确写出两个两位数的代数式，运算时需注意去括号的符号变化，属于对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确两位数的表示规则：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字。解题思路分为三步：第一步根据数位表示规则，分别写出原两位数M和交换数位后的新数N的代数式；第二步将M、N代入待求式2M-3N中；第三步按照整式加减的运算法则，先去括号，再合并同类项，最终得到化简结果。
【解析】
解：由题意得，原两位数M的十位数字是b、个位数字是a，因此：
$M = 10b + a$
交换个位和十位数字后，新数N的十位数字是a、个位数字是b，因此：
$N = 10a + b$
将M、N代入$2M-3N$中计算：
$\begin{aligned}2M-3N&=2(10b+a)-3(10a+b)\\&=20b+2a-30a-3b\\&=(20b-3b)+(2a-30a)\\&=17b-28a\end{aligned}$
【答案】
$17b-28a$
【知识点】
两位数的表示；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题主要考察数位的意义和整式加减的基础运算，解题核心是正确写出两个两位数的代数式，运算时需注意去括号的符号变化，属于对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
16.按一定规律排列的一列数：$2^1,2^2,2^3,2^5,2^8,2^{13},···$.若$x,y,z$表示这列数中连续的三个数，猜想$x,y,z$满足的关系式是
$xy=z$
.答案
16.$xy=z$
解析
【分析】
首先观察这列数的底数均为2，可先分析指数的排列规律：1，2，3，5，8，13…，不难发现从第三项起，每一项的指数等于前两项指数的和。再结合同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可推导出连续三个数x、y、z的关系。
【解析】
解：观察这列数的指数：1，2，3，5，8，13，…，可得规律：从第三个指数开始，每个指数都等于它前面两个指数的和。
设连续三个数x对应的指数为m，y对应的指数为n，则z对应的指数为m+n，即：
$x=2^m$，$y=2^n$，$z=2^{m+n}$
根据同底数幂的乘法法则：$2^m · 2^n = 2^{m+n}$
因此可得：$xy = z$
【答案】
$xy=z$
【知识点】
同底数幂的乘法，数字规律探究
【点评】
本题将数字规律探究和同底数幂的乘法运算结合，解题时先找到指数的变化规律，再结合幂的运算性质即可推出结论，是规律探究类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
首先观察这列数的底数均为2，可先分析指数的排列规律：1，2，3，5，8，13…，不难发现从第三项起，每一项的指数等于前两项指数的和。再结合同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可推导出连续三个数x、y、z的关系。
【解析】
解：观察这列数的指数：1，2，3，5，8，13，…，可得规律：从第三个指数开始，每个指数都等于它前面两个指数的和。
设连续三个数x对应的指数为m，y对应的指数为n，则z对应的指数为m+n，即：
$x=2^m$，$y=2^n$，$z=2^{m+n}$
根据同底数幂的乘法法则：$2^m · 2^n = 2^{m+n}$
因此可得：$xy = z$
【答案】
$xy=z$
【知识点】
同底数幂的乘法，数字规律探究
【点评】
本题将数字规律探究和同底数幂的乘法运算结合，解题时先找到指数的变化规律，再结合幂的运算性质即可推出结论，是规律探究类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17.计算下列各题.
(1) $10 - (-16) + (-5) - 17$.
(2) $-36 × (-\dfrac{5}{6}) + \dfrac{3}{5} ÷ (-0.2)$.
(3) $-3^2 × [-5 + (1 - 2 × \dfrac{2}{3}) ÷ (-2)^2]$.
(4) $(-36) × 99\dfrac{71}{72}$.
17.计算下列各题.
(1) $10 - (-16) + (-5) - 17$.
(2) $-36 × (-\dfrac{5}{6}) + \dfrac{3}{5} ÷ (-0.2)$.
(3) $-3^2 × [-5 + (1 - 2 × \dfrac{2}{3}) ÷ (-2)^2]$.
(4) $(-36) × 99\dfrac{71}{72}$.
答案
17.(1)4 (2)27 (3)$45\dfrac{3}{4}$ (4)$-3\ 599\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算类计算题，解题思路如下：1.先处理运算符号：遵循“减去一个数等于加上这个数的相反数”、“两数乘除，同号得正、异号得负”的符号规则；2.明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号内的运算（按小括号、中括号的顺序计算）；3.遇到特殊形式的数（如接近整十整百的带分数）可拆分后用乘法分配律简便计算，降低计算量。
【解析】
(1) 先将减法统一为加法再计算：
$\begin{aligned}原式&=10 + 16 + (-5) - 17\\&=26 - 5 - 17\\&=21 - 17\\&=4\end{aligned}$
(2) 先算乘除，再算加减：
$\begin{aligned}原式&=36×\frac{5}{6} + \frac{3}{5}÷(-\frac{1}{5})\\&=30 + \frac{3}{5}×(-5)\\&=30 - 3\\&=27\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再按括号顺序依次计算，最后算乘法：
$\begin{aligned}原式&=-9×[-5 + (1 - \frac{4}{3})÷4]\\&=-9×[-5 + (-\frac{1}{3})×\frac{1}{4}]\\&=-9×[-5 - \frac{1}{12}]\\&=-9×(-\frac{61}{12})\\&=\frac{549}{12}\\&=45\frac{3}{4}\end{aligned}$
(4) 先拆分带分数，用乘法分配律简便计算：
$\begin{aligned}原式&=(-36)×(100 - \frac{1}{72})\\&=(-36)×100 - (-36)×\frac{1}{72}\\&=-3600 + \frac{1}{2}\\&=-3599\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$27$；(3)$45\dfrac{3}{4}$；(4)$-3\ 599\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，符号运算法则
【点评】
本题属于有理数运算的基础常考题，核心是要准确把握运算顺序和符号规则，合理运用简便运算方法可以有效提升计算的正确率和效率，做题时尤其要注意乘方的符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题是有理数混合运算类计算题，解题思路如下：1.先处理运算符号：遵循“减去一个数等于加上这个数的相反数”、“两数乘除，同号得正、异号得负”的符号规则；2.明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号内的运算（按小括号、中括号的顺序计算）；3.遇到特殊形式的数（如接近整十整百的带分数）可拆分后用乘法分配律简便计算，降低计算量。
【解析】
(1) 先将减法统一为加法再计算：
$\begin{aligned}原式&=10 + 16 + (-5) - 17\\&=26 - 5 - 17\\&=21 - 17\\&=4\end{aligned}$
(2) 先算乘除，再算加减：
$\begin{aligned}原式&=36×\frac{5}{6} + \frac{3}{5}÷(-\frac{1}{5})\\&=30 + \frac{3}{5}×(-5)\\&=30 - 3\\&=27\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再按括号顺序依次计算，最后算乘法：
$\begin{aligned}原式&=-9×[-5 + (1 - \frac{4}{3})÷4]\\&=-9×[-5 + (-\frac{1}{3})×\frac{1}{4}]\\&=-9×[-5 - \frac{1}{12}]\\&=-9×(-\frac{61}{12})\\&=\frac{549}{12}\\&=45\frac{3}{4}\end{aligned}$
(4) 先拆分带分数，用乘法分配律简便计算：
$\begin{aligned}原式&=(-36)×(100 - \frac{1}{72})\\&=(-36)×100 - (-36)×\frac{1}{72}\\&=-3600 + \frac{1}{2}\\&=-3599\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$27$；(3)$45\dfrac{3}{4}$；(4)$-3\ 599\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，符号运算法则
【点评】
本题属于有理数运算的基础常考题，核心是要准确把握运算顺序和符号规则，合理运用简便运算方法可以有效提升计算的正确率和效率，做题时尤其要注意乘方的符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
