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1.已知线段$AB=12$，$C$为线段$AB$上的一点，$AC=5$，$D$为线段$AB$的三等分点，则线段$CD$的长为。
答案
解：
因为$AB=12$，D为线段AB的三等分点，
所以$AD=\frac{1}{3}AB=4$ 或 $AD=\frac{2}{3}AB=8$。
已知$AC=5$，分两种情况计算：
1. 当$AD=4$时，$CD=AC-AD=5-4=1$；
2. 当$AD=8$时，$CD=AD-AC=8-5=3$。
所以线段$CD$的长为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{3}$。
因为$AB=12$，D为线段AB的三等分点，
所以$AD=\frac{1}{3}AB=4$ 或 $AD=\frac{2}{3}AB=8$。
已知$AC=5$，分两种情况计算：
1. 当$AD=4$时，$CD=AC-AD=5-4=1$；
2. 当$AD=8$时，$CD=AD-AC=8-5=3$。
所以线段$CD$的长为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确线段的三等分点共有2个，分别是靠近点A的三等分点和靠近点B的三等分点，因此需要分两种情况讨论，避免漏解。解题时先根据AB的总长度求出两种情况下AD的长度，再结合已知AC的长度，通过线段的和差关系即可计算出CD的长度。
【解析】
已知AB=12，D为线段AB的三等分点，因此分两种情况计算AD的长度：
1. 当D为靠近A的三等分点时，$AD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×12=4$；
2. 当D为靠近B的三等分点时，$AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×12=8$。
已知AC=5，分别对应计算CD的长度：
1. 当AD=4时，$CD=AC-AD=5-4=1$；
2. 当AD=8时，$CD=AD-AC=8-5=3$。
综上，线段CD的长为1或3。
【答案】
1或3
【知识点】
线段的和差计算；线段三等分点的定义
【点评】
本题的易错点是忽略线段的三等分点有两个，漏算其中一种情况导致结果不完整。遇到线段n等分点相关的计算问题时，要先明确所有可能的点的位置，分类讨论后再结合线段和差关系计算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确线段的三等分点共有2个，分别是靠近点A的三等分点和靠近点B的三等分点，因此需要分两种情况讨论，避免漏解。解题时先根据AB的总长度求出两种情况下AD的长度，再结合已知AC的长度，通过线段的和差关系即可计算出CD的长度。
【解析】
已知AB=12，D为线段AB的三等分点，因此分两种情况计算AD的长度：
1. 当D为靠近A的三等分点时，$AD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×12=4$；
2. 当D为靠近B的三等分点时，$AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×12=8$。
已知AC=5，分别对应计算CD的长度：
1. 当AD=4时，$CD=AC-AD=5-4=1$；
2. 当AD=8时，$CD=AD-AC=8-5=3$。
综上，线段CD的长为1或3。
【答案】
1或3
【知识点】
线段的和差计算；线段三等分点的定义
【点评】
本题的易错点是忽略线段的三等分点有两个，漏算其中一种情况导致结果不完整。遇到线段n等分点相关的计算问题时，要先明确所有可能的点的位置，分类讨论后再结合线段和差关系计算。
【难度系数】
0.7
2.如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上.
（1）观察图形，写出两个有关线段CD差的关系式：
①$CD=$$-$；
②$CD=$$-$.
（2）若$AB=16$，$DB=3$，求线段CD的长.
（1）观察图形，写出两个有关线段CD差的关系式：
①$CD=$$-$；
②$CD=$$-$.
（2）若$AB=16$，$DB=3$，求线段CD的长.
答案
解：
(1) ① $AD$，$AC$；
② $CB$，$DB$；
（答案合理即可）
(2) ∵ C为线段AB的中点，$AB=16$，
∴ $CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
又∵ $DB=3$，
∴ $CD=CB-DB=8-3=5$。
答：线段CD的长为5。
(1) ① $AD$，$AC$；
② $CB$，$DB$；
（答案合理即可）
(2) ∵ C为线段AB的中点，$AB=16$，
∴ $CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
又∵ $DB=3$，
∴ $CD=CB-DB=8-3=5$。
答：线段CD的长为5。
解析
【分析】
（1）要写出线段CD的差的关系式，需观察CD所在的线段组合：①CD是线段AD的一部分，AD被点C分为AC和CD两段，因此用AD减去AC即可得到CD；②CD也是线段CB的一部分，CB被点D分为CD和DB两段，因此用CB减去DB即可得到CD，也可结合AB的总长度推导其他合理关系式。
（2）要求CD的长度，已知DB的长度，只需先求出CB的长度即可通过线段差计算。已知C是AB的中点，结合AB的长度，利用线段中点的性质可先求出CB的长度，再代入CD=CB-DB计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据线段的和差关系可得：
① 因为$AD=AC+CD$，所以$CD=AD-AC$；
② 因为$CB=CD+DB$，所以$CD=CB-DB$；
（答案合理即可）
(2) 已知C为线段AB的中点，$AB=16$，根据线段中点的定义：
$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
又已知$DB=3$，根据线段的差的关系：
$CD=CB-DB=8-3=5$。
【答案】
(1) ①$AD$，$AC$；②$CB$，$DB$（答案合理即可）
(2) $5$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题，解题的核心是结合图形理清各线段之间的数量关系，熟练运用线段中点的性质进行计算，这类题目是后续复杂线段、几何图形计算的基础。
【难度系数】
0.8
（1）要写出线段CD的差的关系式，需观察CD所在的线段组合：①CD是线段AD的一部分，AD被点C分为AC和CD两段，因此用AD减去AC即可得到CD；②CD也是线段CB的一部分，CB被点D分为CD和DB两段，因此用CB减去DB即可得到CD，也可结合AB的总长度推导其他合理关系式。
（2）要求CD的长度，已知DB的长度，只需先求出CB的长度即可通过线段差计算。已知C是AB的中点，结合AB的长度，利用线段中点的性质可先求出CB的长度，再代入CD=CB-DB计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据线段的和差关系可得：
① 因为$AD=AC+CD$，所以$CD=AD-AC$；
② 因为$CB=CD+DB$，所以$CD=CB-DB$；
（答案合理即可）
(2) 已知C为线段AB的中点，$AB=16$，根据线段中点的定义：
$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
又已知$DB=3$，根据线段的差的关系：
$CD=CB-DB=8-3=5$。
【答案】
(1) ①$AD$，$AC$；②$CB$，$DB$（答案合理即可）
(2) $5$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题，解题的核心是结合图形理清各线段之间的数量关系，熟练运用线段中点的性质进行计算，这类题目是后续复杂线段、几何图形计算的基础。
【难度系数】
0.8
3.如图，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M，N分别为AC，DB的中点，且AB＝12.
(1)求线段CD的长.
(2)求线段MN的长.
(1)求线段CD的长.
(2)求线段MN的长.
答案
解：
(1) 设$AC = x$，
$\because AC:CD:DB = 1:2:3$，
$\therefore CD = 2x$，$DB = 3x$。
又$\because AC + CD + DB = AB$，$AB=12$，
$\therefore x + 2x + 3x = 12$，
解得$x=2$，
$\therefore CD = 2x = 4$。
(2) $\because M$是$AC$的中点，
$\therefore MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x = 1$。
$\because N$是$DB$的中点，
$\therefore DN = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2} × 3x = 3$。
$\because MN = MC + CD + DN$，
$\therefore MN = 1 + 4 + 3 = 8$。
答：(1) 线段$CD$的长为4；(2) 线段$MN$的长为8。
(1) 设$AC = x$，
$\because AC:CD:DB = 1:2:3$，
$\therefore CD = 2x$，$DB = 3x$。
又$\because AC + CD + DB = AB$，$AB=12$，
$\therefore x + 2x + 3x = 12$，
解得$x=2$，
$\therefore CD = 2x = 4$。
(2) $\because M$是$AC$的中点，
$\therefore MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x = 1$。
$\because N$是$DB$的中点，
$\therefore DN = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2} × 3x = 3$。
$\because MN = MC + CD + DN$，
$\therefore MN = 1 + 4 + 3 = 8$。
答：(1) 线段$CD$的长为4；(2) 线段$MN$的长为8。
解析
【分析】
对于（1），题目给出了AC、CD、DB的长度比，以及线段AB的总长度，我们可以通过设参数的方法，把三条线段分别用含相同未知数的式子表示，再根据三条线段之和等于AB列方程求解，即可得到CD的长度。对于（2），已知M、N分别是AC、DB的中点，根据线段中点的性质可先求出MC和DN的长度，观察图形可知MN由MC、CD、DN三段组成，将三段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 设$AC = x$，
$\because AC:CD:DB = 1:2:3$，
$\therefore CD = 2x$，$DB = 3x$。
又$\because AC + CD + DB = AB$，$AB=12$，
$\therefore x + 2x + 3x = 12$，
解得$x=2$，
$\therefore CD = 2x = 4$。
(2) $\because M$是$AC$的中点，
$\therefore MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x = 1$。
$\because N$是$DB$的中点，
$\therefore DN = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2} × 3x = 3$。
$\because MN = MC + CD + DN$，
$\therefore MN = 1 + 4 + 3 = 8$。
【答案】
(1) 线段CD的长为4；(2) 线段MN的长为8。
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的定义、比例线段应用
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题的核心是根据线段的比例关系设参数建立方程，结合线段中点的性质梳理所求线段与已知线段的和差关系，计算难度较低，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
对于（1），题目给出了AC、CD、DB的长度比，以及线段AB的总长度，我们可以通过设参数的方法，把三条线段分别用含相同未知数的式子表示，再根据三条线段之和等于AB列方程求解，即可得到CD的长度。对于（2），已知M、N分别是AC、DB的中点，根据线段中点的性质可先求出MC和DN的长度，观察图形可知MN由MC、CD、DN三段组成，将三段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 设$AC = x$，
$\because AC:CD:DB = 1:2:3$，
$\therefore CD = 2x$，$DB = 3x$。
又$\because AC + CD + DB = AB$，$AB=12$，
$\therefore x + 2x + 3x = 12$，
解得$x=2$，
$\therefore CD = 2x = 4$。
(2) $\because M$是$AC$的中点，
$\therefore MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x = 1$。
$\because N$是$DB$的中点，
$\therefore DN = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2} × 3x = 3$。
$\because MN = MC + CD + DN$，
$\therefore MN = 1 + 4 + 3 = 8$。
【答案】
(1) 线段CD的长为4；(2) 线段MN的长为8。
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的定义、比例线段应用
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题的核心是根据线段的比例关系设参数建立方程，结合线段中点的性质梳理所求线段与已知线段的和差关系，计算难度较低，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 提升题▶已知数轴上A,B两点所表示的数分别为－2和8，如图所示。
(1)求线段AB的长。
(2)若P为射线BA上的一点(点P不与A,B两点重合)，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由。
(1)求线段AB的长。
(2)若P为射线BA上的一点(点P不与A,B两点重合)，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由。
答案
解：
(1) 已知数轴上A、B两点表示的数分别为-2和8，
所以 $AB = 8 - (-2) = 10$。
(2) $MN$ 的长度不会发生改变，恒为5，分两种情况推导：
① 当点P在A、B两点之间时：
$\because M$ 为 $PA$ 的中点，$N$ 为 $PB$ 的中点，
$\therefore MP = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
$\therefore MN = MP + PN = \frac{1}{2}(PA + PB) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
② 当点P在点A的左侧时：
$\because M$ 为 $PA$ 的中点，$N$ 为 $PB$ 的中点，
$\therefore PM = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
$\therefore MN = PN - PM = \frac{1}{2}(PB - PA) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
综上，点P在射线BA上运动时，MN的长度不发生改变，线段MN的长为5。
(1) 已知数轴上A、B两点表示的数分别为-2和8，
所以 $AB = 8 - (-2) = 10$。
(2) $MN$ 的长度不会发生改变，恒为5，分两种情况推导：
① 当点P在A、B两点之间时：
$\because M$ 为 $PA$ 的中点，$N$ 为 $PB$ 的中点，
$\therefore MP = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
$\therefore MN = MP + PN = \frac{1}{2}(PA + PB) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
② 当点P在点A的左侧时：
$\because M$ 为 $PA$ 的中点，$N$ 为 $PB$ 的中点，
$\therefore PM = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
$\therefore MN = PN - PM = \frac{1}{2}(PB - PA) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
综上，点P在射线BA上运动时，MN的长度不发生改变，线段MN的长为5。
解析
【分析】
(1) 求数轴上两点的线段长度，可直接用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，代入A、B对应的数值即可计算AB的长。
(2) 判断MN长度是否变化，需结合线段中点性质分析：首先射线BA包含两种位置情况，即点P在A、B之间，以及点P在A的左侧；再根据中点定义，将MN转化为与PA、PB相关的表达式，最后结合AB的长度推导MN的定值，即可判断其是否变化。
【解析】
(1) 已知数轴上A点表示的数为-2，B点表示的数为8，因此：
$AB = 8 - (-2) = 10$
(2) MN的长度不会发生改变，分两种情况推导：
① 当点P在A、B两点之间时：
∵ M为PA的中点，N为PB的中点，
∴ $MP = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
∴ $MN = MP + PN = \frac{1}{2}(PA + PB) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
② 当点P在点A的左侧时：
∵ M为PA的中点，N为PB的中点，
∴ $PM = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
∴ $MN = PN - PM = \frac{1}{2}(PB - PA) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
综上，点P在射线BA上运动时，MN的长度不发生改变。
【答案】
(1) 线段AB的长为10；
(2) MN的长度不发生改变，线段MN的长为5。
【知识点】
数轴两点距离计算，线段中点的定义，线段和差计算
【点评】
本题结合数轴考查线段的相关计算，核心是利用中点性质将所求线段转化为已知定长线段的一半，解题时需要注意射线的延伸方向，对P的位置分类讨论，避免漏解，有助于培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
(1) 求数轴上两点的线段长度，可直接用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，代入A、B对应的数值即可计算AB的长。
(2) 判断MN长度是否变化，需结合线段中点性质分析：首先射线BA包含两种位置情况，即点P在A、B之间，以及点P在A的左侧；再根据中点定义，将MN转化为与PA、PB相关的表达式，最后结合AB的长度推导MN的定值，即可判断其是否变化。
【解析】
(1) 已知数轴上A点表示的数为-2，B点表示的数为8，因此：
$AB = 8 - (-2) = 10$
(2) MN的长度不会发生改变，分两种情况推导：
① 当点P在A、B两点之间时：
∵ M为PA的中点，N为PB的中点，
∴ $MP = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
∴ $MN = MP + PN = \frac{1}{2}(PA + PB) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
② 当点P在点A的左侧时：
∵ M为PA的中点，N为PB的中点，
∴ $PM = \frac{1}{2}PA$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
∴ $MN = PN - PM = \frac{1}{2}(PB - PA) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
综上，点P在射线BA上运动时，MN的长度不发生改变。
【答案】
(1) 线段AB的长为10；
(2) MN的长度不发生改变，线段MN的长为5。
【知识点】
数轴两点距离计算，线段中点的定义，线段和差计算
【点评】
本题结合数轴考查线段的相关计算，核心是利用中点性质将所求线段转化为已知定长线段的一半，解题时需要注意射线的延伸方向，对P的位置分类讨论，避免漏解，有助于培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
