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9. 提升题▶小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图所示。每张白板纸有A，B，C三种剪裁方法，其中A种裁法为裁成4个侧面；B种裁法为裁成3个侧面与2个底面；C种裁法为裁成2个侧面与4个底面。已知4个侧面和2个底面恰好能做成一个纸箱。设按A种方法剪裁的白板纸有x张，按B种方法剪裁的白板纸有y张。
(1)按C种方法剪裁的白板纸有张(用含x，y的式子表示)。
(2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？(用含x，y的式子表示，结果要化简)
(1)按C种方法剪裁的白板纸有张(用含x，y的式子表示)。
(2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？(用含x，y的式子表示，结果要化简)
答案
解：
(1) 总共有50张白板纸，A种方法剪裁x张，B种方法剪裁y张，因此按C种方法剪裁的白板纸有$\boldsymbol{50 - x - y}$张。
(2) 计算总侧面数：
A种裁法得到侧面共$4x$个，
B种裁法得到侧面共$3y$个，
C种裁法得到侧面共$2(50 - x - y)$个，
总侧面数为：
$\begin{aligned}4x + 3y + 2(50 - x - y)&=4x + 3y + 100 - 2x - 2y\\&=2x + y + 100\end{aligned}$
计算总底面数：
A种裁法得到底面共0个，
B种裁法得到底面共$2y$个，
C种裁法得到底面共$4(50 - x - y)$个，
总底面数为：
$\begin{aligned}2y + 4(50 - x - y)&=2y + 200 - 4x - 4y\\&=-4x - 2y + 200\end{aligned}$
答：一共可以裁出$(2x + y + 100)$个侧面，$(-4x - 2y + 200)$个底面。
(1) 总共有50张白板纸，A种方法剪裁x张，B种方法剪裁y张，因此按C种方法剪裁的白板纸有$\boldsymbol{50 - x - y}$张。
(2) 计算总侧面数：
A种裁法得到侧面共$4x$个，
B种裁法得到侧面共$3y$个，
C种裁法得到侧面共$2(50 - x - y)$个，
总侧面数为：
$\begin{aligned}4x + 3y + 2(50 - x - y)&=4x + 3y + 100 - 2x - 2y\\&=2x + y + 100\end{aligned}$
计算总底面数：
A种裁法得到底面共0个，
B种裁法得到底面共$2y$个，
C种裁法得到底面共$4(50 - x - y)$个，
总底面数为：
$\begin{aligned}2y + 4(50 - x - y)&=2y + 200 - 4x - 4y\\&=-4x - 2y + 200\end{aligned}$
答：一共可以裁出$(2x + y + 100)$个侧面，$(-4x - 2y + 200)$个底面。
解析
【分析】
(1) 已知白板纸总数量为50张，分别用A、B、C三种方法剪裁，已知A法用x张，B法用y张，C法的数量等于总数量减去A、B两种方法使用的数量，直接作差即可求解。
(2) 计算总侧面、总底面数量时，先明确三种裁法各自的产出：A法每张出4个侧面、0个底面；B法每张出3个侧面、2个底面；C法每张出2个侧面、4个底面。分别将三种裁法的侧面、底面产出相加，代入C法的数量为$50-x-y$，再合并同类项化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 总共有50张白板纸，A种剪裁x张，B种剪裁y张，因此按C种方法剪裁的白板纸数量为$50 - x - y$张。
(2) 计算总侧面数：
A种裁法得到侧面$4x$个，B种裁法得到侧面$3y$个，C种裁法得到侧面$2(50 - x - y)$个，
总侧面数为：
$\begin{aligned}4x + 3y + 2(50 - x - y)&=4x + 3y + 100 - 2x - 2y\\&=2x + y + 100\end{aligned}$
计算总底面数：
A种裁法得到底面0个，B种裁法得到底面$2y$个，C种裁法得到底面$4(50 - x - y)$个，
总底面数为：
$\begin{aligned}2y + 4(50 - x - y)&=2y + 200 - 4x - 4y\\&=-4x - 2y + 200\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{50 - x - y}$
(2) 一共可以裁出$\boldsymbol{(2x + y + 100)}$个侧面，$\boldsymbol{(-4x - 2y + 200)}$个底面
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式化简
【点评】
本题结合实际生产场景命题，解题关键是理清不同剪裁方式对应的产出数量，再根据总量关系列式化简，既考查了整式运算的熟练度，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知白板纸总数量为50张，分别用A、B、C三种方法剪裁，已知A法用x张，B法用y张，C法的数量等于总数量减去A、B两种方法使用的数量，直接作差即可求解。
(2) 计算总侧面、总底面数量时，先明确三种裁法各自的产出：A法每张出4个侧面、0个底面；B法每张出3个侧面、2个底面；C法每张出2个侧面、4个底面。分别将三种裁法的侧面、底面产出相加，代入C法的数量为$50-x-y$，再合并同类项化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 总共有50张白板纸，A种剪裁x张，B种剪裁y张，因此按C种方法剪裁的白板纸数量为$50 - x - y$张。
(2) 计算总侧面数：
A种裁法得到侧面$4x$个，B种裁法得到侧面$3y$个，C种裁法得到侧面$2(50 - x - y)$个，
总侧面数为：
$\begin{aligned}4x + 3y + 2(50 - x - y)&=4x + 3y + 100 - 2x - 2y\\&=2x + y + 100\end{aligned}$
计算总底面数：
A种裁法得到底面0个，B种裁法得到底面$2y$个，C种裁法得到底面$4(50 - x - y)$个，
总底面数为：
$\begin{aligned}2y + 4(50 - x - y)&=2y + 200 - 4x - 4y\\&=-4x - 2y + 200\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{50 - x - y}$
(2) 一共可以裁出$\boldsymbol{(2x + y + 100)}$个侧面，$\boldsymbol{(-4x - 2y + 200)}$个底面
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式化简
【点评】
本题结合实际生产场景命题，解题关键是理清不同剪裁方式对应的产出数量，再根据总量关系列式化简，既考查了整式运算的熟练度，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 一个四位数，如果它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，那么称这个四位数为“对称数”，如5 225，3 113就是“对称数”。
（1）若一个四位“对称数”的个位数字为a，十位数字为7，则用含a的代数式表示该“对称数”为。
（2）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除。若能，请用字母表示该数并说明理由；若不能，请举出反例。
（1）若一个四位“对称数”的个位数字为a，十位数字为7，则用含a的代数式表示该“对称数”为。
（2）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除。若能，请用字母表示该数并说明理由；若不能，请举出反例。
答案
$\boldsymbol{1001a + 770}$
(2) 任意一个四位“对称数”能被11整除。
设四位“对称数”的千位、个位数字为$a$（$1 \le a \le 9$，$a$为整数），百位、十位数字为$b$（$0 \le b \le 9$，$b$为整数），
则该数可表示为：
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10b + a &= 1001a + 110b \\&= 11×91a + 11×10b \\&= 11(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$都是整数，所以$91a + 10b$是整数，
因此这个四位“对称数”是11的倍数，即任意一个四位“对称数”都能被11整除。
(2) 任意一个四位“对称数”能被11整除。
设四位“对称数”的千位、个位数字为$a$（$1 \le a \le 9$，$a$为整数），百位、十位数字为$b$（$0 \le b \le 9$，$b$为整数），
则该数可表示为：
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10b + a &= 1001a + 110b \\&= 11×91a + 11×10b \\&= 11(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$都是整数，所以$91a + 10b$是整数，
因此这个四位“对称数”是11的倍数，即任意一个四位“对称数”都能被11整除。
解析
【分析】
（1）解决第一问需先明确四位数的数位计数规则：千位数字×1000 + 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。根据“对称数”定义，该数千位和个位都是a，十位是7，则百位也为7，代入数位公式合并同类项即可得到代数式。
（2）解决第二问首先按照“对称数”的定义，用字母分别表示出千位（个位）数字a、百位（十位）数字b，写出该四位数的代数式，再合并同类项，观察是否能提取公因数11，若结果是11与整数的乘积，即可说明该数能被11整除。
【解析】
（1）根据题意，该四位“对称数”的千位数字为a，百位数字为7，十位数字为7，个位数字为a，因此该数为：
$1000a + 7×100 + 7×10 + a = 1000a + 700 + 70 + a = 1001a + 770$
（2）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由如下：
设四位“对称数”的千位、个位数字为$a$（$1 \le a \le 9$，$a$为整数），百位、十位数字为$b$（$0 \le b \le 9$，$b$为整数），则该数可表示为：
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10b + a &= 1001a + 110b \\&= 11×91a + 11×10b \\&= 11(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$都是整数，所以$91a + 10b$是整数，因此这个四位“对称数”是11的倍数，即能被11整除。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1001a + 770}$
（2）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由见解析。
【知识点】
用字母表示数，整式的化简，整除的判定
【点评】
本题结合新定义“对称数”考查了数位的表示方法和整式的化简应用，解题关键是正确掌握数位的计数单位，通过代数式变形判断数的整除性，是新定义类基础应用题型。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需先明确四位数的数位计数规则：千位数字×1000 + 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。根据“对称数”定义，该数千位和个位都是a，十位是7，则百位也为7，代入数位公式合并同类项即可得到代数式。
（2）解决第二问首先按照“对称数”的定义，用字母分别表示出千位（个位）数字a、百位（十位）数字b，写出该四位数的代数式，再合并同类项，观察是否能提取公因数11，若结果是11与整数的乘积，即可说明该数能被11整除。
【解析】
（1）根据题意，该四位“对称数”的千位数字为a，百位数字为7，十位数字为7，个位数字为a，因此该数为：
$1000a + 7×100 + 7×10 + a = 1000a + 700 + 70 + a = 1001a + 770$
（2）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由如下：
设四位“对称数”的千位、个位数字为$a$（$1 \le a \le 9$，$a$为整数），百位、十位数字为$b$（$0 \le b \le 9$，$b$为整数），则该数可表示为：
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10b + a &= 1001a + 110b \\&= 11×91a + 11×10b \\&= 11(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$都是整数，所以$91a + 10b$是整数，因此这个四位“对称数”是11的倍数，即能被11整除。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1001a + 770}$
（2）任意一个四位“对称数”能被11整除，理由见解析。
【知识点】
用字母表示数，整式的化简，整除的判定
【点评】
本题结合新定义“对称数”考查了数位的表示方法和整式的化简应用，解题关键是正确掌握数位的计数单位，通过代数式变形判断数的整除性，是新定义类基础应用题型。
【难度系数】
0.7
